数学-2024年1月“七省联考”考前猜想卷（全解全析）_2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学试题+答案

2024年1月“七省联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．若全集 U =R，A={x|x<1}，B={x|x>1}，则（ ） A．A⊆B B． A=B C．B⊆ A D．AB=R U U 【答案】C 【解析】A={x|x<1}，B={x|x>1}， A={x|x≥1}，则A∩B=∅，A错误， U B⊆ A，B错误，C正确，A∪B={x|x<1或x>1}，D错误，故选C. U 3+ai 2．已知i为复数单位， =2+i，则z=1+ai的模为（ ） 1−i A．1 B． 2 C．2 D．4 【答案】B 3+ai 【解析】由 =2+i可得3+ai=(2+i)(1−i)=3−i，所以a=−1， 1−i 所以z=1−i，则 z = 12+(−1)2 = 2，故选B.    ( ) 3.在三角形ABC中，AC =3，AB=4，∠CAB=1200，则 AB+AC ⋅AB=（ ） A．10 B．12 C．-10 D．-12 【答案】A     【解析】记AC =a,AB=b，则 a =3,b =4， a  ⋅b  = a  ⋅b  cosθ=12cos120 =−6，∴ ( a  +b  ) ⋅b  =a  ⋅b  + b  2 =−6+16=10.1 1 tanα 4．sin(α−β)+sin(α+β)= ，cosαsinβ= ，则 =（ ） 2 3 tanβ 3 4 3 2 A． B． C． D． 4 3 2 3 【答案】A 1 1 【解析】由sin(α−β)+sin(α+β)= ，得2sinαcosβ= ， 2 2 1 1 即sinαcosβ= ，而cosαsinβ= ， 4 3 tanα sinαcosβ 3 所以 = = ，故选：A tanβ cosαsinβ 4 5.在等比数列{a }中，a ，a 是方程x2−8x+m=0两根，若a a =3a ，则m的值为（ ） n 2 6 3 5 4 A．3 B．9 C．−9 D．−3 【答案】B 【解析】因为a ，a 是方程x2−8x+m=0两根， 2 6 所以a +a =8,a a =m,∆=64−4m>0，即m<16， 2 6 2 6 在等比数列{a }中，a a =a a =a2，又a a =3a ， n 2 6 3 5 4 3 5 4 所以a2 =3a ，因为a ≠0，所以a =3，所以m=a2 =9，故选B. 4 4 4 4 4 6．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平 台．大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212m，短轴长度约为144m．若直线l平行于长轴 且C的中心到l的距离是24m，则l被C截得的线段长度约为（ ） A．140m B．143m C．200m D．209m 【答案】C 【解析】设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示， x2 y2 设椭圆的方程为： + =1，a> b > 0，由题意可得2a=212，2b=144， a2 b2 x2 y2 将a=106，b=72代入方程，得 + =1， 1062 722因为直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24m， 424 2 令y=24，得|2x|= ≈200(m)，故选C． 3 7. “b=± 10”是“直线x+y+b=0与圆C:(x+1)2+(y−1)2 =5相切”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】C b 【解析】圆心C到直线x+y+b=0的距离d = = 5， 2 所以b = 10，即b=± 10，所以所求直线方程为x+y± 10 =0． “b= 10”是“直线x+y+b=0与圆C:(x+1)2+(y−1)2 =5相切”的充要条件，故选C. 8．设a=ln2,b=1.09,c=e0.3，则（ ） A．ce0 =1>a， 令 f (x)=ex−x2−1，则 f′(x)=ex−2x， 令g(x)=ex−2x，则g′(x)=ex−2， 当x∈(−∞,ln2)时，g′(x)<0, f′(x)单调递减， 当x∈(ln2,+∞)时，g′(x)>0, f′(x)单调递增， 所以 f′(x)≥ f′(ln2)=2(1−ln2)>0， 所以 f (x)在R上单调递增， 所以 f (0.3)> f (0)=0，即e0.3 >1.09，所以c>b. 综上，a0,ω>0,− <ϕ< 的部分图象如图所示，则（ ）  2 2 A． f (x)的最小正周期为π π π  3 3 B．当x∈  − ,  时， f (x)的值域为− ,   4 4  2 2  π C．将函数 f (x)的图象向右平移 个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象 12 D．