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秘密★启用前
遂宁市高 2021 级第一次诊断性考试
数学（文科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知向量 ，则 （ ）
A．10 B．18 C． D．
4．已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司下列说法正确的是（ ）
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6．执行如图所示的程序框图，若输人的 值为2023，则输出的 值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，则 （
）
A．2 B． C． D．
8．已知 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
10．函数 的图象经过点 ，将该函数的图象向右平移 个单位
长度后，所得函数图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
11．在正方体 中，下列结论正确的是（ ）
A． 与 所成的角为 B． 与 所成的角为
C． 与 所成的角为 D． 与 所成的角为
12．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左、右焦点， 分别为 的左、右顶
点． 为 上一点，且 轴，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与
轴交于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数 为偶函数，则 ______________．
14．已知实数 满足 则 的最大值为______________．
15．在正四棱台 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 ，则该四棱
台的高是______________．
16．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所
织尺数之积．则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第 2天开始，每天比前一天多织相同
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积．问第10天织布尺数为
______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 1721题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进
行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了 300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）
制成如下所示列联表：
良 优 合计
甲 生 产 40 80 120
线
乙 生 产 80 100 180
线
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．
若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ．
18．（12分）记 的内角 的对边分别为 ，若 为锐角三角形， ，，求
面积的取值范围．
从① ；② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点．
（1）求 ；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）如图，在三棱柱 中，直线 平面 ，平面 平面 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求证： ；
（2）若 ，在棱 上是否存在一点 ，使得四棱雉 的体积为 ？若存在，
指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数 ．
（1）若 ，判断 在 上的单调性，并说明理由；
（2）当 ，探究 在 上的极值点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ，曲线 （ 为参数，
），曲线 （ 为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）求 的极坐标方程；
（2）若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）令 的最小值为 ，正数 满足 ，证明： ．
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