文档内容
高二期末教学质量检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合 ，再结合交集的定义求解即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：A.
2. 设复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数 ，利用共轭复数的定义求解即可.
【详解】 ，故 .
故选：D
3. 现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为 ，
没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为 ．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这
道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全概率公式结合题意求解.
【详解】记事件 表示“考生答对题”，事件 表示“考生选到有思路的题”，
则该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为
.
故选：B
4. 等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
.
A 356 B. 166 C. 246 D. 156
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，由等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】因为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
5. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为向量 与 的夹角为 ， ， ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：B
6. 定义一种运算 则函数 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】记 ，利用函数单调性的性质可知 为定义域上的单调递增函数，
进而化简函数 的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数 的最大值.
【详解】记 ，
由 为定义域上的单调递增函数， 为定义域上单调递减函数，
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学科网（北京）股份有限公司由单调性的性质可知 为定义域上的单调递增函数，
又 ，故由 可得 ，解得 ；
由 可得 ，解得 .
所以 .
当 时， ；
当 时，则 ， .
综上所述，当 时函数 取到最大值为 .
故选：A
7. 已知椭圆 的左､右焦点分别是 是坐标原点， 是 上第一象限的点.
若 的角平分线上一点 满足 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 ，延长 与 交于点 ，根据几何关系求出 ，结合离心率公式即
可进一步求解.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司根据题意可得 ，延长 与 交于点 ，由等腰三角形三线合一可知 ，
由椭圆的定义可得 ，所以 ，
所以 ，由 是 的中位线，
可得 ，所以 ，解得 ，
所以 的离心率为 .
故选：B.
8. 在体积为 的正四棱锥 中， 为底面 内的任意两点，则直线 与直
线 所成角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.
【详解】设正四棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
所以 .
由已知 ， ， ，
设 ，且 ，又 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
设直线 与直线 所成角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当直线 与直线 平行或重合时， 取得最大值，最大值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 的部分图象如图所示，且 的面积为 ，则（ ）
A. B. 函数 为奇函数
C. 在 上单调递增 D. 直线 为 图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形面积可得 ，进而有函数的最小正周期与 判断A，从而求出 的表达式，再
由正弦函数的性质判断BCD.
【详解】设 的最小正周期为 ，由图象可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，可得 ，又 ，所以 ，解得 ，故A正确；
所以 .
对于选项B： ，定义域为R关于原点对称，
又 ，所以函数 为奇函数，故B正确；
对于选项C：令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间是 ， ，
当 时，函数 的单调递减区间是 ，
又 ，所以 在 上单调递减，故C错误；
对于选项D：因为 ，为最小值，
所以函数 的图象关于直线 对称，故D正确；
故选：ABD
10. 为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量
的样本均值 ，已知该新品种玉米的亩产量 服从正态分布 ，则下列说法正确的是（
）
（若随机变量 服从正态分布 ，则
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学科网（北京）股份有限公司A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多 B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正态分布的性质、对称性对每一选项进行计算判断即可.
【详解】因为新品种玉米的亩产量的样本均值为500，方差越大，数据越分散.
当 的值越大时，亩产量不少于490千克且低于510千克的样本越少，不低于510千克的样本越多，A正
确，B错误.
因为 ，
，
所以C，D正确.
故选：ACD.
11. 若 是 上的连续函数，且 ，则 .从几何上
看，若定义在 上的函数 连续且恒有 ，则定积分 表示由直线
和曲线 所围成的图形的面积.已知花瓣曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 上恰好存在8个点到原点的距离为
B. 圆 与曲线 共有8个公共点
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学科网（北京）股份有限公司C.
D. 曲线 围成的封闭区域的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 ，解得 或 或 或 ，可知曲
线 是由4个抛物线组成，画出曲线 的图象，利用数形结合法结合两点间的距离公式、圆的标准方程及
定积分的定义逐一分析即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 或 ，即 或 或 或 ，
画出曲线 ，如图所示.
由 ，解得 或 ，设 ，
对于 ：
所以曲线 上恰好存在4个点到原点的距离为 ，故 错误；
对于 ：由 ，得圆 与曲线 共有8个公共点，故 正确.
对于 ：因为 （ 为常数），
所以 ，故 正确；
对于 ：曲线 在第一象限围成的封闭区域的面积为：
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学科网（北京）股份有限公司，
根据曲线 的对称性可得曲线 围成的封闭区域的面积为 ，故 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理即可得解.
【详解】由二项式定理得 ，
所以 .
故答案为： .
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是
的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．曲线 在点
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学科网（北京）股份有限公司处的曲率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数运算，结合曲率定义，即可求解.
【详解】由 则 ，
当 时， ，
所以曲线 在点 处的曲率为 .
故答案为：
14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们
约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少
选择1个，则不同的打卡方案种数为__________.
【答案】88
【解析】
【分析】应用分类加法原理结合部分平均分组及排列数组合数的计算求解.
