文档内容
专题 05 对数与对数函数、函数零点与二分法
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
对数的概念（共6题）
一、单选题
1．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
二、填空题
2．（22-23高一上·福建厦门·期末） .
3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若 ，则 .
4．（23-24高一上·广西柳州·期末）科学家研究发现，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地
震里氏震级 之间的关系为 ，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量
的
倍.
三、解答题
5．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知函数 ， ．
(1)求 的值域；
学科网（北京）股份有限公司(2)求方程 的解集．
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数 满足 ，且 的图象经过点 .
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
对数的运算（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若 ， ，则用 ， 表示 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增
广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是 ，那么一年
后是 ；如果每天的“退步率"都是 ，那么一年后是 ．一年后
“进步者”是“退步者”的 倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步
者”是“退步者"的2倍（参考数据： ， ）
A．33 B．35 C．37 D．39
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
三、填空题
4．（23-24高一上·河南·期末） .
5．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足 ，则 .
6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： .
四、解答题
7．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值：
(1) ；
(2) .
8．（23-24高一上·云南昆明·期末）化简并求出下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
9．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：
(1) ；
学科网（北京）股份有限公司(2) .
(3)
10．（22-23高一上·湖南岳阳·期末）（1）已知实数 满足 ，求 的值．
（2）若 ，求证： ．
对数函数的概念（共6题）
一、多选题
1．（22-23高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（23-24高一上·河南新乡·期中）已知函数 ，则 ．
3．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 .
4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设 是定义在R上的函数，满足 ，且
，当 时； ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司5．（22-23高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点 ，则 ．
三、解答题
6．（22-23高一上·辽宁·期末）回答下面两题
(1)已知对数函数 （ 且 ）的图象经过点 ，求 ， 的值．
(2)已知指数函数 且 过点 ，若 ，求实数 的取值
范围
对数函数的图象和性质（共26题）
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
2．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·北京延庆·期末） 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数 的单调递减区间是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·河南·期末）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·云南昭通·期末） （ 且 ）的图象恒过定点 ，幂
函数 过点 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知 且 ，函数 与 的图象是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中是奇函数且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则函数 的定义域为
B．若 ，则不等式 的解集为
C．若函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
D．若函数 在区间 上为增函数，则实数a的取值范围是
11．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数 在 上的最大值为2，则实数
．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对
称，则 的值域为 ．
14．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数 是 上的减函数，则
实数 的取值范围是 ．
15．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数 ，则 ，则
.
16．（22-23高一上·云南昆明·期末）函数 的最大值为 .
17．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数 的单调递增区间为 .
18．（24-25高一上·上海·期末）不等式 的解集为 ．
19．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 ，（ 且 ），则
图象恒过定点的坐标为 .
20．（22-23高一上·北京平谷·期末）已知函数 ，若 ，则x的范围是
．
四、解答题
21．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值域．
学科网（北京）股份有限公司22．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知函数 （ 且 ）的图象经过点
和 .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数x的值.
23．（22-23高一上·河南南阳·期末）对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足
，则称函数为“倒戈函数”．
(1)请判断函数 是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若 是定义在 上的“倒戈函数”，求实数 的取值范围．
24．（22-23高一上·广东惠州·期末）已知函数 ．
(1)判断并证明函数 的奇偶性；
(2)当 时， 恒成立．求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司25．（23-24高一上·云南·期末）已知函数 且 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若 在 上的最大值与最小值的差为1，求 的值．
26．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，且
点A在函数 的图象上．
(1)求函数 的解析式；
(2)若存在互不相等的实数m，n使 ，求 的值．
函数零点的应用（共15题）
1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数 是奇函数，且 一
个零点为1.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ， 的值及 解析式；
(2)已知函数 在 单调递减， 在 满足 ，当 时，
，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 的一个零点为2，求函数 的其余零点.
2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)讨论函数 的零点个数.
3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 ，函数 与 互为反函数.
(1)若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)求证：函数 仅有1个零点 ，且 .
4．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数 ，（ ，a为常数）．
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值；
(2)若 与 在 上的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 ，且
，求证： ．
5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数 在定义域内存在实数 和非零实数 ，使得
成立，则称函数 为 “伴和函数”.
(1)判断是否存在实数 ，使得函数 为 “伴和函数”？若存在，请求出 的范围；若不
存在，请说明理由；
(2)证明：函数 在 上为“ 伴和函数”；
(3)若函数 在 上为“ 伴和函数”，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数 ．
(1)求 和 的值，判断 的单调性并用定义加以证明；
(2)设 是函数 的一个零点，当 时， ，求整数 的最大值．
7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 的图象关
于直线 对称，其最小正周期与函数 相同．
(1)求 的单调递减区间；
(2)设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且
．
8．（23-24高一上·浙江金华·期末）二次函数 的最大值为 ，且满足 ，
，函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的解析式；
(2)若存在 ，使得 ，且 的所有零点构成的集合为 ，证明：
．
9．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 ， .
(1)若函数 ， ，求 的最值；
(2)设函数 ， 在区间 上连续不断，证明：函数 有且只有一个零
点 ，且 .
10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ，
若 的最小正周期为 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有三个不同零点 ， ， ，且 ．
①求实数 取值范围；
②若 ，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·江苏南京·期末）设 为常数，函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)讨论 在区间 上的零点的个数；
(3)设 为正整数， 在区间 上恰有 个零点，求所有可能的正整数 的值.
12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数 的定义域为
.
(1)如果不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)如果函数 存在两个不同的零点 .
①求实数 的取值范围；
②求 的最大值.
13．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数 ，
(1)直接写出 时， 的最小值.
