文档内容
数学
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题．
一、选择题（本题有10小题）
1. 在 中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数 定的义判断即可；
【详解】解：∵-2， ，2是有理数， 是无理数，
故选： C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方
根、π．
2. 计算 的结果是（ ）
A. a B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【详解】∵ = ，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，
数16320000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在用科学记数法表示的大于10的数时， 的形式中a的取值范围必须是
10的指数比原来的整数位数少1．
【详解】解：数16320000用科学记数法表示为
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查科学记数法，对于一个写成用科学记数法写出的数，则看数的最末一位
在原数中所在数位，其中a是整数数位只有一位的数，10的指数比原来的整数位数少1．
4. 已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的长可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，
∵ 角形的两边长分别为 和 ，
∴3cm＜x＜13cm,
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．
5. 观察如图所示的频数直方图，其中组界为99.5~124.5这一组的频数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】用总人数减去其他三组的人数即为所求频数．
【详解】解：20－3－5－4=8，
故组界为99.5~124.5这一组 的频数为8，
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，能够根据要求读出相应的数据是解决本题的关键．
6. 如图， 与 相交于点O， ，不添加辅助线，判定
的依据是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ， ， 正好是两边一夹角，即可得出答
案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中， ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相
等的两个三角形全等，是解题的关键．
7. 如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是
，下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，
由此得到答案．
【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，
超市到原点的距离为 ，
医院到原点的距离为 ，
学校到原点的距离为 ，
体育场到原点的距离为 ，
故选：A．
【点睛】此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及
正确展望勾股定理的计算是解题的关键．
8. 如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，
现将圆柱侧面沿 “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
学科网（北京）股份有限公司∴将圆柱侧面沿 “剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
9. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ， ，则房
顶A离地面 的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三
角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司∵它是一个轴对称图形，
∴ m，
，即 ，
房顶A离地面 的高度为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是
解题的关键．
10. 如图是一张矩形纸片 ，点E为 中点，点F在 上，把该纸片沿 折叠，
点A，B的对应点分别为 与 相交于点G， 的延长线过点C．若
，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证 ，得出 ，进而得
出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH= x，
最后求出 的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵ ，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y， ， ，
由题意，得 ，
又 为公共角，
∴ ，
∴ ，
则 ，
整理，得 ，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
△
解得EH= x， EH=- x(舍)，
∴AB= x，
∴ ．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知
识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
卷Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题
二、填空题（本题有6小题）
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式 直接进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
12. 若分式 的值为2，则x的值是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可；
【详解】解：由题意得：
去分母：
去括号：
移项，合并同类项：
系数化为1：
经检验，x=4是原方程的解，
故答案为：4；
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．
13. 一个布袋里装有7个红球、3个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸
到红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定所有等可能性的数量，再确定红球事件的可能性数量，根据公式计算即可．
【详解】∵ 所有等可能性有10种，红球事件的可能性有7种，
∴摸到红球的概率是 ，
故答案 ： ．
为
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
14. 如图，在 中， ．把 沿 方向平
移 ，得到 ，连结 ，则四边形 的周长为_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，
再计算出周长即可．
【详解】解：∵ ，
∴AB=2BC=4，
∴AC= ，
∵把 沿 方向平移 ，得到 ，
∴ ， ， ，
∴四边形的周长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是
学科网（北京）股份有限公司解决本题的关键．
15. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ 于点A，长边与⊙ 相切于点B，角尺的直角顶点
为C，已知 ，则⊙ 的半径为_____ ．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，
在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ACBD为矩形，
∴ ， ，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得： ，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得： ，
即 的半径为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造
学科网（北京）股份有限公司直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
16. 图1是光伏发电场景，其示意图如图2， 为吸热塔，在地平线 上的点B， 处
各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜
面反射后到达吸热器点F处．已知 ，在点A观测
点F的仰角为 ．
（1）点F的高度 为______m．
（2）设 ，则 与 的数量关系是_______．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形
AFG，确定FG，EG的长度即可．
（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线
的性质求解即可．
【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G．
∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，
∴FG=AG=EB=8m，
学科网（北京）股份有限公司∴EF=FG+EG=9(m)．
故答案为：9；
（2） ．理由如下：
∵∠ E=∠ EG=∠EG =90°，
∴四边形 EG是矩形，
∴EG= =1m， G=E = ，
∴tan∠ FG= ，
∴∠ FG=60°，∠F G=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠F M=2n，
∵ 光线是平行的，
∴AN∥ M，
∴∠GAN=∠G M，
∴45°+2m=30°+2n，
解得n-m=7.5°，
根据光路图，得 ，
∴ ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光
的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，各小题都必须写出解答过程）
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即
可；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
18. 解不等式： ．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式解法的基本步骤是解题的关
键．
19. 如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦
图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当 时，该小正方形的面积是多少？
【答案】（1）
（2）36
【解析】
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去
较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入
即可．
【小问1详解】
解：∵直角三角形较短的直角边 ，
较长的直角边 ，
∴小正方形的边长 ；
【小问2详解】
解： ，
当 时， ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是
解决本题的关键．
20. 如图，点A在第一象限内， 轴于点B，反比例函数 的图象
分别交 于点C，D．已知点C的坐标为 ．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在 的内部（包括边界），直接写出点P
的横坐标x的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
【解析】
【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标；
（2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围；
【小问1详解】
解：把C（2，2）代入 ，得 ， ，
∴反比例函数函数为 （x＞0），
∵AB⊥x轴，BD=1，
∴D点纵坐标为1，
把 代入 ，得 ，
∴点D坐标为（4，1）；
【小问2详解】
解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间，
学科网（北京）股份有限公司∴点P的横坐标： ；
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键．
21. 学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成．九（1）班
组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如表．请解答下列问题：
演讲总评成绩各部分所占比例的统计图：
三位同学的成绩统计表：
内容 表达 风度 印象 总评成绩
小明 8 7 8 8 m
.
