文档内容
数学试题
（考试时间：120 分钟满分：150分）
请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.
2.所有试题的所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效.
3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗.
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题后所给的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列判断正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 即可求解．
【详解】解：由题意可知： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
2. 如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 圆锥
【答案】B
【解析】
【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．
【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，
该几何体是四棱锥，
∴故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】运用合并同类项 法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字
母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字
母的指数不变．即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故选项正确，符合题意；
B、 ，故选项错误，不符合题意；
C、 ，故选项错误，不符合题意；
D、 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字
母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．
4. 如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．【详解】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1．
故选：D．
【点睛】此题考查了求概率，解题的关键是判断出该事件是必然事件．
5. 已知点 在下列某一函数图像上，且 那么这个函数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y、y、y 的值，比较大小即可得出答案．
1 2 3
【详解】解：A．把点 代入y=3x，解得y=-9，y=-3，y=3，所以yy=y，这与已知条件
1 2 3 1 2 3
不符，故选项错误，不符合题意；
C． 把点 代入y= ，解得y=-1，y=-3，y=3，所以y0时，x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【解析】
【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．
【
详解】解：把(1，0)代入一次函数 ，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴ ，
当y>0时，即 ，
解得：x<1．
故答案为：x<1．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确列
出不等式，算出x的取值范围．
13. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若
∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】解：连接OA，∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C= ∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出
∠O的度数．
14. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走
日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与
出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
15. 已知 用“＜”表示 的大小关系为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
，当且仅当 时取等号，
此时 与题意 矛盾，
∴
∴ ；，同理 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是
大于等于0的即可与0比较大小．
的
16. 如图上， O为内心，过点O 直线分别与AC、AB相交于D、
E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
【答案】2或 ## 或2
【解析】
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作 ， ，连接OB，则OD⊥AC，
∵ ，
∴
∵O为 的内心，
∴ ，
∴∴ ，
同理， ，
∴DE=CD+BE，
∵O为 的内心，
∴ ，
∴
∴
∴
②如图，作 ，
由①知， ， ，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴∴
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情
况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
三、解答题（本道题共10题，共102分，请在答题中指定区域作答。解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤。）
17. 计算:
（1）计算： ；
（2）按要求填空：
小王计算 的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出
正确的计算结果是 .
【答案】（1）
（2）因式分解；三和五；【解析】
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
【小问1详解】
解：原式 ；
【小问2详解】
解：由题意可知：
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为 .
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解
题的关键.
18. 农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一.观察下列两幅统
计图，回答问题.（1）2017—2021年农业产值增长率的中位数是 %﹔若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年
服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）.
（2）小亮观察折线统计图后认为：这五年中，每年服务业产值都比工业产值高，你同意他的说法吗?请结
合扇形统计图说明你的理由.
【答案】（1）2.8，96
（2）不同意，理由见解析
【解析】
【分析】（1）2017—2021年农业产值增长率按照从小到大排列后，按照中位数的定义求解即可，先求出
2019年的服务业产值，再用2020年的服务业产值增长率乘以2019年服务业产值；
（2）先从折线统计图分析，再从扇形统计图分析即可．
【小问1详解】
解：∵2017—2021年农业产值增长率按照从小到大排列为：
2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3.0%，
∴中位数为2.8%，
2019年服务业产值为：5200×45%＝2340（亿元），
2020年服务业产值比2019年约增加：2340×4.1%＝95.94≈96（亿元）；
故答案为：2.8，96
【小问2详解】
解：不同意，理由是：从折线统计图看，每年服务业产值的增长率都比工业产值的增长率高，因为不知道
每年的具体数量和占当年的百分比，所以这五年中，每年服务业产值都比工业产值高是错误的，例如：从
扇形统计图看，2019年服务业产值占“三产”的比重为45%，工业产值占“三产”的比重为49%，服务业产值
低于工业产值，
∴每年服务业产值都比工业产值高是错误的．
【点睛】此题考查了扇形统计图、折线统计图、中位数等知识，读懂题意，从统计图中获取有用信息，数形结合是解题的关键．
19. 即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有
A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性
也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰
好经过通道A与通道D的概率．
【答案】
【解析】
【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出恰好经过通道A与通道D的结果数，然后根据概率
公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求解．
【详解】解：列表如下：
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)= ．
答：他恰好经过通道A与通道D的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，解题 的关键是列出所有等可能的结果．
20. 如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪
的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2
答：道路的宽应为4米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）AF= BC，理由见解析
【解析】
【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由
中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF= BC时，平行四边形ADFE为矩
形．
【小问1详解】
证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DF AC，EF AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
【小问2详解】
解：当AF= BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE= BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若 ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF= BC时，四边形ADFE为矩形．
【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，
熟练运用上述知识．
22. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶
部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，
小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精
确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】
【解析】
【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-
∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-
∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中， ，代入数据： ，
∴ ，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是 ．
【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂
题意，利用数形结合的思想解答．
23. 如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且
AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，
运动时间为t秒
（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH
为直角，求此时t的值.
【答案】（1）
（2）8或9秒
【解析】【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到
∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；
(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【小问1详解】
解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE= EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴ ．
【小问2详解】
解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中， ，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t=8，t=9，
1 2
即t的值为8或9秒．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定
(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．
24. 如图，二次函数 的图像与 轴相交于点 ，与反比例函数 的图像相交
于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当 随 的增大而增大且 时，直接写出 的取值范围；
（3）平行于 轴的直线l与函数 的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数 的图像相交于
点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.【答案】（1） ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据 点和 点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出 ，进而确定 点是抛物线
对称轴和反比例函数的交点，求出 点的坐标即可．
【小问1详解】
解： 二次函数 的图像与 轴相交于点 ，与反比例函数 的图像相交于点
，
， ，
解得 ， ，
二次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解： 二次函数的解析式为 ，
对称轴为直线 ，
由图像知，当 随 的增大而增大且 时， ；
【小问3详解】
解：由题意作图如下：当 时， ，
，
，
的 边上的高与 的 边上的高相等，
与 的面积相等，
，
即 点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当 时， ，
．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，
三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
25. 已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作
法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于 ，以FD为
半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）2 （2）图见详解
（3）直线BC与⊙F相切，理由见详解
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由
CF∥BR，推出 ，推出CD⊥DF，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：∵DE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，【小问3详解】
解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴ ，
∵△FBC的面积等于 ，
∴ ，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角
形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
26. 定义：对于一次函数 ，我们称函数
为函数 的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数 是否为函数 的“组合函数”，并说明理由;
（2）设函数 与 的图像相交于点P.
①若 ，点P在函数 的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数 的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请
说明理由.
【答案】（1） 是函数 的“组合函数”
（2）① ；②存在，见详解
【解析】
【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标 和“组合函数” ，把
代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把
n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
【小问1详解】
解： 是函数 的“组合函数”，
理由：由函数 的“组合函数”为： ，
把m=3，n=1代入上式，得 ，
函数 是函数 的“组合函数”；
【小问2详解】
解：①解方程组 得 ，
的
函数 与 图像相交于点P，
点P的坐标为 ，
的“组合函数”为 ， ，
，点P在函数 的“组合函数”图像的上方，
，整理，得 ，
， ，p的取值范围为 ；
②存在，理由如下：
函数 的“组合函数”图像经过点P．
将点P的坐标 代入“组合函数” ，得
，
，
，
， ，
将 代入 = ，
把y=0代入 ，得
解得： ，
设 ，则 ，
，
对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确
理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
