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株洲市 2024 届高三年级教学质量统一检测(一)
数学
班级：______姓名：______准考证号：______
(本试卷共4页，22题，考试用时120分钟，全卷满分150分)
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将答题卡上交。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．)
1．已知集合 ， ，且 ，则a等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．已知i是虚数单位，则复数 所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一次歌唱比赛中，由10位评委的打分得到一组样本数据． ，去掉一个最高分，去掉一个
最低分后，与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差
4．已知向量 ， ，若实数λ满足 ，则λ＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
5．已知 是定义在I上的函数，M为常数，则“ ， ”是“ 的最大值为M”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 若 且 ，则a＝（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司7．直线 、 为圆 与 的公切线，设 、 的夹角为θ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
8．在非直角 中， 、 、 成等比数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)
9．已知双曲线 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
10．高中学生要从必选科目(物理和历史)中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人
兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考．已知某班48名学生关于选
考科目的结果统计如下：
选考科目名称 物理 化学 生物 历史 地理 政治
选考该科人数 36 39 24 12 a b
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确是（ ）
A．
B．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人
C．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合
D．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的
11．小学实验课中，有甲、乙两位同学对同一四面体进行测量，各自得到了一条不全面的信息：甲同学：四
面体有两个面是等腰直角三角形；乙同学：四面体有一个面是边长为 1的等边三角形．那么，根据以上信息，
该四面体体积的值可能是（ ）
A． B． C． D．
12．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则下列说法中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C． D．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______．
14．在 的展开式中，含 的项的系数是______．(用数字作答)
15．已知函数 ( ， )，若 为奇函数，且在 上单调递减，
则ω的最大值为______．
16．已知 为等腰三角形，其中 ，点D为边AC上一点， ．以点B、D为焦点的椭
圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)在 中， ，点D在AB边上，且 为锐角， ，
的面积为4．
(1)求 的值；
(2)若 ，求边AC的长．
18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为直角梯形，其中 ， ， ，
点E为BC的中点，以DE为折痕把 折起，使点C到达点P的位置，且使 ，连接AP、
BP．
(1)求证：平面PDA⊥平面PDE；
(2)求平面PDA与平面PBE的夹角的余弦值．
19．(本小题满分12分)各项都为整数的数列 满足 ， ，前6项依次成等差数列，从第5项
起依次成等比数列．
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)求出所有的正整数m，使得 ．
20．(本小题满分12分)已知函数 在 处的切线方程为 ，其中e为自然
常数．
(1)求a，b的值及 的最小值；
(2)设 ， 是方程 ( )的两个不相等的正实根，证明： ．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点 为抛物线 ( )上一点，点M、N为
x轴正半轴(不含原点)上的两个动点，满足 ，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、
B．
(1)求直线AB的斜率；
(2)求 面积的取值范围．
22．(本小题满分12分)品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不
同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这 n瓶酒，
并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．
设在第一次排序时被排为 1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为 ，并令
，称X是两次排序的偏离度．
评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分．
(1)当 时，若 等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
(2)当n＝4时，
①若 等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算 的概率：
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有 (各轮测试相互独立)，你认为该品酒师的鉴别能力如何，请
说明理由．
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