文档内容
2010 年江西高考文科数学真题及答案
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150
分。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形
码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答
案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)=P(A)×P(B) 球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．对于实数a,b,c，“a>b”是“ac2 >bc2”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若集合A= x|x|£1 ，B= x x³0 ，则A B =
I
A． x -1£ x£1 B． x x³0 C． x 0£ x£1 D．Æ
3．(1-x)10展开式中x3项的系数为
A．-720 B．720 C．120 D．-120
4．若 f(x)=ax4 +bx2 +c满足 f ¢(1) = 2，则 f ¢(-1) =
A．-4 B．-2 C．2 D．4
5．不等式 x-2 > x-2的解集是
A．(-¥,2) B．(-¥,+¥) C．(2,+¥) D．(-¥,2) (2,+¥)
U
第1页 | 共25页6．函数y =sin2 x+sinx-1的值域为
5 5 5
A．[-1,1] B．[- ,-1] C．[- ,1] D．[-1, ]
4 4 4
7．等比数列{a }中，|a |=1,a =-8a ,a >a ,则a =
n 1 5 2 5 2 n
A．(-2)n-1 B．-(-2n-1) C．(-2)n D．-(-2)n
ax
8．若函数y = 的图像关于直线y = x对称，则a为
1+x
A．1 B．-1 C．±1 D．任意实数
9．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0< p<1)，假设每位同学能否通过
测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为
A．(1- p)n B．1- pn C． pn D．1-(1- p)n
10．直线y =kx+3与圆(x-2)2 +(y-3)2 =4相交于M、N两点，若|MN|≥2 3，则k的取值范围是
3 3 3 2
A．[- ,0] B．[- , ] C．[- 3, 3] D．[- ,0]
4 3 3 3 A D
B C
11．如图，M是正方体ABCD-ABC D 的棱DD 的中点，给出下列命题 M
1 1 1 1 1 g
①过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都相交； A
1 1 1 D
1
②过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都垂直；
1 1 B C
③过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都相交； 1 1
1 1
④过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都平行.
1 1
其中真命题是：
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 y =sin2x，
p p
y =sin(x+ )，y =sin(x- )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的
6 3
图像是
x x
A B
x x
C D
第2页 | 共25页2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
r r r r r r r
13．已知向量a，b 满足|b|=2，a与b 的夹角为60°，则b 在a上的投影是 ；
【答案】1
r r r
【解析】考查向量的投影定义，b 在a上的投影等于b 的模乘以两向量夹角的余弦值
14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分
配方案有 种（用数字作答）；
【答案】90
【解析】考查排列组合里分组分配问题，
x2 y2
15．点A(x ,y )在双曲线 - =1的右支上，若点A到右焦点的距离等
0 0 4 32
于2x ，则x = ； A D
0 0
B C
【答案】2
【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离等
A
于离心率得出x =2 1 D 1
0
B C
1 1
16．长方体ABCD-ABC D 的顶点均在同一个球面上，AB= AA =1，
1 1 1 1 1
BC = 2，则A，B两点间的球面距离为 .
p
【答案】
3
【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公
式得出答案
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数 f(x)=6x3 +3(a+2)x2 +2ax.
（1）若 f(x)的两个极值点为x ,x ，且x x =1，求实数a的值；
1 2 1 2
（2）是否存在实数a，使得 f(x)是(-¥,+¥)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理
由.
【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识
解： f¢(x)=18x2 +6(a+2)x+2a
第3页 | 共25页2a
（1）由已知有 f¢(x )= f¢(x )=0，从而x x = =1，所以a=9；
1 2 1 2 18
（2）由D=36(a+2)2 -4´18´2a=36(a2 +4)>0，
所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数.
18．（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）
为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、
3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.
(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的
数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
1
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A)= .
3
1 1 1 1
(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)= + + = .
6 6 6 2
19．（本小题满分12分）
p p
已知函数 f(x)=(1+cotx)sin2 x-2sin(x+ )sin(x- ).
4 4
（1）若tana=2，求 f(a)；
p p
（2）若xÎ[ , ]，求 f(x)的取值范围.
