文档内容
专题 04 指数与指数函数（3 种经典基础练+3 种优选提升练）
有理数指数幂与根式的互化（共3题）
1．（2023秋•洛龙区校级期末） 可化为
A． B． C． D．
【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
2．（2023秋•河北区期末）已知 ，则 化为
A． B． C． D．
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共2小题）
3．（2023秋•嘉定区期末）将 化为有理数指数幂的形式为 ．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解： ，
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
有理数指数幂及根式化简运算求值（共8题）
一．填空题（共3小题）
1．（2023秋•益阳期末）已知 ，则 9 ．
【分析】根据幂的运算法则求解．
【解答】解： ，
．
故答案为：9．
【点评】本题考查幂的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2023秋•东台市期末）计算 ．
【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
3．（2023秋•南岸区校级期末）化简： 12 5 ．
【分析】直接利用指数的运算求出结果．
【解答】解： ．
故答案为：125．
【点评】本题考查的知识要点：指数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
二．解答题（共5小题）
学科网（北京）股份有限公司4．（2023秋•亭湖区校级期末）计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式
．
【点评】本题考查了指数与对数的运算法则应用问题，是基础题．
5．（2023秋•湖北期末）化简或计算下列各式．
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式．
【解答】解：（1）原式 ．
（2）原式 ．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
6．（2023秋•洛龙区校级期末）（1）计算： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求下列式子的值：
① ；
② ．
【分析】（1）由已知结合指数幂的运算性质即可求解；
（2）①先对所求式子进行平方，即可求解；
②先对所求式子进行平方，结合 即可求解．
【解答】解：（1）
；
（2）若 ，
① ，
故 ；
② ，
又 ，
故 ．
【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．
7．（2023秋•邯郸期末）求解下列问题：
（1）计算： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解；（2）利用对数的运算性质化简即可求
解．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1） ；
（2） ， ，
， ，
．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算，考查学生运算求解的能力，属于基础题．
8．（2023秋•南岸区校级期末）（1）计算： ；
（2）化简 ．
【分析】（1）（2）直接利用指数的运算求出结果．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
．
（2） ．
【点评】本题考查的知识要点：数和式的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
指数函数的图象和性质（共21题）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•威海期末）函数 的定义域为
A． B． C． ， D． ，
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．
【解答】解：由 ，得 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司函数 的定义域为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．（2023秋•平谷区期末）函数 的定义域为 ， ，则函数的值域为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】设 可得出 ， ，根据指数函数的单调性求出值域即可．
【解答】解：设
函数 的定义域为 ， ，
，
在 ， 的值域为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数的定义域和值域，求出函数 的定义域是解题的关键，属于基
础题．
3．（2023秋•河池期末）已知指数函数 的图象经过点 ，则
A． B． C．2 D．4
【分析】根据指数函数的定义可求出 ，然后根据 过点 即可求出 的值，从而得出
答案．
【解答】解：因为指数函数 的图象经过点 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数的定义，是基础题．
4．（2024春•通化期末）已知 ， ，那么“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性得出条件和结论得等价命题，再利用充要条件的判断方
法判断即得．
【解答】解：因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 等价于 ， 等价于 ，
由 可推得 ，由 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性和充分必要条件的应用问题，是基础题．
5．（2023秋•故城县校级期末）函数 的图象大致是
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再结合 （1） 以及单调性即可得解．
【解答】解： ，
是偶函数，其图象关于 轴对称，
当 时， ， ， ，
，
在 上单调递增．
又 （1） ，
结合选项可知，选项 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题．
6．（2023秋•官渡区校级期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数： ，
， ， 的是
