文档内容
2023-2024 学年度第一学期期末质量检测
高三数学
2024.01
注意事项：
1．本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是平面 上的点， 是平面 上的点，且 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．80 B．160 C．121 D．242
6．已知 是边长为2的正六边形 的一个顶点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 在 有最小值，没有最大值，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．已知曲线 与 轴交于点 ，设 经过原点的切线为 ，设 上一点 横坐标为 ，若
直线 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在正方体 中，用垂直于 的平面截此正方体，则所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
10．已知 ，直线 ，且 ，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是4 D． 的最小值是3
11．已知直线 与圆 ，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆 均不经过点
B．若 关于 对称，则
C．若 与 相交于 且 ，则
D．存在圆 与 轴与 轴均相切
12．定义在 上的函数 满足 是函数 的导函数，则
（ ）
A．
B．曲线 在点 处的切线方程为
C． 在 上恒成立，则D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 的展开式中， 的系数为________．（用数字作答）
14．某同学收集了变量 的相关数据如下：
x 0．5 2 3 3．5 4 5
y 15
为了研究 的相关关系，他由最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ，经验证回归直线正
好经过样本点 ，则 ________．
15．已知抛物线 的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 在 轴右侧交于点
．若 在 上的射影为 且 ，则直线 的斜率为________．
16．将正方形 延对角线 折起，当 时，三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外
接球的体积为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．（12分）
正四棱锥 的底面 是边长为6的正方形，高为4，点 分别在线段 上，且
为 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12分）
的内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，
从条件① ；
条件② ；
条件③ 中选择一个作为已知，并解答下列问题．
（1）求角 的大小；
（2）点 是 外一点， ，若 ，求四边形 面积的最大值．
20．（12分）
在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为
．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对
每组的3个样本给出下面两种化验方法：
方法1：逐个化验；
方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验。若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本
呈阴性，则判断这3个样本均为阴性。
（1）若 ，用随机变量 表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出 的分布列并计算 ．
（2）若 ，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？
（3）若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求 的取值范围．
21．（12分）
已知函数 ．（1）若 的最值为 ，求实数 的值；
（2）当 时，证明： ．
22．（12分）
在平面直角坐标系中，已知 为动点，且 ，线段 的垂直平分线交线段
于点 ，设 的轨迹是曲线 ，射线 分别与 交于 两点．
（1）求 的方程；
（2）若 ，求证： 为定值．参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B A C D D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AD BC AB ABD
三、填空题
13．-10 14．69 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）解法一、由 得 ，
由累乘法得 ．
解法二、由 得 ，
则数列 是各项为1的常数列，所以 ，即 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ．
18．证明：（1）方法一、在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
在平行四边形 中，因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，且 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
方法二、延长 交于点 ，连接 ，
在平行四边形 中，因为 ，由三角形相似，易证 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ．
方法三、坐标法（略）
（2）连接 交 于点 ，连接 ，
因为正四棱锥 的底面 是正方形，所以 平面 ，
且 ，故以 为坐标原点， 所在直线依次为 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
由已知可得 ，
所以，设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
取 ，则 ，所以
设直线 与平面 的夹角为 ，则
．
19．解：（1）选①，方法一（射影定理），因为
由射影定理 得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
方法二（边化角）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
方法三（角化边）因为 ，由余弦定理得
，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
选②，方法一（角化边）因为 ，由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
方法二（边化角）因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．选③，因为 ，由 得 ，
由余弦定理得， ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）在 ，所以 为等边三角形，设 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由于 ，代入上式可得 ，
所以四边形 的面积
，
因为 ，所以 ，
所以当 时，四边形 的面积取最大值，最大值为 ．
20．解：（1） 的分布列为：
0 1 2 3
．
（2）采用方法1，3个样本需要试验次数为3次，或采用方法2，以实验次数为随机变量 ，则 的可能取
值为1或4，且 ，
所以 ，因为 ，所以方法2更优．
（3）采用方法2，设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量 ，
则 的可能取值为1或4，且 ，
由已知得
解之得， ．
所以 的取值范围为 ．
21．解：（1）易知 的定义域为 ，且 ，
①若 ，则 ，
为单调递增函数，无最值；
②若 ，令函数 ，则 ，
当 时， 为单调递增函数，
又 ，
在区间 上存在唯一零点，不妨设其为 ，
则 ，即 （*），
当 时， ，即 ，
在区间 上单调递减；
当 时， ，即 ，
在区间 上单调递增，
存在唯一的最值（最小值），且最小值为 ，
由题意可知， （**），，代入（**），得 ，
又 ，
令函数 ，则 ，
为单调递减函数，
易知 ， 由 可知 ，
由 可知 ，
综上所述，若 的最值为 ，则实数 的值为1．
（2）由（1）可知，当 时， 的最小值为 ，且
， （*），
对（*）式两边取对数，得 ，
由基本不等式，可知 ，
又 ， ，证毕．
22．（1）解：由已知得 ，且 ，所以 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ，
所以 ，
所以 的方程为 ．
（2）证明：设直线PA的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
因为 ，所以设 ，
则有 ，
同理可得
由 得
，
即 为定值．
