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2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）
第I卷 选择题（共40分）
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1，集合P=xÎZ|0£x<3,M = xÎR|x2 £9 ，则P
I
M =
（A）1,2 （B）0,1,2 （C）x|0£x<3 （D）x|0£x£3
2，在等比数列a 中，a =1，公比 q ¹1.若a =aa a a a ，则m=
n 1 m 1 2 3 4 5
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集
合体的正（主）视图与侧（左）视图分别
如右图所示，则该几何体的俯视图为
正（主）视 侧（左）视
图 图
（A
（B
）
）
（C （D
） ）
4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为
（A）A8A2 （B）A8C2 （C）A8A2 （D）A8C2
8 9 8 9 8 7 8 9
5，极坐标方程(r-1)(q-p)=0(r³0)表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
r r r r r r r r
6，a,b为非零向量，“a^b”是“函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
ì x+ y-11³0
ï
7，设不等式组í3x- y+3³0 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在
ï
î5x-3y+9£0
第1页 | 共11页区域D上的点，则a的取值范围是
（A）(1,3] （B）2,3 （C）(1,2] （D）[3,+¥)
8，如图，正方体ABCD-ABCD 的棱
1 1 1 1
D C
1 1
长为2，动点E，F在棱A
1
B
1
上，动点P，Q E F
B
A 1
分别在棱AD,CD上，若 1
EF =1,AE=x,DQ= y,DP=z（x,y,z大
1 D Q C
P
于零），则四面体PEFQ的体积
B
A
（A） 与x,y,z都有关
（B） 与x有关，与y,z无关
（C） 与y有关，与x,z无关
（D） 与z有关，与x,y无关
第II卷 （共110分）
二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2i
9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______
1-i
2p
10，在DABC 中，若b=1,c= 3,ÐC = ，则
3
a=________
11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单
位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图
中数据可知a=________.若要从身高在
[120,130),[130,140),[140,150)三组内的学生中，用分层
抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在
[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
12，如图， O的弦ED,CB的延长线交于点A，若
e
BD^ AE,AB=4,BC =2,AD=3，则DE=_____;
CE=_____
第2页 | 共11页x2 y2 x2 y2
13，已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆 + =1的焦点相同，那么双
a2 b2 25 9
曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.
14，如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，
设顶点P(x,y)的轨迹方程是y= f(x)，则函数 f(x)的
最小正周期为_____；y= f(x)在其两个相邻零点间的
图象与x轴所围区域的面积为_______.
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向
和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点
B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC沿x
轴负方向滚动.
三、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
。
15，（本小题共13分）
已知函数 f(x)=2cos2x+sin2 x-4cosx,
p
（I） 求 f( )的值；
3
（II） 求 f(x)的最大值和最小值.
16，（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE^ AC，EF ∥AC，
AB= 2,CE =EF =1.
(1) 求证：AF ∥平面BDE；
(2) 求证：CF ^平面BDE；
(3) 求二面角A-BE-D的大小.
第3页 | 共11页17，（本小题共13分）
4
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 ，第二
5
、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩
相互独立，记x为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
x 0 1 2 3
P 6 a b 24
125 125
(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2) 求 p,q的值；
(3) 求数学期望Ex.
18，（本小题共13分）
k
已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k ³0).
2
(1) 当k =2，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
第4页 | 共11页(2) 求 f(x)的单调区间.
第5页 | 共11页19，（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
1
BP的斜率之积等于- .
3
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P使得DPAB与
DPMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20，（本小题共13分）
已知集合
A=a ,a ,...,a ,B=b,b ,...,b ÎS
1 2 n 1 2 n n
S = X |X =x,x ,...,x ,x Î0,1,i=1,2,...,n (n³2).对于，定义A与B的差为：
n 1 2 n i
A-B= a -b , a -b ,..., a -b ;
1 1 2 2 n n
n
A与B之间的距离为d(A,B)=å a -b .
i i
i=1
(1) 证明："A,B,CÎS ，有A-BÎS ，且d(A-C,B-C)=d(A,B)；
n n
(2) 证明："A,B,CÎS ，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数；
n
设PÍS ，P中有m(m³2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明
n
mn
：d(P)£
2(m-1)
第6页 | 共11页参考答案
一，选择题
B C． C． A．C．B．A．D．
二、 填空题
2 7
9，（ -1，1）.