学科网（北京）股份有限公司A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧
【分析】根据题意，分别由指数函数的图像特点与对数函数的图像特点，即可判断．
【解答】解：由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像，
且③④为单调递增的指数函数，取 可知，③④分别对应 ， ，
又①④图像关于 轴对称，则①对应 ，即②不属于；
由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像，
其中⑦⑧为单调递减的对数函数，
由“底大图低”可知⑧对应 ，⑦对应 ，
且⑤⑧图像关于 轴对称，则⑤对应 ，即⑥不属于．
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
7．（2023秋•武汉期末）已知指数函数 是减函数，若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由题意可知 ，再利用指数函数和对数函数的性质求解．
【解答】解： 指数函数 是减函数， ，
， ，
， ，
， ，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了三个数大小的比较，合理应用指数函数和对数函数的性质是本题的解题关
键，是基础题．
8．（2023秋•河南期末）定义：对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个
学科网（北京）股份有限公司使得 成立，则称函数 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是
A． B． C． D．
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可．
【解答】解：对于 ，由 ，
当 时，则不存在 满足方程，故 不符合题意；
对于 ，由 ，
则任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个 满足 ，故 符合题意；
对于 ，由 ，
得 ，
当 时，则 ， ， ，则 不唯一，故 不符合题意；
对于 ，由 ，
当 ， 时，则不存在 满足方程，故 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数中的“新定义”问题，紧扣“正积函数”的定义是本题解题关键．属
于中档题．
二．多选题（共2小题）
9．（2023秋•越秀区期末）下列结论正确的有
A．函数 且 是偶函数
B．函数 且 的图像恒过定点
C．函数 在 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司D．函数 与函数 的图像关于直线 对称
【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数，以及函数的单调性和反函数的关系，逐项判定，即
可求解．
【解答】解：对于 中，函数 ，则满足 ，
解得 ，
即 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以 为非奇非偶函数，故 不正确；
对于 中，函数 且 ，
令 ，可得 ，
则 （2） ，
所以 恒过定点 ，所以 正确；
对于 中，函数 ，
因为函数 为单调递增函数，且
所以 为递减函数，则 为递增函数，所以 正确；
对于 中，由函数 与函数 互为反函数，
所以函数 与函数 的图像关于直线 对称，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，考查了反函数的定义，属于基础题．
10．（2023秋•阳江期末）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解： ，
，即 ，
又 ，即 ，
，
故 正确， 错误，
，故 正确，
， ，即 ，
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．
三．填空题（共8小题）
11．（2023秋•赤峰期末）函数 的定义域为 ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0及分式的分母不等于0求解即可得答案．
【解答】解：要使函数 有意义，则 ，
解得 ．
函数 的定义域为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．
12．（2023秋•沙坪坝区校级期末）函数 的值域是 ．
【分析】根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解： ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，
则 ，
故 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查指数函数值域的求解，属于基础题．
13．（2023秋•南昌期末）如图，指数函数 ， ， 与直线 分
别交于点 ， ， ，若 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，满足 ，则 2
， ．
【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出 、 和 ，根据 得出 的值，再结
合题意求出 ， 的值．
【解答】解：由题意知， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，且 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ．
故答案为：2；4．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的定义与应用问题，是基础题．
14．（2023秋•耒阳市校级期末）函数 且 的图象恒过定点 ．
【分析】根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：函数 中，
令 ，解得 ，
当 时， ，
故函数的图象恒过定点 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
15．（2023 秋•湖州期末）设函数 ， ， ，则函数 的值域是
．
【分析】化简 的表达式，可得 ，然后利用函数的单调性算出 的最小值，
可得答案．
【解答】解： ，
由基本不等式，得 ，
当 时，即 时，等号成立， 在 上的最小值为 ，
因此， 在 上为减函数，在 上为增函数．
