理论精讲18大学力学2_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_01科目三FB网课、三色速记手册、知识点导图等推荐_初中_讲义

2 0 2 5 年 教 师 资 格 证 理论精讲 -大学 力学2 主讲老师 楠风 粉笔教师教育 粉笔教师六、曲线 运动 （一）曲线运动的描述 轨道上任一点𝑃点的切线和法线构成的坐标系称为自然坐标系，𝝉、𝒏分别代表切线和法线方向的单位矢 量。 设𝑡 = 0时质点位于𝑂点，𝑡时刻质点位于𝑃点，则弧长𝑂𝑃就是质点在𝑡时刻的自然坐标值，以𝑠表示，即 𝑠 = 𝑠(𝑡) 该公式是以自然坐标表示的质点运动学方程。d𝑣 d2𝑠 切向加速度为𝒂 = 𝝉 = 𝝉 𝜏 d𝑡 d𝑡2 𝑣2 法向加速度为𝒂 = 𝒏 𝑛 𝑅 在自然坐标系中，质点加速度的表达式为𝒂 = 𝒂 + 𝒂 𝜏 𝑛 加速度大小为𝑎 = 𝑎2 + 𝑎2 𝜏 𝑛 切向加速度表示速度大小的变化率 法向加速度表示速度方向的变化率（二）圆周运动 1.角坐标 角坐标是描述质点在圆周上的位置的物理量。以𝑥轴作为参考轴，设𝑡时刻质点位于𝐴点，则半径𝑂𝐴与𝑥 轴的夹角𝜃称为该时刻质点的角坐标。𝜃随时间变化的表达式为 𝜃 = 𝜃 𝑡 上式称为圆周运动的运动学方程。角坐标的单位为rad。2.角位移 质点由𝐴点到达𝐵点，转过的角度∆𝜽称为角位移。 角位移是矢量，方向由右手螺旋定则确定：以弯曲的四指代表质点运动的方向，则与四指垂直的大拇指 所指的方向即为角位移的方向。单位为𝑟𝑎𝑑。3.角速度 d𝜽 角速度为矢量，用𝝎表示，公式为：𝝎 = d𝑡 角速度的方向与角位移的方向一致。当质点作圆周运动时，由于d𝜽只有两个可能的取向，因此𝝎常用 d𝜃 标量表示，即：𝜔 = d𝑡 在国际单位制中，角速度的单位为弧度每秒，符号为rad ⋅ s−1 。 4.角加速度 d𝝎 角加速度是表示角速度变化快慢的物理量。角加速度为矢量，用𝜷表示，公式为：𝜷 = d𝑡 方向与角速度方向一致，在国际单位制中，角加速度的单位为弧度每二次方秒，符号为rad ⋅ s−2 。5.角量和线量之间的关系 描述圆周运动的物理量𝜃、𝜔、𝛽称为角量。质点的速度、切向加速度和法向加速度等统称为线量。在 d𝑡时间内，质点发生d𝜽角位移时，它所通过的路程d𝑠 = 𝑅d𝜃，则角量与线量之间的关系为 d𝑠 𝑅d𝜃 𝑣 = = = 𝑅𝜔 d𝑡 d𝑡 d𝑠 d𝑣 𝑅d𝜔 𝑎 = = = 𝑅𝛽 𝑅 𝜏 d𝜃 d𝑡 d𝑡 𝑣2 𝑂 𝑥 𝑎 = = 𝑅𝜔2 𝑛 𝑅（真题2017 年上· 高中）如图所示，半径为𝑅的刚性圆环轨道，水平固定在光滑的桌面上，一 物体贴着轨道内侧运动，物体与轨道间的滑动摩擦力系数为𝜇，设物体在某时刻经过𝐴点时的速率为 𝑣 ，求： 0 （1）此后𝑡时刻物体的速率。 （2）从A点开始在𝑡时间内的路程。【例】掷铁饼运动员手持铁饼转1.5圈后松手，此时铁饼的速度𝑣 = 25 𝑚/𝑠。该铁饼转动时 沿半径𝑅 = 1.0 𝑚的圆周运动并且均匀加速，则铁饼在此过程中的角加速度为（ ）𝑟𝑎𝑑/𝑠2 。 A.33.2 B.34.8 C.35.7 D.36.1八、牛顿第 二定律 牛顿第二定律： 运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。（《自然哲学的数 学原理》） d𝒗 d2𝒓 表达式为：𝑭 = 𝑚𝒂 = 𝑚 = 𝑚 d𝑡 d𝑡2【例】（真题2017年下· 高中）一质量为𝑚的小球，从高出水面ℎ处的A点自由落下，如图 所示。已知小球在水中受到的黏滞阻力与小球的运动速率𝑣成正比(比例系数为𝑘)。设小球在水 中的浮力忽略不计,以小球恰好垂直落入水中时为计时起点(𝑡=0)。求小球在水中的运动速率𝑣与 时间𝑡的关系。