文档内容
深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考
数学答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B D A C C
二、多选题（每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD AC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 2 14. 36 15. 1 16.
四、解答题：本题共 6小题，第 17题10分，18―22题各 12分，共
70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （10分）
解：(1)∵ ，
∴当 时， ， ………………………………2分
两式相减得 ，即 ( )，………………………………………3分
当 时， ，符合上式，………………………………………………………………4
分
∴ 的通项公式为 ( )．…………………………………………………5
分
(2)∵ ， ………………………………………7
分
学科网（北京）股份有限公司∴ ， …………………………………………………9分
∴ ． …………………………………………………………………10分
18．（12分）
解：(1) （方法一）由余弦定理，得 ，
又∵ ，∴ ，………………………………………………1
分
a2 =b2 +bc
∴ ，………………………………………………………………………………2分
∵ ，……………………………………………3分
∴ ，…………………………………4
分
∴ ， ……………………………………………………………………………5分
又∵ ， ，∴ ．……………………………………………………………6分
sinC−sinB
cosA=
（方法二）由正弦定理，得 2sinB ，………………………………………1分
sinC=2cosAsinB+sinB
∴ ，……………………………………………………………2分
∵ ， ， 为△ 的内角，∴ ，
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
∴ ，………………………………………3分
sinAcosB−cosAsinB=sinB
∴ ，………………………………………………………4分
sin(A−B)=sinB
即 ，………………………………………………………………………5分
学科网（北京）股份有限公司又∵ ， ，∴ ．……………………………………………………………6分
(2) （方法一）由(1)可知 ，……………………………………………………7分
∵ ，∴ ，即 ， ………………………………………………8分
∴ ，…………………………………………9分
∵ ，∴ ， ，………………………………10
分
记△ 的面积为 ，
∴ ，………………………………………………11分
∴ ．……………………………………………………………………………………12分
（方法二）由正弦定理，得 ，即 ，……………………7
分
∵ ，∴ ，且 ，∴ ，……………………………8分
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，……………………………………9分
∴ ，…………………………………10分
记△ 的面积为 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，………………………………………………11分
∴ ．……………………………………………………………………………………12分
19．（12分）
解：(1) 证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ……………………………1分
∵ ，∴ ， ………………………………………………………………2分
∵△ 为等边三角形，∴ ， …………………………3分
A
又∵ ， 平面 ， E
∴ 平面 ， ……………………………………4
D
B
O
分
C
又∵ 平面 ，
∴ . …………………………………………………………………5分
(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面 内，若过 作直线 的垂线 交 于点
，则该垂线亦为平面 的垂线，故直线 在平面 内的射影为直线 ，
∴ 为直线 与平面 所成的角，即 ， ……………6分
不妨设 ，∵ ， 为 的中点，∴ ，
∵△ 为等边三角形，∴ ，
在△ 中，由正弦定理 ,得 ，∴ ，
∴ ，即 ，
由(1)知， ，且 ，…………………………………………………………7
分
以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，易得 ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则有 ， ，………………………………………………………8分
易知 为平面 的一个法向量，………………………………………………9分
z
设 为平面 的一个法向量，
A
E
则 即 ∴
D
B
O y
C
则平面 的一个法向量为 ，…10分 x
，…………11分
由图可知，二面角 为锐角，
∴二面角 的余弦值为 ，∴二面角 的大小为 . ……………12分
（解法二）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
由(1)不难知道，在平面 内，若过 作直线 的垂线 交 于点 ，则该垂线
亦为平面 的垂线，故直线 在平面 内的射影为直线 ，
∴ 为直线 与平面 所成的角，即 ， ……………6分
不 放 设 ， ∵ ， 为 的 中 点 ， ∴
A
E
，
∵△ 为等边三角形，∴ ， O F D
B
G
H
在△ 中，由正弦定理得 ，∴ ， C
∴ ，即 .
结合(1)可知，二面角 为直二面角， …………………………………………7
学科网（北京）股份有限公司分
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ,
又 ， 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，∴ 为二面角 的平面角. ………………………………8分
∵ ， ，∴ ， ， ， ……………………9
分
取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
∴ ，…………………………………………………………………10分
∴ ， …………………………………………………………………11
分
∴二面角 的余弦值为 ，∴二面角 的大小为 . ……………12分
20．（12分）
解：(1) 记“甲队获得冠军”为事件 ，“决赛进行三场比赛”为事件 ，
由题可知 ， …………………………………………………2分
， ……………………………………………………4分
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为 . …………6分
(2) 设主办方在决赛前两场中共投资 （千万元）， 其中 ，
若需进行第三场比赛，则还可投资 （千万元），
记随机变量 为决赛的总盈利，则 可以取 ， ， …………………………7分
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ………………9
分
∴随机变量 的分布列为
∴ 的数学期望 ， ………………………10分
令 ，则 ，…………………………11分
∴当 ，即 时， 取得最大值，
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为 千万元，即 万元. ……………………12分
21．（12分）
解：(1) ，……………………………………………………1分
若 ，由 ，则 时， ， 单调递增； 时，
， 单调递减；…………………………………………………………………2分
时，令 ，得 或 ，
若 ， 则 或 时 ， ， 单 调 递 增 ；
时， ， 单调递减；……………………………………………3
分
若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增；……………………4
学科网（北京）股份有限公司分
若 ，则 或 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．……………………………………………5
分
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
…………………………………………………6分
(2) 由(1)知， 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调
递减，则 的极小值点为 ，…………………………………………………7
分
由极大值 ， 且当 时， ，
存在唯一的零点 ，满足 ，…………………………8分
化简得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，………………………………………………9分
设 ， ，
，…………………………………………………………………10
学科网（北京）股份有限公司分
当 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减， …………………………………………………11
分
从而当 时， 有最小值 ，
综上所述， 存在唯一的零点 ，且 ．…………………………………12分
22．（12分）
解：(1) 由题意得 ， ………………………………………1分
易知 ， ………………………………………………………………2
分
由椭圆定义可知，动点 在以 ， 为焦点，且长轴长为 的椭圆上，
又 不能在直线 上，∴ 的方程为： ． …………………………3
分
(2) (i) （法一）设 ， ， ，易知直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， ∴ ，………………4分
∴ ， ，即 ， …………5分
同理可得， ， …………………………………………………………6分
∴ ，……………………………………………………………7
分
欲使 ，则 ，即 ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴存在唯一常数 ，使得当 时， ． …………………………8分
（法二）设 ， ， ，易知 的斜率 不为零，否则 与 重合，
欲使 ，则 将在 轴上，又 为 的中点，则 轴，这与 过 矛盾，
故 ，同理有 ， …………………………………………………………………4分
则 ，可得 ， …………………………………………5分
易知 ， ，且 ， ，
∴ ，即 ，……………………………………………………………6
分
同理可得， ， …………………………………………………………………7分
欲使 ，则 ， ∴ ，∴ ，
∴存在唯一常数 ，使得当 时， ． …………………………8分
(ii) 由(i)易知 ，且 ，
∴ ，
即 ，同理可得， ， …………………………………9分
∵ ，∴ ，记 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等， ………………………………………………………10分
由椭圆的对称性，不妨设此时 ， ，且直线 和 的夹角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，不难求得 ， …………………………………………11
分
此时，易知 ，且 ，
∴四边形 的面积为 ． ……………12
分
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