12 2
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函
数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
1-cos2x 1
解：（1） f(x)=sin2 x+sinxcosx+cos2x = + sin2x+cos2x
2 2
1 1
= (sin2x+cos2x)+
2 2
2sinacosa 2tana 4
由tana=2得sin2a= = = ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
cos2a-sin2a 1-tan2a 3
cos2a= = =- ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
3
所以 f(a)= .
5
第4页 | 共25页1 1 2 p 1
（2）由（1）得 f(x)= (sin2x+cos2x)+ = sin(2x+ )+
2 2 2 4 2
p p p 5p 5p p 2
由xÎ[ , ]得2x+ Î[ , ]，所以sin(2x+ )Î[- ,1]
12 2 4 12 4 4 2
2 p 1 1+ 2
从而 f(x)= sin(2x+ )+ Î[0, ].
2 4 2 2
A
20．（本小题满分12分）
如图，DBCD与DMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD^平
面BCD，AB^平面BCD，
M
AB=2 3. B D
（1）求直线AM 与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM 与平面BCD所成的二面角的正弦值.
C
【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间
向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理
能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、
O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
EO MO 1
_A
OB=MO= 3，MO∥AB，则 = = ，EO=OB= 3，所
EB AB 2
以EB=2 3 = AB，故ÐAEB=45o.
（2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线.
_M
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
_D
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的 _B
平面角，设为q.
_O
_H
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
_E
_F _C
BF = BC×sin60o = 3，
AB 2 5 A z
tanq= =2，sinq=
BF 5
2 5
所以，所求二面角的正弦值是 .
5
M
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面
MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD. B D
第5页 | 共25页 O y
x
C以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， 3），B（0，- 3，0），A
（0，- 3，2 3），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为a.
uuuur r
因 AM =（ 0 ， 3， - 3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 n=(0,0,1). 则 有
uuuur r
uuuur r AM ×n 3 2
sina= cos AM,n = = = ，所以a=45o.
uuuur r
AM × n 6 2
uuuur uuur
（2）CM =(-1,0, 3)，CA=(-1,- 3,2 3).
ur uuuur
ur ì ïn ^CM ì ï-x+ 3z =0
设平面ACM的法向量为n =(x,y,z)，由í 1 得í .解得x= 3z，y = z，
1 ur uuur
ïî n ^CA ïî-x- 3y+2 3z =0
1
ur r
ur r ur r n ×n 1
取n =( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，则cos= 1 =
1 1 ur r
n × n 5
1
1 2 5
设所求二面角为q，则sinq= 1-( )2 = .
5 5
21．（本小题满分12分）
x2 y2
已知抛物线C ：x2 +by =b2经过椭圆C ： + =1(a>b>0)的两个焦点.
1 2 a2 b2
(1) 求椭圆C 的离心率； y
2
Q
(2) 设Q(3,b)，又M,N 为C 与C 不在 y轴上的两个交点，
1 2
若DQMN 的重心在抛物线C 上，求C 和C 的方程.
1 1 2
O x
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形 M N
y
来确认方程。
Q
解：（1）因为抛物线C 经过椭圆C 的两个焦点F(-c,0),F (c,0)，
1 2 1 2
所以c2 +b´0=b2，即c2 =b2，由a2 =b2 +c2 =2c2得椭圆C 的
2 O x
M N
2
离心率e= .
2
第6页 | 共25页（2）由（1）可知a2 =2b2，椭圆C 的方程为：
2
x2 y2
+ =1
2b2 b2
联立抛物线C 的方程x2 +by =b2得：2y2 -by-b2 =0，
1
b 6
解得：y =- 或y =b（舍去），所以x=± b ，
2 2
6 b 6 b
即M(- b,- ),N( b,- )，所以DQMN 的重心坐标为(1,0).
2 2 2 2
因为重心在C 上，所以12 +b´0=b2，得b=1.所以a2 =2.
1
所以抛物线C 的方程为：x2 + y =1，
1
x2
椭圆C 的方程为： + y2 =1.