将函数 f (x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 5π   ,0 对称 6   【答案】ACD 5π π 【解析】由图可知，A=1，函数 f (x)的最小正周期T =4× − =π，故A正确； 12 6 2π 2π 2π 由T = ,ω>0，知ω= = =2， ω T π π  π  π π π 因为 f =1，所以sin2× +ϕ=1，所以 +ϕ=2kπ+ ，k∈Z，即ϕ=2kπ+ ，k∈Z， 6  6  3 2 6 π π π  π 又− <ϕ< ，所以ϕ= ，所以 f(x)=sin2x+ ， 2 2 6  6  π π π  π 2π  π  3  对于B，当x∈  − ,  时，2x+ ∈  − ,  ，所以sin2x+ ∈− ,1，  4 4 6  3 3   6  2   3  所以 f (x)的值域为− ,1，故B错误；  2  π   π  π 对于C，将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到g(x)=sin2x− + =sin2x的图象，故C正 12   12 6 确；  π 对于D，将函数 f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sinx+ 的图  6 象， 5π 5π π 5π  因为当x= 时，y=sin + =sinπ=0，所以得到的函数图象关于点 ,0 对称，故D正确．故选 6  6 6  6  ACD． 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD−ABCD 中，P为棱CC 上的动点(点P不与点C，C 重合)，过点 1 1 1 1 1 1 P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）A．A C⊥平面α 1 B．存在点P，使得AC ∥平面α 1 5 C．存在点P，使得点A 到平面α的距离为 1 3 D．用过点P，M，D 的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 1 【答案】ACD 【解析】 连接BC,BD,DC,AD,DP 1 1 1 1 CM CN 因为CM =CN,CB=CD，所以 ＝ ，所以MN//BD CB CD 又MN⊄平面CBD，BD⊂平面CBD，所以MN//平面CBD 1 1 1 同理可证MP//BC ，MP//平面CBD 1 1 又MP∩MN =M ，MN、MP⊂平面α，所以平面CBD //平面α 1 易证AC⊥平面CBD，所以AC⊥平面α，A正确 1 1 1 又AC ∩平面CBD =C ，所以AC 与平面α相交，不存在点P，使得AC ∥平面α，B不正确. 1 1 1 1 1 3 因为 AC = 1+1+1= 3，点C到平面CBD的距离为 1 1 3 2 3 所以点A 1 到平面α的距离的取值范围为( , 3) 3 2 3 5 5 又 < < 3，所以存在点P，使得点A 1 到平面α的距离为 ，C正确. 3 3 3 因为AD//BC ，所以AD //MP，所以用过点P，M，D 的平面去截正方体得到的截面是四边形ADPM 1 1 1 1 1 又AD //MP，且AD ≠MP，所以截面为梯形，D正确 1 1 故选：ACD12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射 出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 C:y2 =2x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 从点P(m,2)射入，经过C上的点A(x,y )反射 1 1 1 后，再经过C上另一点B(x ,y )反射后，沿直线l 射出，经过点Q，则（） 2 2 2 1 A．xx = 1 2 4 1 B．延长AO交直线x=− 于点D，则D，B，Q三点共线 2 13 C． AB = 4 9 D．若PB平分∠ABQ，则m= 4 【答案】AB 1  【解析】由题意知，点F ,0，A(x,2)，如图： 2  1 2−0 4 k = = 将A(x,2)代入y2 =2x，得x =2，所以A(2,2)，则直线AB的斜率 1 3， 1 1 2− 2 4 1 4 2 则直线AB的方程为y−0= x− ，即y= x− ， 3 2 3 3 y2 =2x  1 联立 4 2 ，得8x2−17x+2=0，解得x =2，x  ， y= x− 1 2 8  3 3 1 1 1 1 又x  时，y =− ，则B ,−  2 8 2 2 8 2 1 1 所以xx =2× = ，所以A选项正确； 1 2 8 4 1 25 又 AB =x +x +1=2+ +1= ，所以C选项错误； 1 2 8 81 1 1 又知直线BQ∥x轴，且B ,− ，则直线BQ的方程为y=− ， 8 2 2 又A(2,2)，所以直线AO的方程为y=x， 1 1  1 1 令x=− ，解得y=− ，即D− ,− ，D在直线BQ上， 2 2  2 2 所以D，B，Q三点共线，所以B选项正确；  π 设直线PB的倾斜角为θ（θ∈  0, ），斜率为k ，直线AB的倾斜角为α， 2 0   若PB平分∠ABQ，即∠ABQ=2∠PBQ，即α=2θ， 2tanθ 4 2k 1 所以tanα=tan2θ= ，则 = 0 ，且k >0，解得k = ， 1−tan2θ 3 1−k2 0 0 2 0  1 2−−   2 1 41 又k = = ，解得：m= ，所以D选项错误；故选AB. 0 1 2 8 m− 8 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分 13．