文档内容
湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.如图,在四面体OABC中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,且⃗OM=2⃗MA,⃗BN=⃗NC,则⃗MN=( )
2 2 1 2 2 1
A. a+ b+ c B. a+ b- c
3 3 2 3 3 2
2 1 1 1 2 1
C.- a+ b+ c D. a- b+ c
3 2 2 2 3 2
1
解析 连接 ON(图略),因为⃗BN=⃗NC,所以⃗ON= (⃗OB+⃗OC),因为⃗OM=2⃗MA,所以
2
2 1 2 2 1 1
⃗OM= ⃗OA,所以⃗MN=⃗ON−⃗OM= (⃗OB+⃗OC)- ⃗OA=− a+ b+ c。故选C。
3 2 3 3 2 2
答案:C
2.圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-√5]
B.[√5,+∞)
C.[-√5,√5]
D.(-∞,-√5]∪[√5,+∞)
解析 圆 x2+(y-2)2=4 的圆心为 C (0,2),半径 r=2。圆 x2+2mx+y2+m2-1=0 化成标准方程为
1 1
(x+m)2+y2=1,圆心为C (-m,0),半径r=1。因为圆C 与圆C 至少有三条公切线,所以圆C 与圆
2 2 1 2 1
C 相离或外切,所以|C C |≥r+r,即 ≥3,解得m≤- 或m≥ 。故选D。
2 1 2 1 2 √m2+4 √5 √5
答案:D
3.已知抛物线M的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上。经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A,B两点。若|AB|=12,线段AB的中点的纵坐标为-5,则抛物线M的标准方程为( )
A.x2=-14y B.x2=-4y
C.y2=-4x D.y2=-14x
解析 如图,设抛物线的焦点为F,准线为l,分别过点A,B向直线l作垂线,垂足分别为点A',B',
依题意,设抛物线M的标准方程为x2=-2py(p>0),A(x,y),B(x,y),则|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=-
1 1 2 2
y 1 +p + ( −y + p)=-(y 1 +y 2 )+p=12,因为线段 AB 的中点的纵坐标为-5,即 y 1 + y 2 =-5,所以
2 2 2 2
y+y=-10,所以p=2,抛物线M的标准方程为x2=-4y。故选B。
1 2
答案:B
1
4.已知数列{a}的前n项和是S,且满足a=3,a =8a ,a = a ,k∈N*,则S =( )
n n 1 2k 2k-1 2k+1 2k 2 025
2
A.42 025-1 B.3×22 025-3
C.3×41 013-9 D.5×41 012-2
1
解析 因为a =8a ,a = a ,所以a =4a 。又a=3,所以数列{a }是首项为3,公比为4
2k 2k-1 2k+1 2k 2k+1 2k-1 1 2k-1
2
的等比数列。因为a=8a=24,a a ·a =4,所以数列{a }是首项为24,公比为4的等
2 1 2k+2= 2k+2 2k+1 2k
a a a
2k 2k+1 2k
3(1−41 013
)
24(1−41 012
)
比数列。所以S =(a+a+…+a )+(a+a+…+a )= + =3×41
2 025 1 3 2 025 2 4 2 024
1−4 1−4
013-9。故选C。
答案:C
5.已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xln x,若f(x)=1+2ln t,g(x)=t2,则(xx-x)ln t2的最小值为( )