2 2
22．（本小题满分14分）
正实数数列{a }中,a =1,a =5,且{a2}成等差数列.
n 1 2 n
(1) 证明数列{a }中有无穷多项为无理数；
n
(2)当n为何值时，a 为整数，并求出使a <200的所有整数项的和.
n n
【解析】考查等差数列及数列分组求和知识
证明：（1）由已知有：a2 =1+24(n-1)，从而a = 1+24(n-1)，
n n
方法一：取n-1=242k-1，则a = 1+242k （kÎN*）
n
用反证法证明这些a 都是无理数.
n
假设a = 1+242k 为有理数，则a 必为正整数，且a >24k，
n n n
故a -24k ³1.a -24k >1,与(a -24k)(a +24k)=1矛盾，
n n n n
所以a = 1+242k （kÎN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数;
n n
方法二：因为a2 =1+24n, (nÎN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，1+24n的末位数字是3和7，
n+1
第7页 | 共25页它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a = 1+24n不是有理数，因这种n有无穷多，故
n+1
这种无理项a 也有无穷多．
n+1
(2) 要使a 为整数，由(a -1)(a +1)=24(n-1)可知：
n n n
a -1,a +1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a -1=6m或a +1=6m
n n n n
当a =6m+1时，有a2 =36m2 +12m+1=1+12m(3m+1)（mÎN ）
n n
又m(3m+1)必为偶数，所以a =6m+1（mÎN ）满足a2 =1+24(n-1)
n n
m(3m+1)
即n= +1（mÎN ）时，a 为整数；
2 n
同理a =6m-1(mÎN*)有a2 =36m2 -12m+1=1+12m(3m-1)（mÎN*）
n n
m(3m-1)
也满足a2 =1+24(n-1)，即n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
n 2 n
显然a =6m-1(mÎN*)和a =6m+1（mÎN ）是数列中的不同项；
n n
m(3m+1) m(3m-1)
所以当n= +1（mÎN ）和n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
2 2 n
由a =6m+1<200（mÎN ）有0£m£33，
n
由a =6m-1<200（mÎN*）有1£m£33.
n
设a 中满足a <200的所有整数项的和为S ，则
n n
5+197 1+199
S =(5+11+ +197)+(1+7+ +199) = ´33+ ´34=6733
L L
2 2
绝密★启用前 秘密★启用后
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B A C A B D B C C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
第8页 | 共25页p
13．1 14．90 15．2 16．
3
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解： f¢(x)=18x2 +6(a+2)x+2a
2a
（1）由已知有 f¢(x )= f¢(x )=0，从而x x = =1，所以a=9；
1 2 1 2 18
（2）由D=36(a+2)2 -4´18´2a=36(a2 +4)>0，
所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数.
18．（本小题满分12分）
1
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A)= .
3
1 1 1 1
(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)= + + = .
6 6 6 2
19．（本小题满分12分）
1-cos2x 1
解：（1） f(x)=sin2 x+sinxcosx+cos2x = + sin2x+cos2x
2 2
1 1
= (sin2x+cos2x)+
2 2
2sinacosa 2tana 4
由tana=2得sin2a= = = ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
cos2a-sin2a 1-tan2a 3
cos2a= = =- ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
3
所以 f(a)= .
5
1 1 2 p 1
（2）由（1）得 f(x)= (sin2x+cos2x)+ = sin(2x+ )+
2 2 2 4 2
p p p 5p 5p p 2
由xÎ[ , ]得2x+ Î[ , ]，所以sin(2x+ )Î[- ,1]
12 2 4 12 4 4 2
2 p 1 1+ 2
从而 f(x)= sin(2x+ )+ Î[0, ].
2 4 2 2
20．（本小题满分12分）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
第9页 | 共25页EO MO 1
_A
OB=MO= 3，MO∥AB，则 = = ，EO=OB= 3，
EB AB 2
所以EB=2 3 = AB，故ÐAEB=45o.
（2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线.
_M
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
_D
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的 _B
平面角，设为q.
_O
_H
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
_E
_F _C
BF = BC×sin60o = 3，
AB 2 5
tanq= =2，sinq=
BF 5
2 5
所以，所求二面角的正弦值是 .
5
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面
BCD.
A z
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直
角坐标系如图.
OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M
（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3）， M
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为a.