给定条件：① f (x)是奇函数；② f (xy)= f (x) f (y).写出同时满足①②的一个函数 f (x)的解析 式： . 【答案】 f (x)=x（答案不唯一） 【解析】当 f (x)=x时，定义域为R，关于原点对称，且 f (−x)=−x=−f (x)，则其为奇函数， 又因为 f (xy)=xy=x⋅y= f (x) f (y)，所以 f (x)=x满足题意， 2 14．已知(ax−2)(x+ )5的展开式中的常数项为240，则a= ． x 【答案】3 2 2 【解析】(x+ )5的展开式的通项T =Crx5−r( )r =2rCrx5−2r(r=0,1,2,3,4,5)， x r+1 5 x 5 令5−2r=−1得r=3，令5−2r=0，无解， 2 所以(ax−2)(x+ )5的展开式中的常数项为a⋅23C3 =80a=240，所以a=3. x 5 15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王 3 燕获胜的概率为 ，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为 4 5 【答案】 32【解析】①第一局王燕胜，第二局张策胜，第三局张策胜，②第一局张策胜，第二局王燕胜，第三局 张策胜，③第一局，第二局张策2胜，∴比赛结束时乙获胜的概率 3 1 1 1 3 1 1 1 3 3 4 5 P= × × + × × + × = + + = 4 4 4 4 4 4 4 4 64 64 64 32 16.四棱锥P−ABCD各顶点都在球心O为的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， PA= AD=2,AB=2 2，设M,N分别是PD,CD的中点，则平面AMN截球O所得截面的面积 为 . 【答案】3π 【解析】如下图所示， 易知四棱锥P−ABCD外接球与以AP,AB,AD为棱长的长方体的外接球相同； 由题意可知球心O为PC中点， 故球O的直径2R= 22+22+ ( 2 2 )2 =4，解得R=2 由M,N分别是PD,CD的中点可得MN//PC，可得PC//平面AMN； 所以球心O到平面AMN的距离等于点C到平面AMN的距离， 设球心O到平面AMN的距离为d，截面圆的半径为r， 1 在三棱锥C−AMN中，易知AM ⊥平面MNC，且S = × 2× 2 =1， MNC 2 1 2 所以V = ×S ×AM = ， A−MNC 3 MNC 3 1 1 1 2d 而V = ×S ⋅d = × × 2×2d = ，由等体积法得d =1， C−AMN 3 AMN 3 2 3 所以r2 =R2−d2 =3，故截面面积为 πr2 =3π ． 四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1 1 17.（本小题满分10分）已知数列{a }满足a =1，且点( , )在直线y=x+1上. n 1 a a n+1 n （1）求数列{a }的通项公式； n（2）数列{a a }前n项和为 T ，求能使T <3m−12对n∈N*恒成立的m（m∈Z）的最小值. n n+1 n n 1 1 【解析】（1）点( , )在直线y=x+2上 a a n+1 n 1 1 得 − =2， ---------------------2分 a a n+1 n  1  1 所以数列 是以首项为 1，公差为2的等差数列． --------------------3分 a  a n 1 故 1 = 1 +2(n−1)=2n−1，即a = 1 ． ---------------------5分 a a n 2n−1 n 1 1 1 1 1  （2）a a = =  −  ---------------------6分 n+1 n (2n−1)(2n+1) 22n−1 2n+1 1 1 11 1 1 1 1  所以T = 1− +  − ++  −  n 2 3 23 5 22n−1 2n+1 1 1 1 1 1 1  1 1  1 = 1− + − ++ − = 1− < ， ---------------------8分 2 3 3 5 2n−1 2n+1 2 2n+1 2 要使T <3m−12对n∈N*恒成立， n 1 25 3m−12≥ ,即m≥ ---------------------9分 2 3 又m∈Z，所以m的最小值为9. --------------------10分 18.