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2025 年高考全国二卷数学真题
一、单选题
1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
2．已知𝑧 =1+i，则 1 =（ ）
𝑧−1
A．−i B．i C．−1 D．1
3．已知集合𝐴 ={−4,0,1,2,8},𝐵 ={𝑥 ∣𝑥3 =𝑥},则𝐴∩𝐵 =（ ）
A．{0,1,2} B．{1,2,8}
C．{2,8} D．{0,1}
4．不等式𝑥−4 ≥2的解集是（ ）
𝑥−1
A．{𝑥 ∣−2≤𝑥 ≤1} B．{𝑥 ∣𝑥 ≤−2}
C．{𝑥 ∣−2≤𝑥 <1} D．{𝑥 ∣𝑥 >1}
5．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶 =2，𝐴𝐶 =1+√3，𝐴𝐵 =√6，则𝐴 =（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
6．设抛物线𝐶:𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝 >0)的焦点为𝐹,点A在C上，过A作𝐶的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为𝑦 =
−2𝑥+2，则|𝐴𝐹|=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．记𝑆 为等差数列{𝑎 }的前n项和，若𝑆 =6,𝑆 =−5,则𝑆 =（ ）
𝑛 𝑛 3 5 6
A．−20 B．−15 C．−10 D．−5
8．已知0<𝛼 <𝜋，cos 𝛼 = √5，则sin(𝛼− 𝜋 )=（ ）
2 5 4
A．√2 B．√2 C．3√2 D．7√2
10 5 10 10
二、多选题
9．记𝑆 为等比数列{𝑎 }的前n项和，𝑞为{𝑎 }的公比，𝑞 >0，若𝑆 =7,𝑎 =1，则（ ）
𝑛 𝑛 𝑛 3 3
A．𝑞 = 1 B．𝑎 = 1
5
2 9
C．𝑆 =8 D．𝑎 +S =8
5 𝑛 𝑛
10．已知𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且当𝑥 >0时，𝑓(𝑥)=(𝑥2−3)e𝑥+2，则（ ）
A．𝑓(0)=0 B．当𝑥 <0时，𝑓(𝑥)=−(𝑥2−3)e−𝑥−2
C．𝑓(𝑥)≥2当且仅当𝑥 ≥√3 D．𝑥 =−1是𝑓(𝑥)的极大值点
11．双曲线𝐶:
𝑥2
−
𝑦2
=1(𝑎 >0,𝑏 >0)的左、右焦点分别是𝐹、𝐹 ，左、右顶点分别为𝐴 ，𝐴 ，以𝐹 𝐹 为直径的圆
𝑎2 𝑏2 1 2 1 2 1 2
与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠𝑁𝐴 𝑀 = 5𝜋，则（ ）
1
6
A．∠𝐴 𝑀𝐴 = 𝜋 B．|𝑀𝐴 |=2|𝑀𝐴 |
1 2 1 2
6
C．C的离心率为√13 D．当𝑎 =√2时，四边形𝑁𝐴 𝑀𝐴 的面积为8√3
1 2
三、填空题
12．已知平面向量𝑎⃗ =(𝑥,1),𝑏⃗⃗ =(𝑥−1,2𝑥),若𝑎⃗ ⊥(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)，则|𝑎⃗|=
13．若𝑥 =2是函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−𝑎)的极值点，则𝑓(0)=
14．一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
四、解答题
15．已知函数𝑓(𝑥)=cos(2𝑥+𝜑)(0≤𝜑 <π),𝑓(0)= 1．
2
(1)求𝜑;
(2)设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥− π )，求𝑔(𝑥)的值域和单调区间．
6
16．已知椭圆𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎 >𝑏 >0)的离心率为√2，长轴长为4．
𝑎2 𝑏2 2
(1)求C的方程；
(2)过点(0,−2)的直线l与C交于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点，若△𝑂𝐴𝐵的面积为√2，求|𝐴𝐵|．
17．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷,∠𝐷𝐴𝐵 =90°，F为CD的中点，点E在AB上，𝐸𝐹//𝐴𝐷，𝐴𝐵 =3𝐴𝐷,𝐶𝐷 =2𝐴𝐷，
将四边形𝐸𝐹𝐷𝐴沿𝐸𝐹翻折至四边形𝐸𝐹𝐷′𝐴′，使得面𝐸𝐹𝐷′𝐴′与面EFCB所成的二面角为60°．
(1)证明:𝐴′𝐵//平面𝐶𝐷′𝐹；
(2)求面𝐵𝐶𝐷′与面𝐸𝐹𝐷′𝐴′所成的二面角的正弦值．
18．已知函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥+ 1 𝑥2−𝑘𝑥3，其中0<𝑘 < 1．
2 3
(1)证明：𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设𝑥 ,𝑥 分别为𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)的极值点和零点.
1 2
（i）设函数𝑔(𝑡)=𝑓(𝑥 +𝑡)−𝑓(𝑥 −𝑡)·证明：𝑔(𝑡)在区间(0,𝑥 )单调递减；
1 1 1
（ii）比较2𝑥 与𝑥 的大小，并证明你的结论．
1 2
19．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为𝑝( 1 <𝑝 <1)，乙胜的
2
概率为q，𝑝+𝑞 =1，且各球的胜负相互独立，对正整数𝑘 ≥2，记𝑝 为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，
𝑘
𝑞 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
𝑘
(1)求𝑝 ,𝑝 （用p表示）．
3 4
(2)若𝑝4−𝑝3 =4，求p．
𝑞4−𝑞3
(3)证明：对任意正整数m，𝑝 −𝑞 <𝑝 −𝑞 <𝑝 −𝑞 ．
2𝑚+1 2𝑚+1 2𝑚 2𝑚 2𝑚+2 2𝑚+2