1 2 1 2 2
1 1
A.- B.-
e 2e
1 2
C. D.
e2 e
解析 因为f(x 1 )=x 1 +ln(x 1 -1)=1+2ln t,所以x 1 -1+ln(x 1 -1)=ln t2,则ln[(x 1 -1)ex 1 −1]=ln t2。于是(x 1 -
1)ex 1 −1=t2。又因为 g(x 2 )=x 2 ln x 2 =t2,所以(x 1 -1)ex 1 −1=x2ln x2=ln x2eln x 2 。构造函数y=xex,易知当x>0时,y=xex单调递增。所以x-1=ln x,于是(xx-x)ln t2=x(x-1)·ln t2=xln xln
1 2 1 2 2 2 1 2 2
t2=t2ln t2,令u=t2>0,h(u)=uln u,则h'(u)=ln u+1,由h'(1)=0,易知h(u)在( 1)上单调递减,在
0,
e e
(1
,+∞
)上单调递增。所以h(u)
min
=h(1)
=−
1,即[(x
1
x
2
-x
2
)ln t2]
min
=-1。故选A。
e e e e
答案:A
6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个
数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
解析 以1为首项的等比数列为1,2,4和1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的
等比数列为4,6,9;把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,所以所求的等比数列的
个数是2×(2+1+1)=8。故选D。
答案:D
7.某工厂产品合格的概率均为p,各产品合格与否相互独立。设X为该工厂生产的5件产品
中合格的数量,其中D(X)=1.2,P(X=2)0,则有|m|<2√2,故B正确;令直线l与椭圆C相切,则
Δ=12(8-m2)=0,即m=±2 ,直线y=x+3 与y=x-2 的距离d=|3√2−(−2√2)|=5,故C正
√2 √2 √2
√2
确;直线y=x-√2与y=x-2√2和y=x的距离均为1,因此,C上到l的距离为1的点只有3个,故D
正确。故选BCD。
答案:BCD
10.已知等差数列{a}的前n项和为S,且满足a=-4,S=-40,则( )
n n 5 5
A.a =6
10
B.S =-30
10
C.当且仅当n=6时,S 取最小值
n
D.a+a+a+a+a+a =0
5 6 7 8 9 10
{ a +4d=−4,
解析 设等差数列{a}的公差为d,由{a =−4, 1 {a =−12,
n 5 得 5×4 解得 1
S =−40, 5a + d=−40, d=2,
5 1 2
(−12+2n−14)n
所以 a=2n-14,S= =n2-13n,则 a =6,S =-30,故 A,B 正确;令 a=2n-14≤0,得
n n 10 10 n
2
n≤7,且 a=0,则 n=6 或 n=7 时,S 取最小值,故 C 不正确;因为 a+a+a+a+a=5a=0,所以
7 n 5 6 7 8 9 7
a+a+a+a+a+a =6≠0,故D不正确。故选AB。
5 6 7 8 9 10
答案:AB
11.已知红箱内有6个红球、3个白球,白箱内有3个红球、6个白球,所有小球的大小、形状
完全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球,然后再放回去,依此类推,第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去。记第n次取出的球是红球的概率为P,则下列说法正确的是( )
n
5
A.P=
2
9
B.3P +P=1
n+1 n
122
C.第5次取出的球是红球的概率为
243
139
D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是
243
6 2
解析 依题意,得P= = ,设第n次取出的球是红球的概率为P,则取出的球是白球的概率
1 n
9 3
2
为(1-P),对于第n+1次,取出红球有两种情况:①从红箱内取出的概率为P· ,②从白箱内取出
n n
3
1 2 1 1 1
的概率为(1-P)· ,所以 P = Pn+ (1-P)= Pn+ ,即 3P =P+1,故 B 错误;所以 P -
n n+1 n n+1 n n+1
3 3 3 3 3
1
=
1(
P −
1),令 a
n
=P
n
-1,则数列{a
n
}为等比数列,公比为1,因为 P
1
=2,所以 a
1
=1,故 P
n
=
2 3 n 2 2 3 3 6
1
×
(1) n−1
+
1,所以P
2
=5,P
5
=122,故A,C正确;前3次取球恰有2次取到红球包括3种情况:
6 3 2 9 243
2 2 1 4 2 1 1 2 1 1 2 2
红红白,红白红,白红红,其概率依次为 × × = , × × = , × × = ,故所求
3 3 3 27 3 3 3 27 3 3 3 27
4 2 2 8
概率为 + + = ,故D错误。故选AC。
27 27 27 27
答案:AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
1
12.椭圆x2+4y2=16被直线y= x+1截得的弦长为 。
2
{x2+4 y2=16,
解析 由 消去 y 并化简得 x2+2x-6=0。设直线与椭圆的交点分别为
1
y= x+1,
2
M(x,y),N(x,y), 则 x+x=-2,xx=-6, 所 以 |MN|=
1 1 2 2 1 2 1 2
√
1+
(1) 2
|x1−x2|=
√5
[(x +x ) 2−4x x ]=
√5
×(4+24)=√35
。
2 4 1 2 1 2 4
