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树德中学高 2021 级高三上学期期末测试数学（文科）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
9. 已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则实数 的取值
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
范围为（ ）
目要求的.
A． B． C． D．
1．已知集合 ，则 （ ）
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正
A． B． C． D．
确的是（ ）
2. 在复平面内，复数z，z 对应的点分别是 ，则 的模是（ ）
1 2
A. 在区间 上的最小值为
A．5 B． C．2 D．
3. 已知圆锥的母线长为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） B. 为偶函数
A． B． C． D．
C. 图象 对称中心是 ，
的
4．下列叙述错误的是（ ）
A.命题“ ， ”的否定是“ ， ” D. 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
B.若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为 11. 如图，已知正方体 的棱长为 为 BC 的中点，过点 C 作与直线 D 1 P 垂直的平面α ，
C. ， 则平面α 截正方体 的截面的周长为（ ）
D.设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 A． B． C． D．
5. 平面直角坐标系内，与点 的距离为1且与圆 相切的直线有（ ） { 2
f (x)=¿ x ,x≤1¿¿¿¿
A．0条 B．4条 C．2条 D．3条 f (x)=m|x−1|
12. 已知函数 ，若方程 有5个不同的实数根，且最小的两个实
6. 如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的
x ,x
x +x
数根为 1 2，则 1 2 2 2的取值范围是（ ）
绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（ ）
2e−1 2e+1 1 2e+1 2e−1 2
A. 16.32 B. 15.32 C. 8.68 D. 7.68 (0, ) (0, ) ( , ) ( ， )
e2 e2 e e2 e2 e
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
7． 双曲线 ： （ ， ）的一条渐近线过点 ， ， 是 的左右焦点，且
2√6 13. 已知 ， ，则 在 方向上的投影等于 ．
焦点到渐近线的距离为 ，若双曲线上一点 满足 ，则 （ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
8. 某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，
14. 已知 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，
15 . 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线 交于A，B两点（点A在第一象限），
6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师
的编号之和为（ ） 若点D为抛物线 的准线上一点，且 ，则直线 的斜率为 .
A．906 B．966 C．1506 D．1566 16. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，一直线分△ABC为面积相等的两个部分，且夹在
AB、BC之间的线段为MN，则MN长度的最小值为______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） √3
C:
17. （本小题满分12分）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高 2
20. （本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，其上顶点到右顶点的距离
校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合
√5
素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试， 为 ．
进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ， （1）求椭圆C的标准方程；
第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、 （2）若O为坐标原点，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M(0,m)点，若存在实数m，
四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． 使得 O ⃗ A+ 2O ⃗ B=3O ⃗ M ，求实数m的取值范围．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的中位数（数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取
5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不
同组的概率．
21. (本小题满分12分) 已知函数 ， .
（1）若函数 只有一个零点，求实数 的取值所构成的集合；
λ∈(0,e)
（2）已知 ，若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
18. (本题满分12分）已知数列数列 满足 ， ，其中n∈N*．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．以坐
19. （本小题满分12分）已知球内接正四棱锥 的高为 相交于 ，球的表面积为
标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
，若 为 中点. （2）若直线 与曲线 有2个公共点，求 的取值范围．
（1）求异面直线 和 所成角的余弦值；
（2）求点 到平面 的距离.
23. （10分）已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.连 ，则 ，则在 ，有 ，即 ，可
高2021级高三期末考试数学试题（文科）参考答案
得正方形 的边长为 ,侧棱 ；
一、1－5CDADD 6－10ABDCB 11－12CB
在正方形 中， ，所 以是异面直线 和 所成的角或其补角，
取 中点 ，在等腰 中，可得 ，斜高 ，
二、 13、 14、4 15、 16、2
三、17、解：（1）由题意可知： ， ， 则在 中， ，
解得 ， ；
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ；
（2）由频率分布直方图估计众数为 ，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之
（2）由 为 中点，得 ，
且满足 平面 平面 ，所以 平面 ，
和为0.75，则估计中位数数为 ；
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
（3）根据分层抽样， 和 的频率比为 ，故在 和 中分别选取4人 又因为 ,
和1人，分别设为 和 ，则在这5人中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点有 再设 到平面 的距离为 ，则由 ，
共10个，即 ，记事件 “两人来自不同 可得 ，即 ，则 ，
组”，
所以点 到平面 的距离 .