根据 ，可知 ，结合 在 ， 上是增函数，可知 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司综上所述，函数 的值域是 ．
【点评】本题主要考查函数的单调性与值域求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
16．（2023秋•开封期末）已知函数 （其中 ， ， 且 的图象
恒过定点 ，若 ，则 ．
【分析】由题意，根据指数幂的性质可得 ， ，根据 可得 ，代入求解即
可．
【解答】解：由于 的图象恒过定点 ，所以 ，且 （2）
，故 且 ，
由于 ，所以 ，
又 ，即 ，故 ，
因此 ，故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，属于基础题．
17．（2023 秋•平谷区期末）在早高峰，某路口通过的车辆 与时间 的关系近似地符合
， ， ，在早高峰这段时间内．
给出下列四个结论：
①通过该路口的车辆数 随着时间 逐渐增多；
②早上6时和早上7时通过通过该路口的车辆数 相等；
③在任意时刻，通过路口的车辆 不会超过35辆；
④在任意时刻，通过路口的车辆 不会低于14辆．
学科网（北京）股份有限公司依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】根据题意，设 ， ， ；根据二次函数 的图象与性质，即
可判断题目中的命题是否正确．
【解答】解：对于①，因为 ， ， ，
令 ， ， ；
则 在 ， 内单调递减，在 ， 内单调递增，
所以 先增后减，命题①错误；
对于②，因为 是二次函数，函数图象的对称轴是 ，所以 （6） （7），
所以 （6） （7），命题②正确；
对于③，因为 的最小值为 ，所以 的最大值为 ，
即在任意时刻，通过路口的车辆 不会超过35辆，命题③正确；
对于④，因为 （5） ， （9） ，
且 （5） （9），所以 的最小值为 （9） ，
即在任意时刻，通过路口的车辆 不会低于14辆，命题④正确．
综上，所有正确结论的序号是②③．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数模型应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
18．（2023秋•兴庆区校级期末）已知函数 且 的图象恒过定点 ，若点
在一次函数 的图象上，其中实数 ， 满足 ，则 的最小值为 4 ．
【分析】先令 ，求出点 的坐标，代入一次函数 得 ，由题意可知
学科网（北京）股份有限公司， ，所以 ，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：函数 ，
令 ，得： ，此时 ，
所以点 ，
又 点 在一次函数 的图象上，
，即 ，
又 实数 ， 满足 ，
， ，
，当且仅当 即
时，等号成立，
即 ， 时， 取得最小值4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了指数型函数过定点坐标，考查了基本不等式的应用，是中档题．
四．解答题（共3小题）
19．（2023秋•孝南区校级期末）已知函数 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）求 的值域．
【分析】（1）根据指数函数单调性可得 ，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知 ，结合指数函数性质求值域．
【解答】解：（1）因为 ，且 在定义域 内单调递增，
则 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围是 ， ．
（2）因为 ，当且仅当 时等号成立，
且 在定义域 内单调递增，则 ，
又因为 ，所以 的值域为 ， ．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
20．（2023 秋•沙坪坝区校级期末）已知指数函数 的反函数为
．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知函数 ，求不等式 的解集．
【分析】（1）根据指数函数的定义列方程求出 的值，即可写出该函数的反函数；
（2）根据函数 的奇偶性与单调性，把不等式 化为 ，两边平
分求解即可．
【解答】解：（1）指数函数 中，
，解得 或 ，所以 ，函数 ；
反函数为 ， ；
（2）函数 ，
是定义域 上的偶函数，且在 ， 上单调递增；
所以不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ，所以不等式的解集为 ．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的定义与性质应用问题，是基础题．
21．（2023秋•喀什地区期末）已知指数函数 的图象过点 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值；
（Ⅲ）求不等式 的解集．
【分析】（Ⅰ）将点 代入指数函数中，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合（Ⅰ）的结论，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数 的图象过点 ，
所以 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
因为 ， ，即 ， ，
所以 ， ，
故 ．
（Ⅲ）不等式 ，
即 ，
因为 在 上单调递减函数，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
【点评】本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
指数函数的值域（共6题）
1．（2023秋•泰州期末）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的值可以是
A． B． C． D．
【分析】先利用了函数的单调性及分段函数的性质可得关系 的不等式，然后结合指数函数性质即
可求解．
【解答】解：当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递增， ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
令 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
要使得 ，则 ，
又因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