第二节 力学基本定理与守恒律 一、动量定理 𝐹 （一）冲量 变力𝑭在𝑡 至𝑡这段时间内的冲量为 0 𝑡 𝑰 = න 𝑭d𝑡 𝑡 0 （二）动量 质量是𝑚、速度是𝒗的质点的动量𝒑为 𝑂 𝑡 d𝑡 𝑡 𝑡 0 𝒑 = 𝑚𝒗（三）质点的动量定理 1.微分形式 d𝒑 d 𝑚𝒗 𝐹 = = d𝑡 d𝑡 2.积分形式 𝑡 𝑰 = න 𝑭d𝑡 = 𝑚𝒗 − 𝑚𝒗 0 𝑡 0二、功和功率 1．恒力的功 公式：𝐴 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃∆𝑟 𝑟 式中，𝜃为恒力𝑭与位移∆𝒓的夹角。 2．变力的功 𝑏 𝑏 𝑏 公式：𝐴 = ׬ d𝐴 = ׬ 𝑭 ∙ d𝒓 = ׬ 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃d𝑠 𝑎 𝑎 𝑎 该公式表明质点从𝑎点移至𝑏点时，变力对质点所做的功等于𝑎𝑏段上所有元功的 和。其中，d𝐴是力𝑭在位移元d𝒓上做的元功；𝜃是𝑭与d𝒓之间的夹角；d𝑠为d𝒓相应 的路程元。 （二）功率 d𝐴 𝑭∙d𝒓 公式：𝑃 = = = 𝑭 ∙ 𝒗 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 d𝑡 d𝑡(真题2015年下·高中）一物体在几个力同时作用下运动，其位移为∆𝑟 = 8𝑖Ԧ − 2𝑗Ԧ + 4𝑘(SI), 其中一个分力为𝐹 = 6𝑖Ԧ + 4𝑗Ԧ − 𝑘(SI)，则该分力在此过程的功为（ ）。 A.36J B.48J C.56J D.60J 2024FENBI【例1】传送机通过滑道将长为𝐿、质量为𝑚的柔软匀质物体以初速𝑣 向右送上水平台 0 面，物体前端在台面上滑动𝑠距离后停下来，已知滑道上的摩擦可忽略不计，物与台面间 的摩擦因数为𝜇，而且𝑠 > 𝐿，试计算物体的初速度𝑣 0三、动能定理 质量为𝑚的质点在合外力𝑭作用下，由𝑎点运动到𝑏点时，速率由𝑣 变化到𝑣，有 0 𝑏 𝑏 𝑏 𝑣 d𝑣 d𝑠 1 1 2 2 𝐴 = න d𝐴 = න 𝑚 ⋅ d𝑠 = න 𝑚 ⋅ d𝑣 = න 𝑚𝑣d𝑣 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 0 d𝑡 d𝑡 2 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑣 0 合外力对物体作的功总等于物体动能的增量【例】一链条，总长为 𝑙 ，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为 𝑎 ，如图所示， 假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。四、保守力与势能 （一）保守力与非保守力 1．保守力 （1）概念 力对物体做的功只与运动物体的始、末位置有关，与路径无关，这样的力称为保守力。 （2）保守力做功的特点 ∮ 𝑭 ⋅ d𝒓 = 0 𝐿 ∮ 表示沿闭合曲线积分，上式表明：质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作 𝐿 的功为零。2．非保守力 力对物体所做的功与物体的始、末位置和运动路径都有关，这样的力称为非保守力，如 摩擦力。 （二）势能 保守力场中，物体空间位置的单值函数称为势能，用𝐸 表示。保守力的功等于势能增量 p 的负值，为 𝐴 = − 𝐸 − 𝐸 = −Δ𝐸 p𝑏 pa p 式中，𝐸 是末位置的势能，𝐸 是初位置的势能。 p𝑏 pa2 【例】有一保守力𝑭 = −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝒊，沿𝑥轴作用于质点上，式中𝐴、𝐵为常量，取 𝑥 = 0时𝐸 = 0，则与此力相应的势能为（ ）。 