答案:√3513.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 。
{ a≠0,
解析 依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1 有两个不相等的零点,故 解得 a>-3 且
Δ=36+12a>0,
a≠0。
答案:(-3,0)∪(0,+∞)
14.乘积(a+a+a)(b+b+b+b)(c+c+c+c+c)展开后的项数为 。
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
解析 从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,从第
三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知所求项数是3×4×5=60。
答案:60
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
如图,直四棱柱ABCD⁃A
1
B
1
C
1
D
1
的底面为菱形,AB=AC=2,AA
1
=2√3。
(1)证明:平面AC B⊥平面BDD B;(7分)
1 1 1 1
(2)求直线DC 与平面AC B所成角的正弦值。(8分)
1 1 1
解 (1)证明:因为四边形ABC D 是菱形,所以AC ⊥BD 。又BB⊥平面ABC D,AC 平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面 ABC D,所以 BB⊥AC 。因为 BD∩BB=B,BD,BB 平面 BDD B,所以 AC ⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⊂
BDD
1
B
1
。因为A
1
C
1
平面A
1
C
1
B,所以平面A
1
C
1
B⊥平面BDD
⊂1
B
1
。
⊂
(2)连接AC,设菱形对角线交点分别为O,O,连接OO ,依题意可知,OO ⊥平面ABCD,以O为原
1 1 1
点,OC,OD,OO 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。因为
1
AA=2√3,AB=AC=2,所以BO=√3=DO,所以B(0,-√3,0),A(-1,0,2√3),C (1,0,2√3),D(0,√3,0),所以
1 1 1
=(1, ,2 ), =(-1, ,2 ), =(-1, ,-2 ),设平面 AC B 的法向量为 n=(x,y,z),
⃗BC √3 √3 ⃗BA √3 √3 ⃗C D √3 √3 1 1
1 1 1{n·⃗BC =0, { x+√3 y+2√3z=0,
则 1 所以 取n=(0,2,-1),设直线DC 1 与平面A 1 C 1 B的夹角
n·⃗BA =0, −x+√3 y+2√3z=0,
1
为θ,则sin θ=|cos< ⃗C D ,n>|= |⃗C 1 D·n| = 2×√3+1×2√3 = √15,所以直线DC 1 与平面
1 |⃗C D||n| 4×√5 5
1
√15
AC B所成角的正弦值为 。
1 1
5
16.（本小题满分15分）
2 1
设S 为数列{a}的前n项和,b 为数列{S}的前n项积,已知 + =2。
n n n n S b
n n
(1)证明:数列{b}是等差数列; (7分)
n
(2)求{a}的通项公式。 (8分)
n
解 (1)证明:因为 b 是数列{S}的前 n 项积,所以当 n≥2 时,S= b ,代入 2 1 =2,可得
n n n n +
b S b
n−1 n n
2b
n−1+
1 =2,整理可得2b
n-1
+1=2b
n
,即b
n
-b
n-1
=1(n≥2)。又 2
+
1
=
3 =2,所以b
1
=3,故{b
n
}是
b b 2 S b b 2
n n 1 1 1
3 1
以 为首项, 为公差的等差数列。
2 2
3 1 n+2 2 2 n+2 3
(2)由(1)可知,b= + (n-1)= ,则 + =2,所以S= ,当n=1时,a=S= ,当n≥2时,
n 2 2 2 S n+2 n n+1 1 1 2
n
3
{ ,n=1,
a=S-S =n+2 n+1 1 。又a=3不满足上式,故a= 2
n n n-1 − =− 1 n
n+1 n n(n+1) 2 1
− ,n≥2。
n(n+1)
17.（本小题满分15分）
设函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R。
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (7分)
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e]时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不
存在,说明理由。 (8分)
1 (2x−1)(x+1) 1
解 (1)当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,x>0,得f'(x)=2x+1- = ,令f'(x)>0,解得x> ,令
x x 2f'(x)<0,解得00,g(x)在
0, 0, ,e
a a a a
(1
,e
)上单调递增,所以g(x)
min
=g(1)=1+ln a=3,解得a=e2满足条件。
a a
1 4
③当 ≥e时,x∈(0,e)时,g'(x)<0,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x) =g(e)=ae-1=3,解得a= ,不合题意,
min
a e
