文档内容
2010年高考天津卷文科数学试题及答案
源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至3页。第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考
试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 棱柱的体积公式V=Sh.
g
P(AÈB)= P(A)+P(B) 其中S表示棱柱的底面积.
h表示棱柱的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3+i
(1)i是虚数单位，复数 =
1-i
(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i
ìx+ y£3,
ï
(2)设变量x，y满足约束条件íx- y³-1,则目标函数z=4x+2y的最大值为
ï
y³1,
î
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3
（4）函数f（x）=ex +x-2的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
(5)下列命题中，真命题是
(A)$mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）是偶函数
(B)$mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）是奇函数
(C)"mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）都是偶函数
(D)"mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）都是奇函数
(6)设a =log 4，b=（log 3）2，c=log 5，则
5 5 4
(A)a0,b>0)的一条渐近线方程是
a2 b2
y = 3x，它的一个焦点与抛物线y2 =16x的焦点相同。则双曲
线的方程为 。
（14）已知圆C的圆心是直线x-
y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为
。
（15）设{a }是等比数列，公比q= 2，S 为{a }的前n项和。记
n n n
17S -S
T = n 2n ,nÎN*.设T 为数列{T }的最大项，则n =
n a n 0 n 0
n+1
。
（16）设函数f(x)=x-
1
,对任意xÎ[1,+¥），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________
x
第3页 | 共22页三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
AC cosB
在DABC中， = 。
AB cosC
（Ⅰ）证明B=C：
1 æ pö
（Ⅱ）若cosA=- ，求sinç 4B+ ÷的值。
3 è 3ø
（18）（本小题满分12分）
有编号为A 1 ,A 2 ,… A 10 的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
编号 A A A A A A A A A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。
（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。
（19）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，
AD= 2 2 ，∠BAD＝∠CDA＝45°. F
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF； E
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
A
B
D
C
（20）（本小题满分12分）
3
已知函数f（x）=ax3- x2 +1(xÎR)，其中a>0.
2
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
é 1 1ù
（Ⅱ）若在区间 - , 上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
ê ú
ë 2 2û
第4页 | 共22页（21）（本小题满分14分）
x2 y2 3
已知椭圆 + =1（a>b>0）的离心率e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积
a2 b2 2
为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
4 2
（i）若|AB|= ，求直线l的倾斜角；
5
uuur uuur
（ii）若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且QA QB=4.求y 的值.
0 g 0
（22）（本小题满分14分）
在数列a 中，a =0，且对任意kÎN*，a ,a ,a 成等差数列，其公差为2k.
n 1 2k-1 2k 2k+1
（Ⅰ）证明a ,a ,a 成等比数列；
4 5 6
（Ⅱ）求数列a 的通项公式；
n
22 32 n2 3
（Ⅲ）记T = + + + ，证明 <2n-T £（2 n³2）.
n a a ggg a 2 n
2 3 n
第5页 | 共22页2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）A (2)B (3)B (4)C (5)A
（6）D (7)C (8)A (9)D (10)D
3+i
(1)i是虚数单位，复数 =
1-i
(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i
【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.
3+i （3+i）(1+i) 2+4i
= = =1+2i
1-i (1-i)(1+i) 2
【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，
不要失分哦。
ìx+ y£3,
ï
(2)设变量x，y满足约束条件íx- y³-1,则目标函数z=4x+2y的最大值为
ï
y³1,
î
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知
，
当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3
第6页 | 共22页【答案】B
【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次
运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1
后i=5，推出循环输出s=0.