则事件 包含的样本点有 共4个，即 ，
{√ a2+b2=√ 5,
所以 . a2=b2+c2,
20、解：(1)由题意得， 解得 a2=4 ， b2=1 ，所以椭圆 C 的方程
c √ 3
e= = ,
a 2
18、（1）由 得： ，故 ， ， ，……， ，
x2
为 + y2=1 ．
4
，
(2)当直线 l 不存在斜率时，直线与纵轴有无数或没有交点，不符合题意；
当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程设为 y=kx+m ，
以上n-1个式子相乘得， ，故 ； {x2
+ y2=1,
于是有 4
⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
，
（2）由 ，结合（1）可得： ，
y=kx+m
因为该直线与椭圆有两个交点，所以有 Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0 ，
所以 ， ，
化简得 4k2-m2+1>0 ．
两式相减得， ， 8km 4m2-4
设 A(x ,y ) ， B(x ,y ) ， 于 是 有 x +x =- ， x x = ， 因
1 1 2 2 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
所以 ，故 ． ⃗ ⃗ ⃗
为 OA+2OB=3OM ，
所以 (x ,y )+2(x ,y )=3(0,m)⇒x +2x =0⇒x =-2x ，
19、（1）由球的表面积公式 ，得 ， 1 1 2 2 1 2 1 2
设球心为 ，在正四棱锥 中，高为 ，则 必在 上，代 入 x 1 +x 2 =- 1 8 + k 4 m k2 中 ， 得 -2x 2 +x 2 =- 1 8 + k 4 m k2 ⇒x 2 = 1 8 + k 4 m k2 ， 于 是 M(x)= 1 x + (ln x x) 2 ( 1 e <x<1) ( 1 e ，1) M( 1 e )=2e,M(1)=1.
所以 在 单调递减，又
4m2-4
有 (-2x )⋅x = 所以 的值域为 (1,2e) .
2 2 1+4k2
⇒-2 ( 8km ) 2 = 4m2-4 ，化简，得 k2= m2-1 ，代入 4k2-m2+1>0 中， 22、（1）因为 ， ， ，将曲线 的参数方程中的参数消去，
1+4k2 1+4k2 4-36m2
得 4⋅ m2-1 -m2+1>0⇒ 1 <m2<1 ，所以 m 的取值范围为 (1 ,1 ) ∪ ( -1,- 1) ． 并结合 可得曲线 的普通方程为： ．
4-36m2 9 3 3
直线 的极坐标方程为 ，将 ， 代入上式，得
21、解：（1）当 时，显然不满足题意，
当 时，若函数 只有一个零点，即 只有一个根，因为1不是方程的根，所 直线 的直角坐标方程为 ．
（2）曲线 是以 为圆心，1为半径的四分之一圆弧，且圆弧两端点的坐
以可转化为 只有一个根，即直线 与函数 （ 且 ）的图象只有一个交
标分别为 和 ，作出曲线 与直线 ，如图所示，当直线 经过点
点.
时，直线 与曲线 有两个交点，此时 ．当直线 与曲线 相切时，
，令 ，得 ，在 和 上， ，在
有
上， ，所以 在和 上单调递减，在 上单调递增.
，解得 或 （舍去）．数形结合可知 的取
在 时有极小值 ， 图象如图所示：
由图可知：若要使直线 与函数 的图象只有一个交点， 值范围为 ．
则 或 ，综上 的取值所构成的集合为 .
23、解：（1） ，即 ，利用零点分区间法，对 去绝对值，当 时，由
，得 ，所以 ，当 时， 成立，所以 ，当 时，由
2）由题意知 ，
（ ，得 ，所以 .综上可知，不等式 的解集为 .
[0,+∞)
令 得 所 在 上单调递增. （2）由题意，可知 ，由（1）得当 时， 恒成立，因为 ，所以 时不等
t(0)=−1<0,t(1)=eλ −1>0. x ∈(0,1),
又 由零点的存在性定理知存在 0 使得 式恒成立；
x∈(0,x ) f '(x)<0 f (x) x∈(x ，+∞) f '(x)>0 f (x) 当 时， 恒成立，所以 时不等式恒成立；
所以当 0 时， ， 单调递减；当 0 时， ， 单调递
增.
当 时， 恒成立，而 ，所以 时不等式恒成立；
lnx lnx
λ=− 0 0<− 0 <e
λx
h(λ)=f(x )=e 0−λx . x λ∈(0,e) x 当 时，即 恒成立，而 ，所以 不等式恒成立.
故 0 0 又 所以 0 ，又 ，所以 0 .
lnx lnx−1 1
r(x)=− ⇒r'(x)= ,r(x) r(1)=0,r( )=e.
x x2 (0,1) e 综上，满足要求的 的取值范围为 .
令 在 单调递减，
lnx
1
lnx
0<− 0 <e <x <1 λ=− 0
λx
x e 0 x h(λ)=e 0−λx
由 0 得 .将 0 代入 0，
h(λ)= 1 + (lnx 0 ) 2 ( 1 <x <1) M(x)= 1 + (lnx) 2 ( 1 <x<1)
x x e 0 x x e
得 0 0 . 令 ， 得
(lnx−1) 2
M'(x)=− <0
x2
，