B D
uuuur
因 AM =（ 0 ， 3， - 3）， 平 面 BCD的 法 向 量 为
O y
uuuur r
r uuuur r AM ×n 3 2
n=(0,0,1). 则有sina= cos AM,n = = = ，
uuuur r
AM × n 6 2 x
C
所以a=45o.
uuuur uuur
（2）CM =(-1,0, 3)，CA=(-1,- 3,2 3).
ur uuuur
ur ì ïn ^CM ì ï-x+ 3z =0
设平面ACM的法向量为n =(x,y,z)，由í 1 得í .解得x= 3z，y = z，
1 ur uuur
ïî n ^CA ïî-x- 3y+2 3z =0
1
ur r
z ur r ur r n ×n 1
取n =( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，则cos= 1 =
1 1 ur r
n × n 5
1
1 2 5
设所求二面角为q，则sinq= 1-( )2 = .
5 5
第10页 | 共25页21. （本小题满分12分）
解：（1）因为抛物线C 经过椭圆C 的两个焦点F(-c,0),F (c,0)，
1 2 1 2
y
所以c2 +b´0=b2，即c2 =b2，由a2 =b2 +c2 =2c2得椭圆C 的
2
Q
2
离心率e= .
2
O x
（2）由（1）可知a2 =2b2，椭圆C 的方程为： M N
2
x2 y2
+ =1
2b2 b2
联立抛物线C 的方程x2 +by =b2得：2y2 -by-b2 =0，
1
b 6
解得：y =- 或y =b（舍去），所以x=± b ，
2 2
6 b 6 b
即M(- b,- ),N( b,- )，所以DQMN 的重心坐标为(1,0).
2 2 2 2
因为重心在C 上，所以12 +b´0=b2，得b=1.所以a2 =2.
1
所以抛物线C 的方程为：x2 + y =1，
1
x2
椭圆C 的方程为： + y2 =1.
2 2
22．（本小题满分14分）
证明：（1）由已知有：a2 =1+24(n-1)，从而a = 1+24(n-1)，
n n
方法一：取n-1=242k-1，则a = 1+242k （kÎN*）
n
用反证法证明这些a 都是无理数.
n
假设a = 1+242k 为有理数，则a 必为正整数，且a >24k，
n n n
故a -24k ³1.a -24k >1,与(a -24k)(a +24k)=1矛盾，
n n n n
所以a = 1+242k （kÎN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数;
n n
方法二：因为a2 =1+24n, (nÎN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，1+24n的末位数字是3和7，
n+1
第11页 | 共25页它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a = 1+24n不是有理数，因这种n有无穷多，故
n+1
这种无理项a 也有无穷多．
n+1
(2) 要使a 为整数，由(a -1)(a +1)=24(n-1)可知：
n n n
a -1,a +1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a -1=6m或a +1=6m
n n n n
当a =6m+1时，有a2 =36m2 +12m+1=1+12m(3m+1)（mÎN ）
n n
又m(3m+1)必为偶数，所以a =6m+1（mÎN ）满足a2 =1+24(n-1)
n n
m(3m+1)
即n= +1（mÎN ）时，a 为整数；
2 n
同理a =6m-1(mÎN*)有a2 =36m2 -12m+1=1+12m(3m-1)（mÎN*）
n n
m(3m-1)
也满足a2 =1+24(n-1)，即n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
n 2 n
显然a =6m-1(mÎN*)和a =6m+1（mÎN ）是数列中的不同项；
n n
m(3m+1) m(3m-1)
所以当n= +1（mÎN ）和n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
2 2 n
由a =6m+1<200（mÎN ）有0£m£33，
n
由a =6m-1<200（mÎN*）有1£m£33.