则实数 的值可以是 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的值域的求解，还考查了函数性质在函数零点范围确定中的应用，属
于中档题．
2．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数 且 在 ， 上的最大值与最小值之和为
3，则 2 ．
【分析】本题要分两种情况进行讨论：① ，函数 在 ， 上为单调减函数，根据函
数 在 ， 上的最大值与最小值和为3，求出 ② ，函数 在 ， 上为单调增函
学科网（北京）股份有限公司数，根据函数 在 ， 上的最大值与最小值和为3，求出 即可．
【解答】解：①当 时
函数 在 ， 上为单调减函数
函数 在 ， 上的最大值与最小值分别为1，
函数 在 ， 上的最大值与最小值和为3
（舍
②当 时
函数 在 ， 上为单调增函数
函数 在 ， 上的最大值与最小值分别为 ，1
函数 在 ， 上的最大值与最小值和为3
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对 进行讨论，属于基础题．
3．（2023秋•金安区校级期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基
本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数 ，双曲余弦函数： ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的值域．
【分析】（1）由题意直接求出 的值，即可求解；
（2）由（1）可得 ，令 ，利用换元法
学科网（北京）股份有限公司可得 ，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意得， ， ，
则 ，
所以 的值为1；
（2）由（1）可知 ，
则 ，
令 ，则 ，当且仅当 时取等号，
可得 ，
根据二次函数的性质可知， 在 ， 上单调递增，
故 （1） ，
所以函数 在 上的值域为 ， ．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，
属于中档题．
4．（2023秋•渝中区校级期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基
本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数 ，双曲余弦函数： ．
（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择_____（若两个均选择，则按照第一个计
分）．
①
②
学科网（北京）股份有限公司（2）求函数 在 上的值域．
【分析】（1）结合所选条件，利用三角函数关系即可证明；
（2）利用三角函数关系进行化简，然后对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
【解答】证明（1）：若选择①：由题意 ， ，
则 ；
若 选 择 ② ：
；
（2）： ，
令 ，当且仅当 时取等，
令 ，所以 在 ， 上单调递增，故
（2） ，
故 的值域为 ， ．
【点评】本题主要考查了三角函数关系的应用，还考查了函数单调性在函数值域求解中的应用，属
于中档题．
5．（2022秋•铁岭期末）函数 的定义域为 ．
（Ⅰ）设 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 的值域．
【分析】（Ⅰ）由题意，可先判断函数 ， 单调性，再由单调性求出函数值的取值
范围，易得；
由于函数 是一个复合函数，可由 ，将此复合函数转化为二次函数
学科网（北京）股份有限公司，此时定义域为 ， ，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数
的值域．
【解答】解：（Ⅰ） 在 上单调递增
， （4分）
（Ⅱ）函数可化为：
在 ， 上单减，在 ， 上单增 （6分）
比较得 ，
（1） ， （11分）
函数的值域为 ， （12分）
【点评】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求
法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合
函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复
合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用
6．（2021秋•宝安区期末）已知函数 为偶函数，当 时， ， 为常
数）．
（1）当 时，求 的解析式：
（2）设函数 在 ， 上的最大值为 （a），求 （a）的表达式；
（3）对于（2）中的 （a），试求满足 的所有实数 的取值集合．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，根据题意利用偶函数的定义求出 的解析式；
（2）讨论 的取值范围，求出 ， 时 的最大值，用分段函数表示即可；
（3）根据分段函数求出 （a）满足 时 的取值即可．
另解讨论 的取值范围，根据题意列方程，从而求出 的取值集合．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
所以 ；
又因为 为偶函数，所以 ，
所以当 时， ； （4分）
（2）当 ， 时， ，对称轴 ，
①当 ，即 时， （a） ；
②当 ，即 时， （a） （5） ；
综上所述， （a） ； （10分）
（3）由（2）知 （a） ，
当 时， （a）为常函数；
当 时， （a）为一次函数且为增函数；
因为 ，所以有 或 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，
即 的取值集合为 或 ． （16分）
另解（3）①当 ，有 ，所以 ， ，
则 或 ，
解得 或 ，取并集得 ；
②当 ，有 ，所以 ， ， ，
则 或 ；
解得 或 （舍负）；
综上所述， 的取值集合为 或 ．【注：最后结果不写集合不扣分】．
【点评】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题．
指数函数与不等式综合（共11题）
1．（23-24高一上·江西赣州·期末）设 ，且 是定义在 上的偶函数．
(1)求 的值并求不等式 的解集；
(2)若 且 求 的值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ； ；
(2) .
【分析】（1）由 求解 ；令 ，则有 ，解得 ，即有
，将函数 的解析式代入求解即可；
（2）令 ，则有 有两不等实数根 且 从而得
，再根据 求解即可.
