文档内容
专题 06 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
任意角（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 的终边落在
（ ）
A． 轴的非负半轴 B．第一象限
C． 轴的非负半轴 D．第三象限
2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合 钝角 ， 第二象限角 ， 小于 的
角 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（23-24高一上·内蒙古·期末）若角 与角 的终边相同，则 可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习
数学十分重要．现有如下三个集合， {钝角}， {第二象限角}， {小于180°的角}，则下列
说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高一上·湖北·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数 是R上的奇函数，则
B．函数 与 为同一个函数
C．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
D．若 是第二象限角，则 是第一象限角
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列各命题中正确的是（ ）
A． 与 （ 且 ）互为反函数
B．函数 的定义域为
C．已知 为第一象限的角，则 是第一、三象限的角
D．时针转过4小时，则时针转过的弧度数为
三、填空题
8．（23-24高一上·浙江台州·期末） 角是第 象限角.
9．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角 ，则角 的终边落在第 象限．
10．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知 ，若将角 的终边顺时针旋转 ，所得的角
的终边与角 的终边重合.则角 .
弧度制（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·广东·期末）要在半径 厘米的圆形金属板上截取一块扇形板 ，使其
弧 的长为120厘米，则圆心角 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗
略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧 所对的圆心角 为 ，弦 的
长为 ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧 的长为（ ）（单
位： ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市
举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征
亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环
半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为 ，则该扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为 ，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
6．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为 的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含
弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺
术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活
的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和
艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长
为a，则窗花的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（23-24高一上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（ ）
A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
学科网（北京）股份有限公司B．已知 ，则
C．函数 在其定义域上单调递减
D．若幂函数 的图象过点 ，则
9．（23-24高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为 ，其圆心角为 ，圆面中剩余部
分的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，扇形的半径 ，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径 ，则扇形面积为
三、填空题
10．（23-24高一上·甘肃陇南·期末） 用弧度制表示为 ．
11．（23-24高一上·福建·期末）若扇形的周长为 ，面积为 ，则它的圆心角的弧度数为
.
12．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为 ，圆心角弧度数为 ，则其弧长为
学科网（北京）股份有限公司；
13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是 ，半径为 ，则该扇形的面积为
．
14．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，已知 是等腰直角三角形， ， ，
在平面内 绕点 逆时针旋转到 ，使C，B， 在同一直线上，则图中阴影部分的面
积为 ．
15．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发
现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆
B处于图1的状态，简化后如图2， ， ， .则S = .
阴影
四、解答题
16．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱
笆的长度为24米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
学科网（北京）股份有限公司三角函数的概念（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知角 满足 ， ，且 ，则角 属
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
2．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上，
则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（23-24高一上·云南昭通·期末） 为 终边上一点，则 .
4．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 为第二象限角，则 可化简为 ．
四、解答题
5．（23-24高一上·四川达州·期末）（1）已知 是第一象限角， ，求 ， 的值；
（2）已知 ，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高一上·四川成都·期末）已知 .
(1)求 ；
(2)求 的值.
7．（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
8．（23-24高一上·广东中山·期末）已知 ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知 是第二象限角，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角 的终边与单位圆交于
点 ，射线OA绕点O按逆时针方向旋转 后交单位圆于点B，点B的横坐标为 ．
(1)求 的表达式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
11．（23-24高一上·江苏南京·期末）如图，有一条宽为 的笔直的河道（假设河道足够长），
规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中 ）种植荷花用于观赏， 两点分别在两岸
上， ，顶点 到河两岸的距离 ，设 .
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求荷花种植面积（单位： ）的最大值；
(2)若 ，且荷花的种植面积为 ，求 .
诱导公式（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·山东菏泽·期末） （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若角 是 的三个内角，则下列结论中一定成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（23-24高一上·福建福州·期末）若 ，则 ．
6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若 ，则 ．
7．（23-24高一上·浙江丽水·期末）化简 ．
8．（23-24高一上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ，线段
绕点 顺时针方向旋转 后，得到线段 ，则点 的坐标为 ．
四、解答题
9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知 ，且 为第三象限角．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
10．（23-24高一上·河南漯河·期末）（1）化简： ；
（2）化简： ．
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 中，点 在角 的终边上.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
12．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）（1）计算：
（2）若 ，求 的值．
13．（23-24高一上·河北承德·期末）已知角 的终边经过点 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
14．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知 ．
(1)若 是第三象限角，求 ， 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)先化简再求值： ．
15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）计算下列各式的值:
(1) ；
(2) .
16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知 ，α是第三象限角，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
扇形中的最值问题（共8题）
1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知扇形的半径为 ，弧长为 .若其周长的数值为面积的数值
的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C． 的最小值为9
学科网（北京）股份有限公司D． 的最小值为
2．（22-23高一上·吉林·期末）如图，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角 ，C是扇形
弧PQ上的动点，矩形 内接于扇形，记 ．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ的长为
B．扇形OPQ的面积为
C．当 时，矩形 的面积为
D．矩形 的面积的最大值为
3．（23-24高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
角 的顶点与坐标原点 重合，始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆 交于点 ，则阴影区域的
面积的最大值为 .