n
设a 中满足a <200的所有整数项的和为S ，则
n n
5+197 1+199
S =(5+11+ +197)+(1+7+ +199) = ´33+ ´34=6733
L L
2 2
2010 年江西高考文科数学真题及答案
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150
分。
考生注意：
4. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形
码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
5. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
第12页 | 共25页干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答
案无效。
6. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)=P(A)×P(B) 球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．对于实数a,b,c，“a>b”是“ac2 >bc2”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边
2．若集合A= x|x|£1 ，B= x x³0 ，则A B =
I
A． x -1£ x£1 B． x x³0 C． x 0£ x£1 D．Æ
【答案】C
【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A是由大
于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案
3．(1-x)10展开式中x3项的系数为
A．-720 B．720 C．120 D．-120
【答案】D
【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由
4．若 f(x)=ax4 +bx2 +c满足 f ¢(1) = 2，则 f ¢(-1) =
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B
5．不等式 x-2 > x-2的解集是
A．(-¥,2) B．(-¥,+¥) C．(2,+¥) D．(-¥,2) (2,+¥)
U
【答案】A
【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值
的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。
但此题利用代值法会更好
第13页 | 共25页6．函数y =sin2 x+sinx-1的值域为
5 5 5
A．[-1,1] B．[- ,-1] C．[- ,1] D．[-1, ]
4 4 4
【答案】C
【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令 sinX =t 可得
y =t2 +t-1
从而求解出二次函数值域
7．等比数列{a }中，|a |=1,a =-8a ,a >a ,则a =
n 1 5 2 5 2 n
A．(-2)n-1 B．-(-2n-1) C．(-2)n D．-(-2)n
【答案】A
【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。
ax
8．若函数y = 的图像关于直线y = x对称，则a为
1+x
A．1 B．-1 C．±1 D．任意实数
【答案】B
【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线y = x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函
数再与原函数比较系数可得答案。
或利用反函数的性质，依题知（1，a/2）与（a/2，1）皆在原函数图故可得a=-1
9．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0< p<1)，假设每位同学能否通过
测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为
A．(1- p)n B．1- pn C． pn D．1-(1- p)n
【答案】D
【解析】考查n次独立重复事件中A事件恰好发生K次的公式，可先求n次测试中没有人通过的概率再利
用对立事件得答案D
10．直线y =kx+3与圆(x-2)2 +(y-3)2 =4相交于M、N两点，若|MN|≥2 3，则k的取值范围是
3 3 3 2
A．[- ,0] B．[- , ] C．[- 3, 3] D．[- ,0]
4 3 3 3 A D
【答案】B B C
M
g
【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求|MN|再结合|MN|≥2 3
A
1 D
1
可得答案
法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的 B 1 C 1
平方求出|MN|再结合|MN|≥2 3可得答案
11．如图，M是正方体ABCD-ABC D 的棱DD 的中点，给出下列命题
1 1 1 1 1
①过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都相交；
1 1
第14页 | 共25页②过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都垂直；
1 1
③过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都相交；
1 1
④过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都平行.
1 1
其中真命题是：
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质
12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 y =sin2x，
p p
y =sin(x+ )，y =sin(x- )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的
6 3
图像是
x x
A B
x x
C D
【答案】C
【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
r r r r r r r
13．已知向量a，b 满足|b|=2，a与b 的夹角为60°，则b 在a上的投影是 ；
【答案】1
r r r
【解析】考查向量的投影定义，b 在a上的投影等于b 的模乘以两向量夹角的余弦值
14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分
配方案有 种（用数字作答）；
第15页 | 共25页【答案】90
【解析】考查排列组合里分组分配问题，
x2 y2
15．点A(x ,y )在双曲线 - =1的右支上，若点A到右焦点的距离等
0 0 4 32
于2x ，则x = ； A D
0 0
B C
【答案】2
【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离等
A
于离心率得出x =2 1 D 1
0
B C
1 1
16．长方体ABCD-ABC D 的顶点均在同一个球面上，AB= AA =1，
1 1 1 1 1
BC = 2，则A，B两点间的球面距离为 .
p
【答案】
3
【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公
式得出答案
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数 f(x)=6x3 +3(a+2)x2 +2ax.
（1）若 f(x)的两个极值点为x ,x ，且x x =1，求实数a的值；
1 2 1 2
（2）是否存在实数a，使得 f(x)是(-¥,+¥)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理
由.
【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识
解： f¢(x)=18x2 +6(a+2)x+2a
2a
（1）由已知有 f¢(x )= f¢(x )=0，从而x x = =1，所以a=9；
1 2 1 2 18
（2）由D=36(a+2)2 -4´18´2a=36(a2 +4)>0，
所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数.
18．（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）
为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、
3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.
(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的
数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
第16页 | 共25页1
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A)= .
3
1 1 1 1
(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)= + + = .
