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高二数学试卷
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个非零向量 与 的夹角为 ，我们把数量 叫作向量 与 的叉乘 的模，记作
，即 .若向量 ， ，则 （ ）
A. B. 10 C. D. 2
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，
是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点 A处测得其顶点
P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若 米，且 ，则解放碑的高度
为（ ）
A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米
5. 已知函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B.
C. D.
6. 若对任意正实数 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ， 是 上的动点（点 不与 、
及 的中点重合），矩形 内接于扇形 ，且 ． ，设矩形 的面
积 与 的关系为 ，则 最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，则 的取值范围是（
）
A. B.C. D.
二、多选题
9. 在复平面内，复数 对应点 满足 .点 与 关于 轴对称.则复数 为（
）
A. B.
C. D.
10. 在棱长为 正方体 中，点 是线段 上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A. 无论点 在线段 的什么位置，三棱锥 的体积为定值
B. 无论点 在线段 的什么位置，都有
C. 当 时， 与 异面
D. 若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为
11. 通过等式 （ ， ）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，
的
那么c就是a（即x） 函数，记为y，则 ，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以
得到更多的函数模型．若令 ，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（ ， ），则b
为x的函数，记为 ，下列关于函数 的叙述中正确的有（ ）
A.
B. ，C. 若 ，且m，n均不等于1， ，则
D. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数m的值为0
三、填空题
的
12. 2024年10月21日，第52个梅森素数 被发现，这也是迄今为止发现 最大素数.集
合 以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个.
13. 如图，四边形 的顶点都在圆 上，且 经过圆 的圆心，若圆 的半径为 ， ，四
边形 的面积为 ，则 ______．
.
14 设函数 ，若 恰有 个零点，.
则下述结论中:
①若 恒成立，则 的值有且仅有 个；
② 在 上单调递增；
③存在 和 ，使得 对任意 恒成立；
④“ ”是“方程 在 恰有五个解”的必要条件.
所有正确结论的编号是______________；
四、解答题
15. 已知函数 ．（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数 在 存在零点，求实数a的取值范围．
为
16. 已知复数 ，其中 ， 虚数单位.
（1）若 为纯虚数，求 的值；
（2）定义 ，是否存在 ，使得 ? 若存在，求出 ；若不存在，说明理由.
17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为 4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使
用．如图所示， 为长方形薄板，沿 折叠后， 交 于点 ，当凹多边形
的面积最大时制冷效果最好．
（1）设 米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽?
18. 已知数列 为等差数列， ，且数列 是公比为2的等比数列， .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，将 中的项按原有顺序依次插入到数列 中，使 与
之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和 .
19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联
系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是 内一点，若 ，则称点P为△ABC的布
洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若 ，且 ，求A和 ；
（2）若 求 值．
的