【详解】（1）解：因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，经检验 符合题意；
所以 ，当 时，等号成立；
令 ，
则有 ，
即 ， ，
解得 ，所以 ，
又因为 ，所以
即 ， ，
所以 ，解得： ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的解集为 ；
（2）解：令 ，
则有 有两不等实数根 且
由 ，可得 ，
解得 ，
所以 .
2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 .
(1)求实数 的值，使得 为偶函数；
(2)当 为偶函数时，设 ，若 ，都有 成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合 ，化简得到 恒成立，即可求解；
（2）根据题意，求得 ，令 ，结合指数函数的性质，求
得 ， ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 为 上的偶函数，则 ，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，即 恒成立，
所以 .
（2）解：由（1）知 ，
可得 ，
令 ，因为函数 在 都是增函数，
所以函数 在 上为递增函数，则 ，
所以 ，
因为函数 的对称轴为 ，所以函数 在 递增，
所以，当 时， ，
要使得 ，都有 成立，则 ，即实数 的取值范围 .
3．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之
积等于8，设函数 .
(1)求 的值，并证明 为奇函数；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到 ，得出 ，再由函数
奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意，化简得到 ，利用基本不等式，求得
的最大值，结合题意，即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上的最大值与最小值之积等于 ，解得 ，
可得 ，则 ，其定义域为 ，
又由 ，所以函数 为 上的奇函数.
（2）解：由
，
因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，
因为对 恒成立，所以 ，
即 ，所以实数 的取值范围为 .
4．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数 ．
(1)当 时，不等式 总成立，求a的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)试求函数 （ ）在 的最大值 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数单调性得到 ， 恒成立，结合函数
开口方向，得到不等式组，求出答案；
（2）换元后得到 ， ，分 ， ， 和 分类讨论，得到
函数最大值，求出 .
【详解】（1）函数 在定义域R上单调递增，
不等式 ，
依题意， ， 恒成立，
由于 开口向上，故只需 ，无解，
所以 的取值集合是 ．
（2）函数 ， ，
令 ， ， ，
当 时，函数 在 上单调递增， ；
当 时， ， ，
当 ，即 时，开口向上，函数 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以 ；
当 即 时，开口向下， ；
当 即 时，开口向下，函数 在 上单调递增，
．
综上 .
5．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数 的图像过原点，且 ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，写出 的最大值；
(3)设 ，直接写出 的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）待定系数解方程组即可求解.
（2）由 即可得解.
（3）在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象和 的图象，观察即可得解.
【详解】（1）由题意 ，解得 .
（2）由（1）可知 ，若 ，则 ，
所以 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司（3）由题意不等式 等价于 ，且注意到 ，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象和 的图象如图所示：
由图可知：不等式 的解集为 .
6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数 为偶函数， 为奇函数，且满足
．
(1)求 ；
(2)当 时，判断 和 的大小关系．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先由函数 和 的奇偶性得出函数 和 的解析式，
（2）利用作差法判断化简可得 ，进而判断可得出
结果.
【详解】（1）由题设可知 ，由于 为偶函数， 为奇函数，
则 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ．
（2）
，
由于 ，
则 ，即 ．
7．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
，且 ．
(1)求 的值，并求出 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ．
【分析】（1）由 ，求得 ，再结合函数的奇偶性，求得 时， ，进
而求得函数 的解析式；
（2）由（1），把 在 上恒成立，转化为 ，结合基本不等式，
即可求解.
【详解】（1）解：因为 是偶函数，所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时，可得 ，可得 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）解：由（1）知，当 时， ，
因为 在 上恒成立，
即 ，
又因为 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，即 的取值范围是 ．
8．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间 上的函数 ，若
．
(1)已知 ， ， 试写出 、 的表达式；
(2)设 且 ，函数 ， ，如果 与 恰好为同一函数，
求 的取值范围；
(3)若 ，存在最小正整数 ，使得 对任
意的 成立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函数”，已知函数 ， ，
试判断 是否为 上的“ 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 ，如果不是，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 、
(2)
(3)是，
【分析】（1）根据函数 、 在 上的单调性可得出 、 的表达式；
（2）若 与 恰好为同一函数，只须 在 上是单调递减，
讨论 的取值由复合函数的单调性即可求解；
（3）根据函数 在 上的值域，写出 、 的解析式，再由
求出 的范围得到答案．
【详解】（1）解：因为函数 在 上单调递减，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，则 .