6 6 6 2
19．（本小题满分12分）
p p
已知函数 f(x)=(1+cotx)sin2 x-2sin(x+ )sin(x- ).
4 4
（1）若tana=2，求 f(a)；
p p
（2）若xÎ[ , ]，求 f(x)的取值范围.
12 2
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函
数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
1-cos2x 1
解：（1） f(x)=sin2 x+sinxcosx+cos2x = + sin2x+cos2x
2 2
1 1
= (sin2x+cos2x)+
2 2
2sinacosa 2tana 4
由tana=2得sin2a= = = ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
cos2a-sin2a 1-tan2a 3
cos2a= = =- ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
3
所以 f(a)= .
5
1 1 2 p 1
（2）由（1）得 f(x)= (sin2x+cos2x)+ = sin(2x+ )+
2 2 2 4 2
p p p 5p 5p p 2
由xÎ[ , ]得2x+ Î[ , ]，所以sin(2x+ )Î[- ,1]
12 2 4 12 4 4 2
2 p 1 1+ 2
从而 f(x)= sin(2x+ )+ Î[0, ].
2 4 2 2
A
20．（本小题满分12分）
如图，DBCD与DMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD^平
面BCD，AB^平面BCD，
M
AB=2 3. B D
（1）求直线AM 与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM 与平面BCD所成的二面角的正弦值.
C
第17页 | 共25页【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知
识，同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、
O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
EO MO 1
_A
OB=MO= 3，MO∥AB，则 = = ，EO=OB= 3，所
EB AB 2
以EB=2 3 = AB，故ÐAEB=45o.
（2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线.
_M
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
_D
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的 _B
平面角，设为q.
_O
_H
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
_E
_F _C
BF = BC×sin60o = 3，
AB 2 5
tanq= =2，sinq=
BF 5
2 5
所以，所求二面角的正弦值是 .
5
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面
BCD.
A z
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直
角坐标系如图.
OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M
（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3）， M
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为a.
B D
uuuur
因 AM =（ 0 ， 3， - 3）， 平 面 BCD的 法 向 量 为
O y
uuuur r
r uuuur r AM ×n 3 2
n=(0,0,1). 则有sina= cos AM,n = = = ，
uuuur r
AM × n 6 2 x
C
所以a=45o.
uuuur uuur
（2）CM =(-1,0, 3)，CA=(-1,- 3,2 3).
第18页 | 共25页ur uuuur
ur ì ïn ^CM ì ï-x+ 3z =0
设平面ACM的法向量为n =(x,y,z)，由í 1 得í .解得x= 3z，y = z，
1 ur uuur
ïî n ^CA ïî-x- 3y+2 3z =0
1
ur r
ur r ur r n ×n 1
取n =( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，则cos= 1 =
1 1 ur r
n × n 5
1
1 2 5
设所求二面角为q，则sinq= 1-( )2 = .
5 5
21．（本小题满分12分）
x2 y2
已知抛物线C ：x2 +by =b2经过椭圆C ： + =1(a>b>0)的两个焦点.
1 2 a2 b2
(1) 求椭圆C 的离心率； y
2
Q
(2) 设Q(3,b)，又M,N 为C 与C 不在 y轴上的两个交点，
1 2
若DQMN 的重心在抛物线C 上，求C 和C 的方程.
1 1 2
O x
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形 M N
y
来确认方程。
Q
解：（1）因为抛物线C 经过椭圆C 的两个焦点F(-c,0),F (c,0)，
1 2 1 2
所以c2 +b´0=b2，即c2 =b2，由a2 =b2 +c2 =2c2得椭圆C 的
2 O x
M N
2
离心率e= .
2
（2）由（1）可知a2 =2b2，椭圆C 的方程为：
2
x2 y2
+ =1
2b2 b2
联立抛物线C 的方程x2 +by =b2得：2y2 -by-b2 =0，
1
b 6
解得：y =- 或y =b（舍去），所以x=± b ，
2 2
6 b 6 b
即M(- b,- ),N( b,- )，所以DQMN 的重心坐标为(1,0).
2 2 2 2
因为重心在C 上，所以12 +b´0=b2，得b=1.所以a2 =2.