4．（23-24高一上·重庆·期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风
来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇
可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇
形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
学科网（北京）股份有限公司三、解答题
5．（22-23高一上·湖南长沙·期末）如图所示，有一块扇形钢板 ，面积是 平方米，其所在圆
的半径为1米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板 上裁下一块平行四边形钢板 ，要求使裁下的钢板面积最大.设 ，
试问如何确定 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
6．（23-24高一上·湖南株洲·期末）在半径为 的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽
种一种花草，三个扇形 ， ， 的圆心角均为 ，且矩形的地块具有对称性，按如图
所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形 和 内接矩形的最大值.
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为 的扇形 中； 分别为
的中点，点 在圆弧 上且 ·
(1)若 ，求梯形 的高；
(2)求四边形 面积的最大值.
8．（23-24高一上·浙江台州·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱 垂直水平地面，半径为1
的圆形轨道固定在支柱 上，轨道最低点 ， ， .液压杆 、 ，牵引杆 、
学科网（北京）股份有限公司，水平横杆 均可根据长度自由伸缩，且牵引杆 、 分别与液压杆 、 垂直.当液压杆
、 同步伸缩时，铰点 在圆形轨道上滑动，铰点 在支柱 上滑动，水平横杆
作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，
使零件之间可围绕铰点转动）.
(1)设劣弧 的长为 ，求水平横杆 的长和 离水平地面的高度 （用 表示）；
(2)在升降过程中，求铰点 距离的最大值.
同角三角函数的基本关系综合应用（共9题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线 ， 分别在直线 ， 上， 是 ， 之
间的定点，点 到 ， 的距离分别为 ， ， .设 .
(1)用 表示边 ， 的长度；
(2)若 为等腰三角形，求 的面积；
(3)设 ，问：是否存在 ，使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由.
2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ．
(1)若 为锐角，求 的值；
(2)求 的值．
3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角 的顶点与原点
学科网（北京）股份有限公司重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将 绕点O按逆时针方向旋转角 后，
终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·四川广安·期末）已知 .
(1)求 和 的值；
(2)若 为第四象限角，当 时，求函数 的最小值.
6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知 ．
(1)若 为奇函数，求 的值，并解方程 ；
(2)解关于 的不等式 ．
7．（23-24高一上·山西太原·期末）已知 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知第二象限角 满足________．请从下列三个条件中任选一
个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）
条件①： ， 是关于 的方程 的两个实根；条件②：角 终边上一点
，且 ；条件③： ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司诱导公式综合应用（共25题）
1．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数 的部分图
象如图所示， 图象经过点 和点 ，且 在区间 上单调，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）在①角 的终边与单位圆的交点为 ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
已知 ，且 ，_________．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知角 的终边经过点 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)求 的值．
6．（23-24高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系xOy中，角 的始边为 轴的非负半轴，终
边经过第四象限内的点 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 ．
(1)化简 的解析式；
(2)若 ，且 ， ，求 ．
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（1）求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
9．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系 中，角 的终边 与单位圆交于
点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角 与 的顶点均为坐标原点O，
始边均为x轴的非负半轴．若角 的终边OP与单位圆交于点 ，将OP绕原点O
按逆时针方向旋转 后与角 的终边OQ重合．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
12．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ， ．
(1)若角 顶点在坐标原点，始边为 正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，锐角 和钝角 的顶角与
坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 两点，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
14．（23-24高一上·湖北恩施·期末）（1）已知 ，求
学科网（北京）股份有限公司的值；
（2）已知 为第二象限角， ，求 的值.
15．（23-24高一上·江苏连云港·期末）求值
(1)已知 是第三象限角，且 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值．
16．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值．
17．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（1）计算：
学科网（北京）股份有限公司：
（2）已知 是第三象限角，且
①求 的值；
②求 的值．
（3）化简： ．
18．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知
.
(1)化简 ；
(2)若 ，且 ，求 的值.
19．（23-24高一上·重庆·期末）化简或计算下列各式：
学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2)
20．（23-24高一上·福建莆田·期末）（1）化简求值
（2）已知 为锐角，且满足 求 的值;
21．（23-24高一上·陕西西安·期末）（1）证明差角的余弦公式
（2）若 ，求 的值.
22．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角 为第四象限角，且角 的终边与单位圆交于点
学科网（北京）股份有限公司.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
23．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知集合 .
(1)判断元素 ， 与集合 的关系，并说明理由；
(2)求 .
24．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边过点 ．
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)已知 为锐角， ，求 ．
25．（22-23高一上·陕西榆林·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，
所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后
按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为 米.以盛水筒P刚
浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒
P在水面下，则h为负数）.
(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式 （其中 ， ，
）；
(2)若盛水筒P在 ， 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
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