（本小题满分12分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−2bcosA=b． （1）求证：A=2B； （2）若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围． 【解析】（1）因为c−2bcosA=b， 由正弦定理得sinC−2sinBcosA=sinB ---------------------2分 又A+B+C=π，所以sin(A+B)−2sinBcosA=sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB---------3分  π  π  π π 因为ABC为锐角三角形，所以A∈0, ，B∈0, ，A−B∈− ,   2  2  2 2  π π 又y=sinx在− , 上单调递增，所以A−B=B，即A=2B； ---------------------5分  2 2 （2）由（1）可知，A=2B，所以在△ABD中，∠ABC =∠BAD， AD AB 2 1 由正弦定理得： = = ，所以AD=BD= ，---------------------7分 sinB sin(π−2B) sin2B cosB 1 sinB 所以S = ×AB×AD×sinB= =tanB． ---------------------9分 ABD 2 cosB又因为ABC为锐角三角形， π π π π π 所以02.706=x ，---------------------11分 30×25×40×15 0.1 根据小概率值α=0.1的独立性检验我们推断H 不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误 0 的概率不超过10%. ---------------------12分 20.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCABC 的底面是等边三角形，AB= AA =6，∠ABB =60°， 1 1 1 1 1 D，E，F分别为BB ，CC ，BC的中点. 1 1（1）在线段AA 上找一点G，使FG//平面ADE，并说明理由； 1 1 （2）若平面AABB⊥平面ABC，求平面ADE与平面ABC所成二面角的正弦值. 1 1 1 【解析】（1）如图所示： 当点G为AA 的中点时，FG//平面ADE， ---------------------1分 1 1 证明如下：设H为DE中点，连接FH,AH . 1 因为在三棱柱ABCABC 中，BB //CC //AA ， ---------------------2分 1 1 1 1 1 1 D,E,F,G分别为BB,CC,BC,AA 的中点， 1 1 1 所以FH//EC//AG，且FH=EC=AG， 1 1 所以四边形AGFH 为平行四边形. 1 所以FG//AH ， ---------------------4分 1 又因为AH ⊂平面ADE，FG⊄平面ADE， 1 1 1 所以FG//平面ADE. ---------------------5分 1 （2）如图所示：取AB中点O，连接OB,AB,OC. 1 1 因为AB= AA =BB ，∠ABB =60°， 1 1 1 所以ABB 为正三角形，所以BO⊥ AB. ---------------------6分 1 1 又因为平面AABB⊥平面ABC，平面AABB平面ABC = AB，BO⊂平面AABB， 1 1 1 1 1 1 1 所以BO⊥平面ABC， 1 又CO,AO⊂平面ABC， 所以BO⊥CO,BO⊥ AO， 1 1 因为ABC为等边三角形，所以OC⊥AB. ---------------------7分 以O为原点，分别以OCOA,OB 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 1  3 3 3 依题意得A(0,3,0),B(0,−3,0),C(3 3,0,0),A(0,6,3 3),B(0,0,3 3),D0,− , ，--------------8分 1 1   2 2     15 3 3   所以DA 1 =   0, 2 , 2    ，DE=BC =(3 3,3,0).  设平面ADE的法向量n=(x,y,z)， 1   15 3 3  n⋅DA =0  y+ z=0  ( ) 则由 1 ，得 2 2 ，令x=1，得n= 1,− 3,5 . --------------------9分 n⋅DE=0  3 3x+3y=0  取平面ABC的法向量m=(0,0,1)， 设平面ADE与平面ABC所成二面角的大小为θ， 1     m⋅n 5 5 29 则 cosθ= cos m,n =   = = . ---------------------11分 m⋅ n 1× 29 29 2 29 所以sinθ= 1−cos2θ= ， 29 2 29 所以平面ADE与平面ABC所成二面角的正弦值为 . ---------------------12分 1 29 21.