1
第19页 | 共25页所以抛物线C 的方程为：x2 + y =1，
1
x2
椭圆C 的方程为： + y2 =1.
2 2
22．（本小题满分14分）
正实数数列{a }中,a =1,a =5,且{a2}成等差数列.
n 1 2 n
(1) 证明数列{a }中有无穷多项为无理数；
n
(2)当n为何值时，a 为整数，并求出使a <200的所有整数项的和.
n n
【解析】考查等差数列及数列分组求和知识
证明：（1）由已知有：a2 =1+24(n-1)，从而a = 1+24(n-1)，
n n
方法一：取n-1=242k-1，则a = 1+242k （kÎN*）
n
用反证法证明这些a 都是无理数.
n
假设a = 1+242k 为有理数，则a 必为正整数，且a >24k，
n n n
故a -24k ³1.a -24k >1,与(a -24k)(a +24k)=1矛盾，
n n n n
所以a = 1+242k （kÎN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数;
n n
方法二：因为a2 =1+24n, (nÎN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，1+24n的末位数字是3和7，
n+1
它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a = 1+24n不是有理数，因这种n有无穷多，故
n+1
这种无理项a 也有无穷多．
n+1
(2) 要使a 为整数，由(a -1)(a +1)=24(n-1)可知：
n n n
a -1,a +1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a -1=6m或a +1=6m
n n n n
当a =6m+1时，有a2 =36m2 +12m+1=1+12m(3m+1)（mÎN ）
n n
又m(3m+1)必为偶数，所以a =6m+1（mÎN ）满足a2 =1+24(n-1)
n n
m(3m+1)
即n= +1（mÎN ）时，a 为整数；
2 n
第20页 | 共25页同理a =6m-1(mÎN*)有a2 =36m2 -12m+1=1+12m(3m-1)（mÎN*）
n n
m(3m-1)
也满足a2 =1+24(n-1)，即n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
n 2 n
显然a =6m-1(mÎN*)和a =6m+1（mÎN ）是数列中的不同项；
n n
m(3m+1) m(3m-1)
所以当n= +1（mÎN ）和n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
2 2 n
由a =6m+1<200（mÎN ）有0£m£33，
n
由a =6m-1<200（mÎN*）有1£m£33.
n
设a 中满足a <200的所有整数项的和为S ，则
n n
5+197 1+199
S =(5+11+ +197)+(1+7+ +199) = ´33+ ´34=6733
L L
2 2
绝密★启用前 秘密★启用后
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B A C A B D B C C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
p
13．1 14．90 15．2 16．
3
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解： f¢(x)=18x2 +6(a+2)x+2a
2a
（1）由已知有 f¢(x )= f¢(x )=0，从而x x = =1，所以a=9；
1 2 1 2 18
（2）由D=36(a+2)2 -4´18´2a=36(a2 +4)>0，
所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数.
18．（本小题满分12分）
1
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A)= .
3
1 1 1 1
(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)= + + = .
6 6 6 2
第21页 | 共25页19．（本小题满分12分）
1-cos2x 1
解：（1） f(x)=sin2 x+sinxcosx+cos2x = + sin2x+cos2x
2 2
1 1
= (sin2x+cos2x)+
2 2
2sinacosa 2tana 4
由tana=2得sin2a= = = ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
cos2a-sin2a 1-tan2a 3
cos2a= = =- ，
sin2a+cos2a 1+tan2a 5
3
所以 f(a)= .
5
1 1 2 p 1
（2）由（1）得 f(x)= (sin2x+cos2x)+ = sin(2x+ )+
2 2 2 4 2
p p p 5p 5p p 2
由xÎ[ , ]得2x+ Î[ , ]，所以sin(2x+ )Î[- ,1]
12 2 4 12 4 4 2
2 p 1 1+ 2
从而 f(x)= sin(2x+ )+ Î[0, ].
2 4 2 2
20．（本小题满分12分）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
EO MO 1
_A
OB=MO= 3，MO∥AB，则 = = ，EO=OB= 3，
EB AB 2
所以EB=2 3 = AB，故ÐAEB=45o.
（2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线.
_M
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
_D
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的 _B
平面角，设为q.