舍去。综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。
18.（本小题满分16分）
某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试,测试通过可获得相应学分。员工年度
获得的总学分不低于10分,则员工该年度考核为合格。该单位员工甲今年可参加的专业技
能测试有A,B,C,D四项,已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的
概率如表所示,且员工甲是否通过各项专业技能测试相互独立。
测试项目 A B C D
学分 5分 6分 4分 8分
4 3 5 1
通过概率
5 4 6 2
(1)若员工甲参加A,B,C三项测试,求他本年度考核合格的概率; (8分)
3
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加,若要使他本年度考核合格的概率不低于 ,
4
应如何选择?请求出所有满足条件的方案。 (8分)
解 (1)由题知,员工甲本年度考核合格必须通过B项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,
故其考核合格的概率为3 ( 1 1) 29。
× 1− × =
4 5 6 40
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加的方案共分为如下 4类:A,C,D方案;A,B,D方
案;B,C,D方案;A,B,C方案。①若选择A,C,D三项测试,则必须通过D项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,故员工甲考核合格的概率为1 ( 1 1) 29 3,所以此方案不符合
× 1− × = <
2 5 6 60 4
要求。②若选择A,B,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合
格的概率为1 ( 1 1) ( 1) 4 3 31 3,所以此方案符合要求。③若选择
× 1− × + 1− × × = >
2 5 4 2 5 4 40 4
B,C,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为
1 ( 1 1) ( 1) 3 5 19 3,所以此方案符合要求。④若选择A,B,C三项测
× 1− × + 1− × × = >
2 4 6 2 4 6 24 4
29 3
试,结合(1)可知 < ,所以此方案不符合要求。综上可得,满足条件的方案为A,B,D方案和
40 4
B,C,D方案。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学
建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集
在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处
理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
7 7
y w ∑❑(x-x)(y-y) ∑❑(x-x)(w-w)
i i i i
i=1 i=1
73.5 3.85 -95 -2.24
1 7
表中:w=ln(y-25),w= ∑❑w。
i i 7 i
i=1
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的
经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (5分)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程; (5分)
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的
茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。(6分)
附:①对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其经验回归直线v^=α^+^βu的斜率和截距的最小二乘
1 1 2 2 n nn
∑❑(u −u)(v −v)
i i
估计分别为^β= i=1 ,α^=v−^βu;
n
∑❑(u −u) 2
i
i=1
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),则
1 7 7
w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x −x) 2 =28,结合题表中数据,可得 ln c=
7 i i
i=1 i=1
7
∑❑(x −x)(w −w)
i i
−2.24
i=1 = =-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,由ln d=w−x·ln c,
7 28
∑❑(x −x) 2
i
i=1
得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为^y
=60×0.92x+25。
(3)因为在 25 ℃室温下,茶水温度降至 60 ℃口感最佳,所以由 60=60×0.92x+25,得 0.92x=
60−25 7 7
= ,对等式两边取自然对数,得 x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,则 x≈
60 12 12
−0.6 −0.6
= =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最
ln e−0.08 −0.08
佳饮用口感。
