文档内容
绵阳市高中 2021 级第二次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若变量x，y满足不等式组 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为 ，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，
x 2 4 6 8
y 5 8.2 13 m
则下列说法正确的是（ ）
A． B．变量y与x是负相关关系
C．该回归直线必过点 D．x增加1个单位，y一定增加2个单位
6． 的展开式中，x的系数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．5 D．10
7．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数 关于直线 对称，且 在区间 上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系 中，角 的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
11．己知曲线 与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C
均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．设 分别为椭圆 的左，右焦点，以 为圆心且过 的圆与x轴交于另一
点P，与y轴交于点Q，线段 与C交于点A．己知 与 的面积之比为 ，则该椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
学科网（北京）股份有限公司l3．己知 为钝角， ，则 _______．
14．甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上
放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为_________．
15．己知 ，若 为偶函数，则 _________．
16．已知 分别是双曲线 的左，右焦点，过点 作E的渐近线
的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当 轴时， ，则E的渐近线方程为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
18．（12分）
绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随
机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
（1）能否有 的把握认为喜欢旅游与性别有关？
（2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为 ，求 的
分布列与数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
学科网（北京）股份有限公司19．（12分）
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求b．
20．（12分）
己知直线 与抛物线 交于A，B两点，F为E的焦点，直线FA，FB的斜率之
和为0．
（1）求E的方程；
（2）直线FA，FB分别交直线 于M，N两点，若 ，求k的取值范围．
21．（12分）
函数
（1）已知 在 上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若 在定义域上是单调函数， 满足 ，证明： ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴
正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C极坐标方程；
（2）若A，B为曲线C上的动点，且 ，求 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（1）已知a，b，x，y均为正数，求证： 并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数 的最大值，并指出取最大值时x的值．
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