（2）解：若 与 恰好为同一函数，只须 在 上是单调递
增，
当 时，令 ，则 ，
由 ，则 ，对称轴 ，
根据复合函数的单调性，函数 显然在 为单调递减，故 成立．
当 时，令 ，由 ，则 ，只需 ，
学科网（北京）股份有限公司化简得 ，解得 ，
综上所述 的取值范围为
（3）解：因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ， ，
所以， ，
当 时， ， ， ；
当 时， ， ，
因为函数 在 上单调递减，所以， ；
当 时， ， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以， .
综上所述：
故 是 上的“ 阶收缩函数”，且小正整数 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意
将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.
9．（23-24高一上·广东广州·期末）定义在 上的奇函数，当 时， ，其中
学科网（北京）股份有限公司，且 ，其中 是自然对数的底， ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求函数 的解析式；
(3)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义 即可求得 的值；
（2）根据奇函数的定义求解析式；
（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出 的关系，把 化为 的函数，
从而得其范围.
【详解】（1）∵ ， 是奇函数，
∴ ，则 ；
（2）当 时， ， ，又 是奇函数，则 ，
当 时， ， ，又 是奇函数，则 ，
因为 是定义在R上的奇函数，则 ，
故 ；
（3）若 ，则由 ，有 ，且 ，从而有
学科网（北京）股份有限公司，
若 ，则由 ，有 ，而 ，所以等式不成立；
若 ，则由 ，有 ，即 ，且 ，从而有
，
综上： 的取值范围为
10．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有 ，
，且 ，则称函数f（x）为“L函数”.
(1)试判断函数 是否是“L函数”，并说明理由；
(2)若函数 为“L函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数f（x）为“L函数”，且 ，求证：对任意 ，都有 .
【答案】(1)是“L函数”，理由见解析；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可；
（2）由 为“L函数”，可得 ，则 ，得 ， 可得
，得 ，从而可求出实数a的取值范围；
（3）由函数f（x）为“L函数”，可得 ，即 ，则
，再结合 可证得结论.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）对于 ，当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 是“L函数”；
（2）当 时，由 是“L函数”，得
，即 对一切正数 恒成立，
因为 ，所以 对一切正数 恒成立，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
由 对一切正数 恒成立，
所以 ，即 ，
综上可知，实数a的取值范围为 ；
（3）因为函数f（x）为“L函数”，
所以对于任意正数 都有 ， ，且 ，
令 ，可知 ，即 ，
所以对于正整数 与正数 都有
，
对任意 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合
已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.
11．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数 是奇函数.（e是自然对数的底）
(1)求实数k的值；
(2)若 时，关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设 ，对任意实数 ，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，
均有以 ， ， 为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 求出 ，再检验 的奇偶性；
（2）若 ，将关于x的不等式 恒成立，转化为 恒成立，利用基本不
等式得 ，从而可得 ；
（3）化简 ，设 ，得 ，且 ，根据题意得 恒
成立，根据基本不等式得 ，由 求出 的最大值即为 的最大值.
【详解】（1）因为 是奇函数，且定义域为R，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 .经检验，此时 是奇函数
所以 .
（2）由（1）知 ，
由 时， 恒成立，得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，又 ，所以 ，
故 ，
所以 .
（3）由题意得：
不妨设 ，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即 ，且 ，
以 ， ， 为长度的线段也能构成三角形，则 恒成立，得 恒成立，
因为 ，仅当a=b时前一个等号成立，
所以 ，即 ，于是n的最大值为 .