10， 1。
p+1 11，0.030， 3
12，5，
±4,0 y=± 3x
13， ，
14， 4，
三、解答题
p 2p p p 3 9
15（I） f( )=2cos +sin2 -4cos =-1+ -2=- .
3 3 3 3 4 4
f(x)=2(2cos2 x-1)+(1-cos2 x)-4cosx
=3cos2 x-4cosx-1
（2）
2 7
=3(cosx- )2 - ,xÎR
3 3
2
因为cosxÎ-1,1,所以当cosx=-1时， f(x)取最大值6；当cosx= 时，取最小值
3
7
- 。
3
16
证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，A
1
G= AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。
2
因为EGÌP平面BDE，AFË平面BDE，所以AF∥平面BDE。
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为
原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（
2 ， 2 ，0），D（ 2 ，0， 0），E（0， 0， 1），F（
2 2 uuur 2 2 uuur
， ，1）。所以CF =（ ， ，1），BE=（0
2 2 2 2
uuur uuur uuur
，－ 2 ，１），DE＝（－ 2 ，0，１）。所以CF ·BE=
第7页 | 共11页uuur uuur
0-1+1=0，CF ·DE=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
uuur 2 2
（III）由（II）知，CF =（ ， ，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的
2 2
r r uuur r uuur
法向量n=（x,y,z）,则n·BA=0，n·BE=0。
ì ï(x,y,z)×( 2,0,0)=0
即í
ïî(x,y,z)×(0,- 2,1)=0
r uuur
所以x=0，且z= 2 y。令y=1，则z= 2 。所以n=（0,1, 2），从而cos（n，CF ）=
r uuur
n×CF 3
=
r uuur
n × CF 2
p
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为 。
6
17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知
4
P(A)= ,P(A )= p,P(A )=q.
1 5 2 3
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“x=0”是对立的，所以该生至
少有一门课程取得优秀成绩的概率是
6 119
1-P(x=0)=1- = .
125 125
（II）由题意可知，
1 6
P(x=0)= P(A A A )= (1- p)(1-q)= ,
1 2 3 5 125
4 24
p(x=3)= P(AA A )= pq= .
1 2 3 5 125
3 2
整理得pq= ,q= 。
5 5
（III）由题意知，
a = P(x=1)= P(A A A )+P(AA A )+P(A A A )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 1 1
= (1- p)(1-q)+ p(1-q)+ (1- p)q
5 5 5
37
= .
125
第8页 | 共11页b= P(x=2)=1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=3)
58
= .
125
Ex=0´P(x=0)+1´P(x=1)+2´P(x=2)+3´P(x=3)
9
= .
5
1
18解：（I）当k =2时， f(x)=ln(1+x)-x+x2, f '(x)= -1+2x.
1+x
3
由于 f(1)=ln(2), f '(1)= ,所以曲线y = f(x)在点（1, f(1))处的切线方程为
2
3
y =ln2= (x-1)。即3x-2y+2ln2-3=0
2
x(kx+k-1) x
（II） f '(x)= ,xÎ(-1,+¥). 当k =0时， f '(x)=- .