【详解】当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有 种选择，再将其他4
个景点分给B，C，有 种选择，共有 种选择；
当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去2个景点时，有 种选择，再将其他3个景点分
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学科网（北京）股份有限公司给B，C，有 种选择，共有 种选择；
当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有 种选择，再将其他2个景点分
给B，C，有 种选择，共有 种选择；
当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时，只需将其他3个景点分给B，C，有
种选择；
当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有 种选择，只需将其他2个景点分给B，C，有
种选择，共有 种选择.
故共有88种不同的打卡方案.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、
长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼
或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱
马拉松，得到了如下 列联表：
单位：人
马拉松
性别 合计
喜爱 不喜爱
男 60 100
女 60
合计 200
（1）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记
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学科网（北京）股份有限公司其中女性人数为 ，求 的分布列及期望．
附： ．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
1.0
2.706 3.841 5.024 6.635 8
28
【答案】（1）列联表见解析，可以推断喜爱马拉松与性别无关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）完善列联表后求出卡方，根据临界值表可得相应的判断；
（2）根据超几何分布可求分布列及数学期望.
【小问1详解】
由题意数据完善 列联表：
马拉松
性 合
别 喜 不喜 计
爱 爱
男 60 40 100
女 40 60 100
合
100 100 200
计
零假设为 ：喜爱马拉松与性别无关.
经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，推断 成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关.
【小问2详解】
由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男运动员，2个女运动员，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司； ； .
所以 的分布列为
0 1 2
期望 .
16. 已知 ， ，平面内一动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ．
的
（1）求 方程；
（2）若斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设动点 ，根据 结合两点间距离公式运算求解；
（2）设直线 ，根据垂径定理可得圆心到直线 的距离 ，列式求解即可.
【小问1详解】
设动点 ，
因为 ，则 ，
整理可得 ，即 ，
所以动点 的轨迹为 的方程为 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知：曲线 是以圆心为 ，半径 的圆，
设直线 ，即 ，
由题意可得：圆心到直线 的距离 ，
则 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
17. 如图，在四棱锥 中，侧棱长均为 ，四边形 是矩形， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，可通过证明线面垂直推导出面面垂直，即证明 平面 .
（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后求得向量 的坐标，然后可求得平面
的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求得二面角的余弦值，从而可得到其正弦值.
【小问1详解】
证明：连接 交于点 ，记 的中点分别为 ，连接 .
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学科网（北京）股份有限公司在 中， 是 的中点，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在矩形 中， .因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
，同理得 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
作 ，垂足为 .以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
因为 ， ，
所以 ， .
所以 .
设 是平面 的法向量，
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学科网（北京）股份有限公司则 即 可取 .
设 是平面 的法向量，
则 即 可取 .
，
.
故二面角 的正弦值为 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程.
（2）证明： 在 上单调递增.
（3）若 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即得切线方程；
（ 2 ） 将 函 数 求 导 得 ， 令 ， 将 其 求 导 可 得
，即可得证；
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学科网（北京）股份有限公司（3）（证法一）利用（2）结论结合 ，根据零点存在定理可得存在唯一实数
，使得 ，利用 的单调性推得 的极小值为
，利用基本不等式证明 即可证得结论. （证法二）在 时，
将 等价转化为 ，令 ，则需证 ，可先证当
时， ，再证 即得.
【小问1详解】
当 时， ， ，
则 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问2详解】
的定义域为 ，则 ，
令函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增；
【小问3详解】
（证法一）由（2）得， 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，由 ， ，
可知存在唯一实数 ，使得 ，
即 ，可得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在上单调递增；
所以 的极小值为
，
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 .
（证法二）当 时， 等价于 ，
即 ，
令 ，则有 ，
先证当 时， ，
令函数 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 在 上单调递增，
所以当 时， ，即当 时， 得证；
再证 ，
令函数 ，则 ，
当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 得证；
综上， ，即当 时， 得证.
19. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， ， 是 上的两点，线段 的
中点为 ．当 时， ．
（1）求 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的斜截式方程；
（3）若 ， ， 三点不共线，且 ，证明：直线 过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由条件得到 ，利用两点式斜率公式求得 ，结合 求出 ，即
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学科网（北京）股份有限公司可得解；
（2）利用点差法求直线的方程即可；
（3）设直线 ，与双曲线方程联立，根据条件得 ，再通过计算 得
或 ，最后进行检验可得出定点.
【小问1详解】
设双曲线的半焦距为 ，则 ，由题意 ，
当 时，过点 且垂直于 轴的直线为 ，
将 代入双曲线方程，得 ，解得 ；又 ，则 ，
又 ，所以 ，结合 ，得 ，
解得 或 ，
所以 ，所以双曲线 的标准方程为 ；
【小问2详解】
易知直线 的斜率存在，设 ，
则 ，作差可得 ，
所以 ，
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜截式方程为 ，即 .
【
小问3详解】
由 ， ， 三点不共线，故设直线 ，
联立 ，得 ，
则 ， ， ，
因为 ，则 ，所以 ，则 ，
因 ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
得 ，解得 或 ，
若 ，则直线 ，过点 ，不符合题意；
若 ，则直线 ，满足 ，则过定点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线 过定点 .
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学科网（北京）股份有限公司
