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2023-2024 学年度第一学期教学质量检查
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．已知复数 ，则
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第
75百分位数是
A．9 B．7 C．5 D．3
4．函数 的图象不可能是
A． B．
C． D．
5．在等比数列 中， ， ，则
A． B． C． D．6．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
7．以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点
A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为
A． B． C． D．
8．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．
已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为
A．36 B．32 C．28 D．24
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在
答题卡中的相应位置涂黑．
9．已知函数 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是
A． 与 对称轴相同 B． 与 周期相同
C． 的最大值是 D． 不可能是奇函数
10．已知圆 ： ，圆 ： ，P，Q分别是 ， 上的动点，则下列结
论正确的是
A．当 时，四边形 的面积可能为7
B．当 时，四边形 的面积可能为8
C．当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为
D．当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为411．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ．若 是
的对称轴，且 ，则下列结论正确的是
A． 是奇函数 B． 是 的对称中心
C．2是 的周期 D．
12．如图几何体是由正方形 ABCD沿直线AB旋转90°得到的，已知点G是圆弧 的中点，点H是圆弧
上的动点（含端点），则下列结论正确的是
A．存在点H，使得CH⊥平面BDG
B．不存在点H，使得平面AHE∥平面BDG
C．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为
D．不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．双曲线C： （ ， ）的渐近线方程为 ，则其离心率 ．
14．已知向量 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
．
15．用试剂a检验并诊断疾病b，A表示被检验者患疾病b，B表示判断被检验者患疾病b．用试剂a检验并
诊断疾病b的结论有误差，已知 ， ，且人群中患疾病b的概率 ．
若有一人被此法诊断为患疾病b，则此人确实患疾病b的概率 ．16．若函数 的图象关于 对称，则 ， 的最小值为
．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，
超出指定区域的答案无效．
17．（本小题满分10分）
数列 的前n项积为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前2n项和 ．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形， ．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD．
（2）若 ， ，点E，F分别为PB，PD的中点，求点E到平面ACF的距离．
19．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；
（2）若 ，且D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C： （ ），连接C的四个顶点所得四边形的面积为 ，且离心率为 ．
（1））求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问轴上是否存在定点T，使
得△TAB的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目
少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，
以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中 ），记第i次试验中的A种数目为随机变
量 （ ，2，…，n）；③记随机变量 ，利用 的期望 和方差 进行估算．设
该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
（1）已知 ， ，证明： ，
；
（2）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 （ ，2…n），并计算了数据 （ ，
2…，n）的平均值 和方差 ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据 ．
（ⅰ）请用 和 分别代替 和 ，估算 和 ；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求 的分布列中概率值最大的随机事件 对应的随机变量的取值．
22．（本小题满分12分）
已知函数 （ ）．
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有 ， 两个根，且 ，求实数a的值．