指数型复合的单调性与恒成立问题（共6题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值，判断 的单调性并说明理由；
(2)若存在 ，不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ； 是 上的单调递增函数，理由见解析；
(2) ,
【分析】（1）由函数经过点 求 的值，得到 的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为 在 , 上有解，利用参数分离
法结合基本不等式可求出实数 的取值范围．
【详解】（1）函数 经过点 ，
所以 ，解得 ，即 ，
，
则 是 上的单调递增函数，理由如下：
任取 、 ，且 ，则 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是定义域 上的单调递增函数．
（2）因为 ，
故 是奇函数且在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司则不等式 等价于 ，
所以 ，即 ，
即存在 ,不等式 有解，
即 在 , 上有解，
由 , ，可得 ，
由对勾函数性质易知： 在 单调递减，在 单调递增，
且 ，故 在 的最大值为 ，
所以 ，即
所以 ，
即实数 的取值范围是 , ．
2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 是 上的奇函数.
(1)求实数 ， 的值；
(2)判断函数 的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)函数 在 上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解，要注意验证；
（2）利用单调性的定义证明即可；
学科网（北京）股份有限公司（3）通过函数性质把问题转化为对任意 ，有 恒成立，换元，利用二次函数性
质求解最值即可求解.
【详解】（1）因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，所以
，
又 ，即 ，所以 ，当 ， 时， ，
此时 ，所以 为奇函数，故 ， ；
（2）函数 在 上单调递增，证明如下：
因为 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增；
（3）因为 为奇函数，所以不等式 可变形为 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
即对任意 ，有 恒成立，
令 ，则 ，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，所以 ，故实数 的取值范围为 .
3．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数 是奇函数．
(1)求实数 的值并判断函数单调性（无需证明）；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，减函数
(2)
【分析】（1）先根据奇偶性求出 ，再根据复合函数单调性可判定单调性；
（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.
【详解】（1）因为 是奇函数，所以 ，解得 ；
当 时， ，定义域为 ，
又 符合题意.
所以 ，因为 为增函数，所以 为减函数.
（2） 等价于 ，
即 ；
因为 为减函数，所以 ，即 ；
令 ，则上式化为 ，即 ；
所以 .
4．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)已知 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，求
学科网（北京）股份有限公司的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据奇函数的性质 ， 计算出 ， ，然后在代回原函数中检
验即可；
（2）不等式成立等价于 ，两个函数的最大值均由函数单调性法求出.
【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以有 ，即 ，
又 ，化简得： ， ，
而此时 ， ，
（2）令 ，
∵ 且单调递减，∴ 在 上单调递减，
又∵ 在 上单调递减，
在 上单调递减且 的最大值是 ，
又令 ，对于任意 ，存在 ，
使得 ，等价于 成立，即 成立，
，则 在 上单调递减，
，故 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司综上所述，实数 的取值范围为 .
5．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质列方程组求解即可，并注意检验.
（2）由分离常数，结合指数函数、复合函数单调性得 单调性， 是奇函数的性质并通过
换元，将原问题等价转换为 恒成立，由此即可求解.
【详解】（1） 是 上的奇函数， ，即 ．
又
检验：当 时，定义域为 ，且满足 ，
即 是 上的奇函数．
故 满足题意.
（2）由（1）知 ，易知 在 上为减函数，
学科网（北京）股份有限公司令 ，因为 ，故 ，
又 是奇函数， 等价于 ，
又因 为减函数，由上式推得 ，
即对一切 有 恒成立，
，令 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
即 ，所以实数 的取值范围为 .
6．（23-24高一上·广东广州·期末）函数 （ 且 ）是定义在R上的奇函
数．
(1)求a的值，并判断 的单调性，并证明；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，单调递增，证明见详解；
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得 ，求出 的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，
判断出函数 在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 在 上单调递增，得 ，问题转化为
，利用函数单调性求出最值得解.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 为奇函数，合题意，故 .
函数 为R上的增函数.证明如下：
任取 ，且 ，则
，
， ，即 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 为R上的增函数.
（2）由（1）得 在 上单调递增， ，
存在 ，使得 成立，即 ，
令 ，易知 在 上单调递增，
所以 .即 ，当且仅当 时等
号成立，
学科网（北京）股份有限公司，所以实数 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：第二问，由 在 上单调递增，得 ，将原问题转化为
，只需 即可，换元令 ，
在 上单调递增，求出最小值可得 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司