【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的
方式解决。
（4）函数f（x）=ex +x-2的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代
入排除的方法求解。
(5)下列命题中，真命题是
(A)$mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）是偶函数
(B)$mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）是奇函数
(C)"mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）都是偶函数
(D)"mÎR,使函数f（x）=x2+mx（xÎR）都是奇函数
【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。
当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
(6)设a =log 4，b=（log 3）2，c=log 5，则
5 5 4
(A)a2
依题意知 f(x)=í =í
ïîx2 -2-x,x³ x2 -2 ïîx2 -2-x,-1£ x£2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
1 x2 y2
11） (12)3 (13) - =1
3 4 12
（14）（x+1）2+y2 =2 (15)4 (16)（-¥，-1）
（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3
BC
，则 的值为 。
AD A
B
P
O C
第9页 | 共22页
D1
【答案】
3
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以ÐDAB=ÐPCB,ÐCDA=ÐPBC,因为ÐP为公共角，所以
BC PB 1
⊿PBC∽⊿PAB,所以 = =
AD PD 3
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的
重要内容，也是考查的热点。
（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体
积的计算，属于容易题。
由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图
和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该
几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题
1
的体积为 （1+2）´2´1=3
2
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由
俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高
为1的长方体的一半。
x2 y2
（13）已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y = 3x，它的一个焦点
a2 b2
与抛物线y2 =16x的焦点相同。则双曲线的方程为 。
x2 y2
【答案】 - =1
4 12
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
b
由渐近线方程可知 = 3 ①
a
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又c2 =a2 +b2 ③
x2 y2
联立①②③，解得a2 =4,b2 =12，所以双曲线的方程为 - =1
4 12
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。
（14）已知圆C的圆心是直线x-
第10页 | 共22页y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。
【答案】(x+1)2 + y2 =2
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题
。
令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）
|-1+0+3|
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r = = 2，所以圆C
2
的方程为(x+1)2 + y2 =2
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
17S -S
（15）设{a }是等比数列，公比q= 2，S 为{a }的前n项和。记T = n 2n ,nÎN*.
n n n n a
n+1
设T 为数列{T }的最大项，则n = 。
n n 0
0
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等
题。
17a[1-( 2)n] a[1-( 2)2n]
1 - 1
1- 2 1- 2 1 ( 2)2n -17( 2)n +16
T = = ·
n a ( 2)n 1- 2 ( 2)n
1
1 16 16
= ·[( 2)n + -17]因为( 2)n + ≧8，当且仅当( 2)n=4，即n=4时取
1- 2 ( 2)n ( 2)n
等号，所以当n =4时T 有最大值。
0 n
【温馨提示】本题的实质是求T 取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对( 2)n进行
n
换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
（16）设函数f(x)=x-
1
,对任意xÎ[1,+¥），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________
x
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
1 m 1 1 1
M<0，时有mx- +mx- <0Þ2mx-(m+ )· <0Þ1+ <2x2因为y =2x2
mx x m x m2
第11页 | 共22页1
在xÎ[1,+¥)上的最小值为2，所以1+ <2即m2>1,解得m<-1.
m2
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化
为最值的方法求解。
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2010年天津文高考数学解析
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1
号 0 1 2
答 A B B C A D C A D D
案
1．A解析：本题考查了复数的基本运算。
3+i (3+i)(1+i) 2+4i
= = =1+2i
1-i (1-i)(1+i) 2 y
2．B
