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2024 年 1 月“七省联考”考前猜想卷
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A A B C C D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
AC ACD ACD AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． （答案不唯一） 14．3
15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17. 【解析】（1）点 在直线 上
得 ， ---------------------2分
所以数列 是以首项为 ，公差为2的等差数列． --------------------3分
故 ，即 ． ---------------------5分
（2） ---------------------6分所以
， ---------------------8分
要使 对 恒成立，
,即 ---------------------9分
又 ，所以 的最小值为9. --------------------10分
18.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ---------------------2分
又 ，所以 ---------3分
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ； ---------------------5分
（2）由（1）可知， ，所以在 中， ，
由正弦定理得： ，所以 ，---------------------7分
所以 ． ---------------------9分
又因为 为锐角三角形，
所以 ， ， ，解得 ， ---------------------11分
所以 ，即 面积的取值范围为 ． ---------------------12分19. 【 解 析 】 （ 1 ）
-----------------2分
（2）因为 ， ，
， ， -------------------4分
所以 ， ， ------------------6分
所以变量 ， 之间的线性回归方程为 ，
当 时， （万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元． ---------------------8分
（3）补全完整的列联表如下．
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 5 30
性
男
15 10 25
性
总
40 15 55
计
---------------------9分
零假设 ：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到 ，---------------------11分
根据小概率值 的独立性检验我们推断 不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错
误的概率不超过 . ---------------------12分
20. 【解析】（1）如图所示：当点 为 的中点时， 平面 ， ---------------------1分
证明如下：设 为 中点，连接 .
因为在三棱柱 中， ， ---------------------2分
分别为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 ， ---------------------4分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ---------------------5分
（2）如图所示：
取 中点 ，连接 .因为 ， ，
所以 为正三角形，所以 . ---------------------6分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
因为 为等边三角形，所以 . ---------------------7分
以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
依题意得 ，--------------8分
所以 ， .
设平面 的法向量 ，
则由 ，得 ，令 ，得 . --------------------9分
取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，
则 . ---------------------11分
所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . ---------------------12分21. 【解析】（1）联立 ，消 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，解得 或 （舍去）， --------------------2分
当 时， ，解得 ，所以 ， --------------------4分
所以抛物线C的方程为 ，点A的坐标为 ； ---------------------5分
（2）显然直线 的斜率存在，
可设为 ，
由 ，消 得 ，
则 ，
， ---------------------7分
，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以 ，
即 ， ---------------------8分
整理可得 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
所以 或 ，
即 或 ， ---------------------9分当 时，直线 ，
即 ，所以直线 过定点 （舍去）， --------------------10分
当 时，直线 ，满足 ，
即 ，所以直线 过定点 ， ---------------------11分
当直线 与 垂直时，点A到直线 的距离最大，
又 ，所以 ，
所以直线 的方程为 . -------------------12分
22. 【解析】（1）解： 的定义域为 ，
当 时， ，
， ---------------------2分
设 ，
则 ，
令 ，解得 ， --------------------4分
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增.
所以， ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 的单调递增区间为 ，无递减区间. ---------------------6分
（2）解：当 时， 恒成立等价于 在 上恒成立，设 ， ---------------------8分
则 ，
设 ， ---------------------9分
则 图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 时， ， 在 单调递增，且 ，---------------------10分
所以， ，即 ，则函数 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 恒成立，满足题意；
当 时， ， ，
所以方程 有两相异实根，设为 、 ，且 ，则 ，
当 时， ， ， 在 上单调递减，
又因为 ，故当 时， ， ---------------------11分
所以， 在 上不恒成立，不满足题意.
综上， 的取值范围为 . ---------------------12分