p 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 2 3 2 3 A． 𝑥 − 𝑥 B． 𝑥 − 𝑥 2 3 3 2 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 3 2 3 2 C． 𝑥 − 𝑥 D． 𝑥 − 𝑥 3 2 2 3五 、 角 动 量 定 理 角 动 量 守 恒 定 律 （一）力矩和角动量 1.力矩 质点𝑃在坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧中的位置矢量是𝒓，那么作用于质点的力𝑭相对于固定点𝑂所产生 的力矩为 𝑴 = 𝒓 × 𝑭 ° 力矩是矢量，其大小为𝑀 = 𝑟𝐹𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐹𝑑，𝜑为𝒓、𝑭间小于180 的夹角。𝑴的方向垂 直于由矢量𝒓和𝑭所决定的平面，其指向由右手螺旋确定：右手的四指由𝒓的方向经小于 ∘ 180 的角转向𝑭的方向，伸直的拇指所指的方向就是力矩𝑴的方向。2.角动量 如果质点的速度为𝒗，质点位矢𝒓与其动量𝑚𝒗的叉积，称为质点对𝑂点的角动量或动量 矩，表达式为 𝑳 = 𝒓 × 𝑚𝒗 角动量是矢量，其大小为𝐿 = 𝑚𝑣𝑟𝑠𝑖𝑛𝑎，式中𝑎为𝒓与动量𝑚𝒗之间的夹角，它的方向垂 直于由矢量𝒓和𝑚𝒗所决定的平面，其指向由右手螺旋法则确定：让右手的四指由矢量𝒓的方 向经小于180∘ 的角转到矢量𝑚𝒗的方向，拇指所指的方向就是角动量𝑳的方向。（二）质点的角动量定理 1.内容 质点角动量的增量，等于在同一时间内它所获得的冲量矩。 2.公式 𝑡 න 𝑴d𝑡 = 𝑳 − 𝑳 0 𝑡 0 𝑡 式中，׬ 𝑴d𝑡称为𝑴在𝑡 到𝑡的时间内对定点𝑂的冲量矩。 0 𝑡 0（三）质点的角动量守恒定律 1.内容 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零，则质点对同一参考点的角动 量将保持恒定。 2.公式 d𝑳 𝑴 = = 0，𝑳 =常矢量 d𝑡【例】角动量为𝐿、质量为𝑚的地球人造卫星，在半径为𝑟的圆轨道上运行。试求它的动 能、势能和总能量。（真题2022年上·高中）北斗卫星导航系统是中国攀登科技高峰取得的重大成果， 如图所示，某北斗卫星在近地点A和远地点B的动能分别为𝐸 ，𝐸 ，角动量大小分 𝑘𝐴 𝑘𝐵 别为𝐿 、𝐿 ，则（ ） 𝐴 𝐵 A．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 < 𝐸 𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵 B．𝐿 < 𝐿 ，𝐸 < 𝐸 𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵 C．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 > 𝐸 𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵 D．𝐿 > 𝐿 ，𝐸 > 𝐸 𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵 2024FENBI第三节 刚体的定轴转动 刚体运动的描述 （一）刚体的概念：在任何情况下形状和大小都不会发生变化的物体称为刚体。 （二）刚体的平动：如果在运动过程中，刚体内任意两点所连成的直线始终保持与初始位置平行， 则称这种运动为平动。 （三）刚体的定轴转动概述 1.转动：如果刚体在运动过程中，其上各点都绕同一条直线旋转，这种运动就称为转动，这一直 线叫做转轴。 