1+x 1+x
因此在区间(-1,0)上， f '(x)>0；在区间(0,+¥)上， f '(x)<0；
所以 f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为(0,+¥)；
x(kx+k-1) 1-k
当00;
1+x 1 2 k
1-k 1-k
因此，在区间-1,0和( ,+¥)上， f '(x)>0；在区间(0, )上， f '(x)<0；
k k
1-k 1-k
即函数 f(x)的单调递增区间为-1,0和( ,+¥)，单调递减区间为(0, )；
k k
x2
k =1 f '(x)= f(x) (-1,+¥)
当 时， . 的递增区间为
1+x
x(kx+k-1) 1-k
k >1 f '(x)= =0 x =0,x = Î(-1,0)；
当 时，由 1+x ，得 1 2 k
1-k 1-k
因此，在区间(-1, )和(0,+¥)上， f '(x)>0，在区间( ,0)上， f '(x)<0；
k k
æ 1-kö 1-k
即函数 f(x)的单调递增区间为
ç
-1,
÷
和(0,+¥)，单调递减区间为( ,0)。
è k ø k
19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。
y-1 y+1 y-1 y+1 1
x,y k = ,k = × =-
设P点坐标为 ，则 AP x+1 BP x-1 ，由题意得 x+1 x-1 3 ，
x2 +3y2 =4,(x¹±1) x2 +3y2 =4,(x¹±1)
化简得： 。即P点轨迹为：
ÐAPB=ÐMPN sinÐAPB=sinÐMPN
（2）因 ，可得 ，
第9页 | 共11页1 1
S = PA PBsinÐAPB,S = PM PN sinÐMPN
又 DAPB 2 DMPN 2 ，
PA PN
S =S PA PB = PM PN =
若 DAPB DMPN，则有 ， 即 PM PB
x +1 3-x 5
x ,y 0 = 0 x = x2 +3y2 =4
设P点坐标为 0 0 ，则有： 3-x x -1 解得： 0 3 ，又因 0 0 ，解得
0 0
33
y =±
0 9 。
æ5 33ö æ5 33ö
故存在点P使得DPAB与DPMN的面积相等，此时P点坐标为ç , ÷或ç ,- ÷
ç3 9 ÷ ç3 9 ÷
è ø è ø
A=(a ,a ,...,a ),B=(b,b ,...,b ),C =(c,c ,...,c )ÎS
20,解：（1）设 1 2 n 1 2 n 1 2 n n
a,b Î0,1 a -b Î0,1 i=1,2,...,n
因 i i ，故 i i ，
即A-B= a -b ,a -b ,...,a -b ÎS
1 1 2 2 n n n
a,b,c Î0,1,i=1,2,...,n.
又 i i i
当 c i =0 时，有 a i -c i - b i -c i = a i -b i ；
当 c i =1 时，有 a i -c i - b i -c i = (1-a i )-(1-b i ) = a i -b i
n
d(A-C,B-C)=å a -b =d(A,B)
故 i i
i=1
A=(a ,a ,...,a ),B=(b,b ,...,b ),C =(c,c ,...,c )ÎS
（2）设 1 2 n 1 2 n 1 2 n n
d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h
记
O=(0,0,...,0)ÎS
记 n，由第一问可知：
d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(O,B-A)=k
d(A,C)=d(A-A,C-A)=d(O,C-A)=l
d(B,C)=d(B-A,C-A)=h
b -a c -a (i=1,2,...,n)
即 i i 中1的个数为k， i i 中1的个数为l，
b -a = c -a =1 h=k+l-2i
设t是使 i i i i 成立的i的个数，则有 ，
k,l,h d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。
由此可知， 不可能全为奇数，即
第10页 | 共11页1
（3）显然P中会产生C2个距离，也就是说d(P)= å d(A,B)，其中 å d(A,B)表
m C2
m A,BÎP A,BÎP
示P中每两个元素距离的总和。
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了t 个1，
i
m2
那么自然有m-t 个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为t (m-t )£ ,(i=1,2,...,n)
i i i 4
，
n m2 m2n
那么n个位置的总和 å d(A,B)=åt (m-t )£n× =
i i 4 4
A,BÎP i=1
1 m2n mn
即d(P)= å d(A,B)£ =
C2 4C2 2(m-1)
m A,BÎP m
第11页 | 共11页
