文档内容
2023—2024 学年度第一学期高三期末调研考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位
号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位，且 ，则 （ ）
A.1 B. C. D.2
3.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. ， ，则 B. ， ， ， ，则
C. ， ， ，则 D. ， ， ，则
4.若 是奇函数，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
学科网（北京）股份有限公司5.已知锐角 的顶点在原点，始边在 轴非负半轴，现将角 的终边绕原点逆时针转 后，交以原点为圆心
的单位圆于点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量 ， 为单位向量，且满足 ，则向量 在向量 方向的投影向量为（
）
A. B. C. D.
7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城
区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式
为 ，当其中参数 时，该函数就是双曲余弦函数 ，类似地有双曲正弦
函数 .若设函数 ，若实数 满足不等式 ，则
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在椭圆 （ ）中， ， 分别是左，右焦点， 为椭圆上一点（非顶点）， 为
内切圆圆心，若 ，则椭圆的离心率 为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7
D.对于随机事件 与 ，若 ， ，则事件 与 独立
10.先将函数 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，再把图象向右平移 个单
位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数 的图象，则关于函数 ，下列说法正确
的是（ ）
A.最小正周期为 B.在 上单调递增
C. 时 D.其图象关于点 对称
11.已知曲线 ： ，则以下说法正确的是（ ）
A.若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则
B.若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是
C.曲线 为椭圆时，离心率为
D.若曲线 为双曲线，则浙近线方程为
学科网（北京）股份有限公司12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体 中，
是直角三角形， 为直角，点 ， 分别是 ， 的中点，且 ， ， ，
，则（ ）
A. 平面
B.四面体 是鳖臑
C. 是四面体 外接球球心
D.过 、 、 三点的平面截四面体 的外接球，则截面的面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆 ： ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角为______.
14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2
班抽到不同歌曲的概率为______.
15.等差数列 前13项和为91，正项等比数列 满足 ，则
______.
16.已知不等式 对任意的实数 恒成立，则 的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求角 的大小；
（2）若 的角平分线交 于点 ， ， ，求 .
18.（12分）
在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，将菱形 沿 折
起，使 ， 为线段 中点.
（1）求 大小；
（2）求直线 与平面 所成角的大小.
19.（12分）
在正项数列 中， ，且 .
（1）求证：数列 是常数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
20.（12分）
已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线交 轴于点 ，点 ，若 的面积
为1，过点 作拋物线 的两条切线切点分别为 ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值及直线 的方程；
（2）点 是抛物线弧 上一动点，点 处的切线与 ， 分别交于点 ， ，证明：
.
21.（12分）
杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基
因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，
在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均
匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上
步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢
得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第 步台阶的概率为 （ ），记 .
（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第 阶，求 的分布列；
（2）（ⅰ）求证：数列 （ ）是等比数列；
（ⅱ）求队员赢得吉祥物的概率.
22.（12分）
已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 有两个极值点分别为 ， （ ），当 时，证明： .
学科网（北京）股份有限公司高三期末调研数学试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D A D C A B
二、选择题
9 10 11 12
ACD AB ABD ABD
三、填空题
13. （或写为150°） 14. 15.13 16.
四、解答题
17.【解】（1）由 及正弦定理，
可得 .
因为 ，
所以 .
又 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）∵ 为 的平分线， ，
设点 到 和 的距离为 ，则 ，
即 ，∴ ，又∵ ，
∴ ，则有 ，
∴ 或 （舍去），所以 .
（2）方法2：∵ 为 的平分线， ，由内角平分线性质定理， ，
学科网（北京）股份有限公司又∵ 由余弦定理 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，又∵ ，
∴在 中， ，∴ .
18.【解】（1）方法1：由已知得三棱锥 为正四面体，棱长为 ，
又∵ ， ， 分别为 ， ， 中点
∴
又∵ ，∴
∵ ，∴ ，∴
方法2：取 中点 ，连接
∵ ， ，
∴ 平面 ，∴
又∵ ，
∴ ，∴
方法3：∵ 为 中点，∴ ， ，∴ 平面 ，
∴平面 平面 ，平面 平面 ，
∴过 作 ，则 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 作 垂线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系.
， ， ，
，
，∴ ，∴
（2）∵ 为 中点，∴ ， ，
∴ 平面 ，∴平面 平面 ，平面 平面 ，
∴过 作 ，则 平面 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，
过 作 垂线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系.
， ， ，
，
设平面 法向量为
得
令 ，则 ， ，∴
，∴
∴ 与平面 所成角为45°
19.【解】（1）方法1： ， ，
学科网（北京）股份有限公司相除得 ，即
所以 ，即 ，
所以 ，所以
结合 ，所以 ，即数列 是常数列
所以 ，所以
（1）方法2：∵ ，
两边取对数得， ①
∴ ②
①－②得. ，即 ，
∴ .所以 ，即数列 是常数列，
所以 ，所以
（2）
又因为 単调递增，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即
20.【解】（1） ，所以
即拋物线方程为 ： ，
方法1： ： ， ，
设切点 ，切线斜率为
切线方程为 ，此切线过
解得 ，或 ，得两切点坐标 ， .
所以直线 方程为
方法2：设 ， ，在拋物线上，所以 ， ，
切线方程分别为：
又因为两切线相交于 ，即 ， 均在直线 上，
即 .
（2）方法1：设切点 ，（ ）
可得过 点切线为： 化简得
由第一问方法知 ， 点，可得直线 方程为
联立解得 点横坐标
学科网（北京）股份有限公司同理由 ， 坐标可得直线 方程 ，可得 点横坐标
， 结论得证
方法2： 相减：
，过 的切线 ，交
得 ，同理 ，
，
所以
21.【解】（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为 ，爬两步台阶的概率为
所以随机变量 可能取值为4，5，6，7，8
可得 ，
，
所以 的分布列：
学科网（北京）股份有限公司4 5 6 7 8
（2）解：（ⅰ）证明： ，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，
向上点数不是3的倍数概率 ，则
到达第 步台阶有两种情况：
①前一轮爬到第 步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为
②前一轮爬到第 步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为
所以 （ ）
所以 （ ）
所以数列 （ ）是首项为 ，公比为 的等比数列.
（此题也可用概率知识分别求出 ， ，……， 具体值，再一一验证也可.）
（ⅱ）因为数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ， ，…，
各式相加，得：
所以 （ ）
所以活动参与者得到纪念品的概率为
.
学科网（北京）股份有限公司22.【解】 得 （ ），即 （ ）
设 （ ），则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增
所以 ，
所以 ，此时 ， 在 上单调递增
故 的取值范围是 .
（2）因为 有两个极值点 ， ，即方程 有两个不同的实数根 ，
则 ， ， 令 （ ），即
联立 得
解得 ，
要证 即证
即
即 （*）
令 ，
求导化简可得
学科网（北京）股份有限公司由 ，可知 ，即 ，所以函数 在 上递增.
得到 ，即（*）式成立，所以原不等式成立.
学科网（北京）股份有限公司