2.定轴转动：如果转轴相对于所选的参考系固定，这种转动则称为绕固定轴的转动，简称定轴转 动。转动惯量 （一）物理意义 转动惯量是描述刚体在转动时总惯性大小的物理量。转动惯量用符号𝐽表示，单位是kg ∙ m2 。 （二）公式 1.单个质点的转动惯量为:𝐼 = 𝑚𝑟2 2.质点系的转动惯量为:𝐼 = σ 𝑚 𝑟 2 𝑖 𝑖 3.质量连续分布的刚体的转动惯量:𝐼 = ׬ 𝑟2d𝑚 𝑚 d𝑚为质量元，简称质元。质量为线分布时，d𝑚 = 𝜆d𝑙，𝜆为质量的线密度；质量为面分布时， dm = σd𝑆，𝜎（西格玛）为质量的面密度；质量为体分布时，dm = ρd𝑉，ρ为质量的体密度。【例】求质量为𝑚、长为𝑙的匀质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量。 𝑦 𝑥 𝑥 𝑂 d𝑥【例2】如图表示质量为𝑚、半径为𝑅、密度均匀的圆盘，求它对过圆心且与盘面垂直的 转轴的转动惯量。 𝑅 𝑟 d𝑟（三）平行轴定理 刚体转动惯量与轴的位置有关。若二轴平行，其中一轴过质心，则刚体对二轴转动 惯量有下列关系： 2 𝐼 = 𝐼 + 𝑚𝑑 𝐶 其中，𝑚为刚体质量，𝐼 为刚体对过质心轴的转动惯量，𝐼为对另一平行轴的转动 𝐶 惯量，𝑑为两轴的垂直距离，该式叫做平行轴定理。 𝑧′ 𝑧 𝐶 𝑑 𝑂【例】如图所示为实验用的摆，摆长为𝑙，摆球（圆盘）半径为𝑟，摆长的质量为𝑚 ， 𝑙 摆球的质量为𝑚 。求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量。 𝑟 𝑙 𝑟刚 体 的 定 轴 转 动 定 律 （一）内容 在定轴转动中，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反 比。 （二）公式 𝑀 𝛽 = 或 𝑀 = 𝐼𝛽 𝐼 𝑑𝜔 𝑀 = 𝐼𝛽 = 𝐼 𝑧 𝑑𝑡【例1】一转动系统的转动惯量为I，角速度为ω，两制动闸瓦对轮的压力都为𝐹 ， 𝑁 闸瓦与轮缘间的摩擦因数为𝜇，轮半径为𝑟，求从开始制动到静止需用多少时间。【例2】一半径为𝑅，质量为𝑚的匀质圆盘（忽略厚度），平放在粗糙的水平桌面上， 设盘与桌面间的摩擦因数为𝜇，令圆盘最初以角速度𝜔 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转， 0 问它将经过多少时间才停止转动？ 𝑅 𝑟 d𝑟（真题2016年下·高中）确定物体绕某个轴的转动惯性，可以由理论计算也可通过实验测定。 （1）用积分计算质量为𝑚、半径为𝑅的内质薄圆盘绕其中心轴转动惯量。 （2）如图所示，该圆盘质量未知，可用如图的实验方法测得该圆盘绕中心轴的转动惯量。左 圆盘的边缘绕有质量不计的细绳，绳的下端挂一质量为𝑚的重物，圆盘与转轴间的摩擦忽略 不计。测得重物下落的加速度为𝑎，求圆盘绕其中心轴的转动惯量。 2024FENBI五 、 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律 （一）刚体的角动量 1.概念：刚体做定轴转动的角动量的大小等于其转动惯量与角速度的乘积，其方向与角速 度方向相同。 2.公式：𝑳 = σ 𝑟 ×△ 𝑚 𝑣 = σ△ 𝑚 𝑟 2 𝝎 = 𝐼𝝎 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 式中， △ 𝑚 为刚体的第𝑖个质元的质量， 𝑟 为该质元到转轴的距离， 𝜔为刚体绕定轴转动 𝑖 𝑖 的角速度。 （二）刚体的角动量定理 𝑑𝑳 1.微分形式： 𝑴 = 𝑑𝑡 该式表明作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。 