_O
_H
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
_E
_F A _C z
BF = BC×sin60o = 3，
AB 2 5
tanq= =2，sinq=
BF 5
2 5
M
所以，所求二面角的正弦值是 .
5
B D
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面
第22页 | 共25页 O y
x
CMCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， 3），B（0，- 3，0），A
（0，- 3，2 3），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为a.
uuuur r
因 AM =（ 0 ， 3， - 3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 n=(0,0,1). 则 有
uuuur r
uuuur r AM ×n 3 2
sina= cos AM,n = = = ，所以a=45o.
uuuur r
AM × n 6 2
uuuur uuur
（2）CM =(-1,0, 3)，CA=(-1,- 3,2 3).
ur uuuur
ur ì ïn ^CM ì ï-x+ 3z =0
设平面ACM的法向量为n =(x,y,z)，由í 1 得í .解得x= 3z，y = z，
1 ur uuur
ïî n ^CA ïî-x- 3y+2 3z =0
1
ur r
z ur r ur r n ×n 1
取n =( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，则cos= 1 =
1 1 ur r
n × n 5
1
1 2 5
设所求二面角为q，则sinq= 1-( )2 = .
5 5
21. （本小题满分12分）
解：（1）因为抛物线C 经过椭圆C 的两个焦点F(-c,0),F (c,0)，
1 2 1 2
y
所以c2 +b´0=b2，即c2 =b2，由a2 =b2 +c2 =2c2得椭圆C 的
2
Q
2
离心率e= .
2
O x
（2）由（1）可知a2 =2b2，椭圆C 的方程为： M N
2
x2 y2
+ =1
2b2 b2
联立抛物线C 的方程x2 +by =b2得：2y2 -by-b2 =0，
1
b 6
解得：y =- 或y =b（舍去），所以x=± b ，
2 2
6 b 6 b
即M(- b,- ),N( b,- )，所以DQMN 的重心坐标为(1,0).
2 2 2 2
第23页 | 共25页因为重心在C 上，所以12 +b´0=b2，得b=1.所以a2 =2.
1
所以抛物线C 的方程为：x2 + y =1，
1
x2
椭圆C 的方程为： + y2 =1.
2 2
22．（本小题满分14分）
证明：（1）由已知有：a2 =1+24(n-1)，从而a = 1+24(n-1)，
n n
方法一：取n-1=242k-1，则a = 1+242k （kÎN*）
n
用反证法证明这些a 都是无理数.
n
假设a = 1+242k 为有理数，则a 必为正整数，且a >24k，
n n n
故a -24k ³1.a -24k >1,与(a -24k)(a +24k)=1矛盾，
n n n n
所以a = 1+242k （kÎN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数;
n n
方法二：因为a2 =1+24n, (nÎN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，1+24n的末位数字是3和7，
n+1
它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a = 1+24n不是有理数，因这种n有无穷多，故
n+1
这种无理项a 也有无穷多．
n+1
(2) 要使a 为整数，由(a -1)(a +1)=24(n-1)可知：
n n n
a -1,a +1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a -1=6m或a +1=6m
n n n n
当a =6m+1时，有a2 =36m2 +12m+1=1+12m(3m+1)（mÎN ）
n n
又m(3m+1)必为偶数，所以a =6m+1（mÎN ）满足a2 =1+24(n-1)
n n
m(3m+1)
即n= +1（mÎN ）时，a 为整数；
2 n
同理a =6m-1(mÎN*)有a2 =36m2 -12m+1=1+12m(3m-1)（mÎN*）
n n
m(3m-1)
也满足a2 =1+24(n-1)，即n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
n 2 n
显然a =6m-1(mÎN*)和a =6m+1（mÎN ）是数列中的不同项；
n n
第24页 | 共25页m(3m+1) m(3m-1)
所以当n= +1（mÎN ）和n= +1（mÎN*）时，a 为整数；
2 2 n
由a =6m+1<200（mÎN ）有0£m£33，
n
由a =6m-1<200（mÎN*）有1£m£33.
n
设a 中满足a <200的所有整数项的和为S ，则
n n
5+197 1+199
S =(5+11+ +197)+(1+7+ +199) = ´33+ ´34=6733
L L
2 2
第25页 | 共25页