学科网（北京）股份有限公司(2) 时， 在 是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若 ， 存在两个零点，求 的取值范围.
14．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数 .
(1)当 时，解方程 ;
(2)若对任意的 都有 恒成立，试求m的取值范围;
(3)用min{m，n}表示m，n中的最小者，设函数 ，讨论关于x的方
程 的实数解的个数.
15．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 ， .
(1)若对 ， 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，求函数 的零点个数.
学科网（北京）股份有限公司函数模型及其应用（共10题）
1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大
力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单
位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系： ，肥料成
本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千
克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？
2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形
铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为
（单位： ），该零部件的面积是 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 关于 的函数解析式，并求出定义域；
(2)设用到的圆形铁片的面积为 （单位： ），求 的最小值．
3．（23-24高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某
型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 .经多次测试得到，该汽车每小时耗
电量 （单位： ）与速度 （单位： ）的下列数据：
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
， ， .
(1)当 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从 地驶到 地，前一段是 的国道，后一段是 的高速路，若已
知高速路上该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度的关系是： （
），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等
稳健型产品的年收益 与投资额 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益
与投资额 的算术平方根成正比，其关系如图2．
(1)分别写出两种产品的年收益 和 的函数关系式；
(2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其
最大年收益是多少万元？
5．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻
璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该
旅游景点开业后第一个国庆假期，第 天的游客人均消费 与 近似的满足函数
（元），其中 为正整数．
(1)经调查，第 天来该地的游客人数 （万人）与 近似的满足下表：
第 （天） 1 2 3 4 5 6 7
（万
1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4
人）
现给出以下三种函数模型：① ，② ，③ ，且
．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第 天的游客人数
学科网（北京）股份有限公司（万人）与 的关系，并求出该函数的解析式；
(2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入 （ ， 为正整数）的最
大值（单位：万元）．
（注：日营业收入 日游客人数 人均消费 ）
6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土
豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该
区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某
品牌滑雪护具在过去的一个月内(以 天计)，每件的销售价格 (单位：元)与时间 (单位：天)
的函数关系近似满足 ( 为常数，且 )，日销售量 (单位：件)与
时间 (单位：天)的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 60 70 60 50
已知第 天的日销售收入为 元.
学科网（北京）股份有限公司(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量 与时间 的函数解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为 (单位：元)，试求当 为何值时， 达到最小值，并求出最小
值.
7．（23-24高一上·湖北·期末）随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们
购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗
电量 单位： 与速度 单位： 的数据如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下两种函数模型供
选择：① ，② .
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析
学科网（北京）股份有限公司式；
(2)现有一辆同型号电动汽车从 地出发经高速公路（最低限速 ，最高限速 ）匀速
行驶到距离为 的B地，出发前汽车电池存量为 ，汽车到达 地后至少要保留 的
保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.
已知该高速公路上有一功率为 的充电桩（充电量 充电功率 充电时间）.若不充电，该电动
汽车能否到达 地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从 地到达 地所用时间（即行驶时
间与充电时间之和）的最小值.
8．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注
射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间 （单位：小时）的关系如下：
当血药浓度不低于 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不
超过 ．
(1)若注射 药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次
注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求 的
最小值．
9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土
地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1
天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产
量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函
数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数
） 所示的函数关系．
学科网（北京）股份有限公司(1)求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系；
(2)从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大?最大的销售收入是多少元?
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼 游客坐
在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每
转一圈需要 ，其中心 距离地面 ，半径 如果你从最低处登上摩天轮，那么你与
地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间 单位： 之
后，请解答下列问题．
(1)求出你与地面的距离 单位： 与时间 之间的函数解析式；
(2)当你登上摩天轮 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差
单位： 关于 的函数解析式，并求高度差的最大值．
对数函数的单调性与最值（共13题）
1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司对任意 都有 ， ，且当 时， .
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，若 ，求 的取值范围.
2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 ．
(1)若 的定义域为 ，求 的取值范围；
(2)若 的值域为 ，求 的取值范围；
(3)设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围．
3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数 ，函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)求函数 的值域；
(3)若不等式 对任意实数 恒成立，试求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数 .若当点 在函数
图象上运动时，对应的点 在函数 图象上运动，则称函数 是函
数 的“伴随”函数.
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意的 ， 的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数 ， .当 时，求 的最大值.
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数 且 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 ，对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，问是否存在实数 使函数
在 上的最大值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数 为幂函数，且 在
上单调递增.
(1)求m的值，并写出 的解析式；
(2)解关于x的不等式 ，其中 .
(3)已知 ， ，且 .求 .
7．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 的最大值是 ，求 的值；
(3)已知 ， ，当 的定义域为 时， 的值域为 ，求实数 的取
值范围.
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 为定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)（i）证明： 为单调递增函数；
（ii） ，若不等式 恒成立，求非零实数 的取值范围.
9．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数 ，且 的图象过
点 .
(1)求 的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最小值；
(3)若 ，比较 与 的大小.
10．（23-24高一上·重庆·期末） 为偶函数， .
(1)求实数 的值；
(2)若 时，函数 的图象恒在 图象的上方，求实数 的取值范围；
(3)求函数 在 上的最大值与最小值之和为2020，求实数 的值.
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·福建·期末）已知函数 在 上为奇函数， .
(1)求实数m的值；
(2)存在 ，使 成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若 恒成立，求n的取值范围.
12．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数 ．
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若关于 的方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围；
(3)若 将区间 划分成2022个小区间，且满足 ，
试判断和式 是否为定值，若
是，请求出这个值，若不是请说明理由．
13．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数 在定义域 上为减函数，且值域
为
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： ；
(2)求实数m的取值范围；
(3)求 的最大值．
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