（本小题满分12分）已知直线x+y+1=0与抛物线C:x2 =2py(p>0)相切于点A，动直线l与抛物 线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A. （1）求抛物线C的方程及点A的坐标； （2）当点A到直线l的距离最大时，求直线l的方程. x+y+1=0 【解析】（1）联立 ，消y得x2+2px+2p=0， x2 =2py因为直线x+y+1=0与抛物线C:x2 =2py(p>0)相切， 所以∆=4p2−8p=0，解得p=2或p=0（舍去）， --------------------2分 当p=2时，x2+4x+4=0，解得x=−2，所以y=1， --------------------4分 所以抛物线C的方程为x2 =4y，点A的坐标为(−2,1)； ---------------------5分 （2）显然直线l的斜率存在， 可设为y=kx+b,M(x,y ),N(x ,y )， 1 1 2 2 y=kx+b 由 ，消y得x2−4kx−4b=0， x2 =4y 则∆=16k2+16b>0， x +x =4k,xx =−4b， ---------------------7分 1 2 1 2   AM =(x +2,y −1),AN =(x +2,y −1)， 1 1 2 2 因为以MN为直径的圆过点A，   所以AM⋅AN =0， 即(x +2)(x +2)+(y −1)(y −1)=0， ---------------------8分 1 2 1 2 整理可得 ( k2+1 ) xx + k(b−1)+2  (x +x )+(b−1)2+4=0， 1 2 1 2 所以−4b ( k2+1 ) +4k2(b−1)+8k+(b−1)2+4=0， 化简得b2−6b+9=4k2−8k+4， 所以(b−3)2 =(2k−2)2， 所以b−3=2k−2或b−3=2−2k， 即b=2k+1或b=−2k+5， ---------------------9分 当b=2k+1时，直线l: y=kx+2k+1， 即y−1=k(x+2)，所以直线l过定点(−2,1)（舍去）， --------------------10分 当b−3=2−2k时，直线l:y=kx−2k+5，满足∆>0， 即y−5=k(x−2)，所以直线l过定点Q(2,5)， ---------------------11分 当直线l与AQ垂直时，点A到直线l的距离最大， 5−1 又k = =1，所以k =−1， AQ 2−(−2) l 所以直线l的方程为x+y−7=0. -------------------12分 22.（本小题满分12分）已知函数 f (x)=(x−1)ln(x−2)−a(x−3)，a∈R.（1）若a=1，讨论 f (x)的单调性； （2）若当x>3时， f (x)>0恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）解： f (x)的定义域为(2,+∞)， 当a=1时， f (x)=(x−1)ln(x−2)−x+3， x−1 1 f′(x)=ln(x−2)+ −1=ln(x−2)+ ， ---------------------2分 x−2 x−2 1 设g(x)=ln(x−2)+ ， x−2 1 1 x−3 则g′(x)= − = ， x−2 (x−2)2 (x−2)2 令g′(x)=0，解得x=3， --------------------4分 当x∈(2,3)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(3,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增. 所以，g(x) =g(3)=1>0，则g(x)= f′(x)>0对任意的x>2恒成立， min 所以，函数 f (x)的单调递增区间为(2,+∞)，无递减区间. ---------------------6分 a(x−3) （2）解：当x>3时， f (x)>0恒成立等价于ln(x−2)− >0在(3,+∞)上恒成立， x−1 a(x−3) 设h(x)=ln(x−2)− (x>3)， ---------------------8分 x−1 1 2a x2−2(a+1)x+4a+1 则h′(x)= − = ， x−2 (x−1)2 (x−2)(x−1)2 设ϕ(x)=x2−2(a+1)x+2a+1(x>3)， ---------------------9分 则ϕ(x)图象为开口向上，对称轴为x=a+1的抛物线的一部分， 当a≤2时，a+1≤3，ϕ(x)在(3,+∞)单调递增，且ϕ(3)=4−2a≥0，---------------------10分 所以，ϕ(x)≥0，即h′(x)≥0，则函数h(x)在(3,+∞)上单调递增， 又因为h(3)=0，所以h(x)>0在(3,+∞)恒成立，满足题意； 当a>2时，a+1>3，ϕ(3)=4−2a<0， 所以方程ϕ(x)=0有两相异实根，设为x、x，且x 0在(3,+∞)上不恒成立，不满足题意. 综上，a的取值范围为(−∞,2 ] . ---------------------12分