𝑡 𝑡 2.积分形式： ׬ 𝑴𝑑𝑡 = ׬ 𝑑𝑳 = 𝑳 − 𝑳 = 𝐼𝝎 − 𝐼𝝎 𝟎 𝟎 𝑡 𝑡 0 0 该式表明作用于刚体的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。（三）角动量守恒定律 若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量为一常量。 公式： 𝑳 = σ 𝑳 = 常量 𝒊 即： 𝐼 𝝎 = 𝐼 𝝎 1 1 2 2【例1】在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为𝑚的人。圆盘的半径为𝑅，转动惯量 为𝐼，角速度为𝜔。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化。六 、 刚 体 转 动 的 功 与 能 （一）刚体的转动动能 刚体由于转动而具有的动能称为刚体的转动动能 1 𝐸 = 𝐼𝜔2 𝑘 2 （二）力矩的功 𝜃 当刚体在力矩𝑀的作用下，从角𝜃 转到角𝜃 时，力矩M所做的总功为：𝐴 = ׬ 𝑑𝐴 = ׬ 2 𝑀𝑑𝜃 1 2 𝜃 1 若𝑀与𝑑𝜃同号，则𝐴为正；若异号，𝐴为负。 （三）刚体定轴转动的动能定理 1 1 2 2 𝐴 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 = 𝐸 − 𝐸 2 1 𝑘2 𝑘1 2 2【例1】某冲床上飞轮的转动惯量为4.00 × 10 3 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚 2 ，当它的转速达到30 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛 时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降到10 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛，求每冲一次飞轮对外所 做的功。【例2】一根质量为𝑚、长为𝑙的均匀棒𝑂𝐴，可绕通过其一端的光滑轴𝑂在竖直平面 内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点𝐶和端点𝐴 的速度。质点的直线运动 刚体的定轴转动 𝑑𝑥 𝑑𝜃 速度𝑣 = 角速度𝜔 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝜔 加速度𝑎 = 角加速度𝛽 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 匀速直线运动𝑥 = 𝑣𝑡 匀角速转动𝜃 = 𝜔𝑡 力𝐹 力矩𝑀 质量𝑚 转动惯量𝐼 牛二𝐹 = 𝑚𝑎 转动定律𝑀 = 𝐼𝛽 动量𝑚𝑣 角动量𝐼𝜔 冲量𝐹𝑡 冲量矩𝑀𝑡 动量定理𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 角动量定理𝑀𝑡 = 𝐼𝜔 − 𝐼 𝜔 0 0 0 动量守恒定律σ 𝑚𝑣 = 常量 角动量守恒定律σ 𝐼𝜔 = 常量 1 1 2 2 平动动能 𝑚𝑣 转动动能 𝐼𝜔 2 2 常力的功𝐴 = 𝐹𝑠 常力矩的功𝐴 = 𝑀𝜃 1 1 1 1 2 2 2 2 动能定理𝐹𝑠 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 动能定理𝑀𝜃 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 0 0 2 2 2 2在 粉 笔 ， 遇 见 不 一 样 的 自 己 ! 粉笔教师教育 粉笔教师