解析：本题考查了线性规划的基础知识。作出可行域与图中阴 1 A
ìx+ y =3 ìx=2
O x
影，则A点为最优解，∵í ，∴解得í ，∴
îy =1 îy =1
z =10
max
3．B 解析：本题考查了算法的流程图的基础知识。列出表格可得
1´(3-1)+1=3 3´(3-2)+1=4 4´(3-3)+1=1 1´(3-4)+1=0
S 1
i
1 2 3 4 5
∴输出s =0
4．C解析：本题考查了函数与方程的基础知识，∵ f(-1)=e-1-1-2<0，
f(0)=1-2<0， f(1)=e+1-2>0，∴函数的零点所在区间(0,1)
5．A解析：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的基础知识。∵当m=0时 f(x)为偶函数
，但不是任何m值都能使 f(x)为偶函数∴A正确，C不正确；∵不论m为何值都没有
f(-x)= f(x) ，∴B，D不正确，
6．C解析：本题考查了函数的单调性、对数函数的性质等基础知识。∵
01，∴c>a,c>b，∵0b
5 5 5 5
7．C解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法等基础知识。∵
A={x|-1+a< x<1+a}，若A
I
B=Æ，∴a£0或a³6
8．A解析：本题考查了三角函数的解析式、图象变换及性质的基础知识。由图象可知周期
5p p 2p p p
A=1，∵T = -(- )=p，T = ，∴w=2，∵过点(1, )，代入解析式得j= ，
6 6 w 12 3
p p
解析式为y =sin(2x+ )，∵y =sinx向左平移 单位，再将图象上各点的纵坐标不变，
3 3
1 p
横坐标变为原来的 ，可得y =sin(2x+ )，故选A。
2 3
uuur uuur uuur uuur uuur
（9）如图，在ΔABC中，AD^ AB，BC = 3 BD， AD =1，则AC×AD=
A
3 3
（A）2 3 （B） （C） （D） 3
2 3
1
B D C
9．D解析：本题考查了向量的基本运算及向量的数量积的运算
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
。∵AD⊥AB，BA
g
AD=0，∵ 3BD
g
AD= 3 AD BD cosÐADB= 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴AC
g
AD=(BC-BA)
g
AD = 3BD
g
AD+BA
g
AD= 3，故选D
uuur uuur p
另法：（特例检验法）不妨取 BD =2,则|BC|=2 3,ÐADB= ,
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur p
∴AC
g
AD=(BC-BA)
g
AD= BC
g
AD-BA
g
AD＝2 3´1´cos +0= 3，故选D
3
10．D解析：本题考查了分段函数的值域、不等式的解法及函数图象等基本知识。
ì 1 7
(x+ )2 + x<-1或x>2
ìïx2 +x+2 x< x2 -2 ï ï 2 4
∵ f(x)=í ，∴ f(x)=í ，
ïîx2 -x-2 x³ x2 -2 ï (x- 1 )2 - 9 -1£ x£2
ïî 2 4
1 7
∴当x<-1或x>2， f(x)=(x+ )2 + >2，
2 4
1 9 9
当-1£ x£2时， f(x)=(x- )2 - Î[- ,0]
2 4 4
1
11． 解析：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形判定及性质的基础知识，∵A，
3
B，C，D四点共圆，∴ÐPBC =ÐD，ÐBPC =ÐDPA，∴DPBC∽DPDA，∴
PB BC 1
= =
PD AD 3
12．3解析本题考查了立体几何的三视图的知识，从三视图可得该几何体为底面为梯形的直
四棱柱，其中梯形的上下底分别为1，2高为2，棱柱的高为1，∴体积为
第13页 | 共22页1
2´ ´(1+2)´1=3
2
x2 y2
13． - =1解析：本题考查了双曲线的标准方程、双曲线的性质、抛物线的性质等基
4 12
础知识。∵抛物线y2 =16x，焦点为(4,0)，∴c=4，∵双曲线的渐近线方程y = 3x，∴
x2 y2 x2 y2
双曲线设为 - =1(l>0)，l+3l=16,l=4，∴双曲线方程为 - =1
l 3l 4 12
14．(x+1)2 + y2 =2解析：本题考查了直线、圆的标准方程及直线与圆的位置关系，点到
直线的距离的基础知识，∵直线x- y+1=0与x轴交于(-1,0)，∵圆心C(-1,0)到直线
-1+3
x+ y+3=0的距离为r = = 2 ，∴圆方程为(x+1)2 + y2 =2。
2
15．4解析：本题考查了等比数列的通项、前n项和、基本不等式的基础知识。∵
17S -S
T = n 2n
n a
n+1
16-17qn +q2n 1 16 1 16
∴T
n
=
(1-q)qn
=
1- 2
(
qn
-17+qn)£
1- 2
(2
qn g
qn -17)，当且仅当
16
=qn，∴q2n =16,2n =16,n=4
qn
16．(-¥,-1)解析：本题考查了函数的值域、不等式解法、不等式的恒等变形及不等式恒
1 m
成立的基础知识。∵ f(mx)+mf(x)<0恒成立，∴2mx- - <0，xÎ[1,+¥)，
mx x
1
2mx2 < +m，
m
1 1 1
当m<0时，∵2x2 > +1恒成立，∴(2x2) > +1，2> +1，∴m>1或
m2 min m2 m2
m<-1，又m<0，∴m<-1。
1
当m>0时，2x2 < +1恒成立，由xÎ[1,+¥)，所上式不可能恒成立，
m2
所以m<-1
第14页 | 共22页解答题
（17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角
的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
sinB cosB
（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 = .于是sinBcosC-
sinC cosC
cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为-p< B-C 0, >0,
é 1 1ù ï ï 2 ï ï 8
当xÎ ê - ， ú 时，f（x）>0等价于í 即 í
ë 2 2û ï 1 ï 5+a
f( )>0, >0.
ïî 2 ïî 8
解不等式组得-52，则0< < .当x变化时， f¢(x),f（x）的变化情况如下表：
a 2
æ 1 ö æ 1ö 1 æ1 1ö
X ç - ，0 ÷ 0 ç 0， ÷ ç ， ÷
è 2 ø è aø a èa 2ø
f¢(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
Z ] Z
ì 1 ì5-a
f(- )>0, >0,
é 1 1ù ï ï 2 ï ï 8
当xÎ
ê
- ，
ú
时，f（x）>0等价于í 即í
ë 2 2û ï 1 ï 1
f( )>0, 1- >0.
ïî a ïî 2a2
第17页 | 共22页2 2
解不等式组得