小亮 7 8 8 9 785
小田 7 9 7 7 7.8
（1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数．
（2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序．
（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合
理，如何调整？
【答案】（1） ；
（2） ，三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明；
（3）班级制定的各部分所占比例不合理，见解析；
【解析】
【分析】（1）由“内容”所占比例×360°计算求值即可；
（2）根据各部分成绩所占的比例计算加权平均数即可；
（3）根据 “内容”所占比例要高于“表达”比例，将“内容”所占比例设为40%即可；
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司解：∵“内容”所占比例为 ，
∴“内容”的扇形的圆心角 ；
【小问2详解】
解： ，
∵ ，
∴三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明；
【小问3详解】
解：各部分所占比例不合理，
“内容”比“表达”重要，那么“内容”所占比例应大于“表达”所占比例，
∴“内容”所占百分比应为40%，“表达”所占百分比为30%，其它不变；
【点睛】本题考查了扇形圆心角的计算，加权平均数的计算，掌握相关概念的计算方法是
解题关键．
22. 如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：
如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连
接 ．
（1）求 的度数．
（2） 是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到
正n边形，求n的值．
【答案】（1）
（2）是正三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则
(优弧所对圆心角) ，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得
学科网（北京）股份有限公司出结论．
【小问1详解】
解：∵正五边形 ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ (优弧所对圆心角) ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 是正三角形，理由如下：
连接 ，
由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
【小问3详解】
∵ 是正三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，
熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
23. “八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的
数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量 （吨）关于售价x（元/千克）的函数图象
可以看成抛物线，其表达式为 ，部分对应值如表：
售价x
（元/千 … 2.5 3 3.5 4 …
克）
需求量
… 7.75 7.2 6.55 5.8 …
（吨）
②该蔬菜供给量 （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为 ，函数图象见
图1．
③1~7月份该蔬菜售价 （元/千克），成本 （元/千克）关于月份t的函数表达式分别为
， ，函数图象见图2．
学科网（北京）股份有限公司请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【答案】（1）
（2）在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析
（3）该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为
8000元
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据 列出函数关系式，由二次函数的
性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【小问1详解】
把 ， 代入 可得
②-①，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【小问2详解】
设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有 ，
化简，得 ，
∵ 在 的范围内，
∴当 时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
【小问3详解】
由 ，得 ，
化简，得 ，解得 （舍去），
∴售价为5元/千克．
此时， （吨） （千克），
把 代入 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
∴总利润 （元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000
元．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系
数法求出函数解析式是解题的关键．
24. 如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线 向
终点D运动．过点E作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在
的右侧作矩形 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，点G在 上．求证： ．
（2）若 ，当 过 中点时，求 的长．
（3）已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的
三角形与 相似（包括全等）？
【答案】（1）见解析 （2） 或5
（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）证明 AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记 中点为△点O．分点E在 上和点E在 上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作 于点M，作 于点N．分点E在线段 上时，点E在
线段 上时，点E在线段 上，点E在线段 上，共四钟情况分别求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵FG BC，
∴ ，
∴ ，
∴ AFG是等腰三角形，
△
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【小问2详解】
解：记 中点为点O．
①当点E在 上时，如图2，过点A作 于点M，
∵ 中， ，
在
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点E在 上时，如图3，
过点A作 于点N．
同理， ，
，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∴ 或5．
【小问3详解】
解：过点A作 于点M，作 于点N．
①当点E在线段 上时， ．设 ，则 ，
ⅰ）若点H在点C的左侧， ，即 ，如图4，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
学科网（北京）股份有限公司经检验， 是方程的根，
∴ ．
ⅱ）若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
②当点E在线段 上时， ，如图6， ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去；
③当点E在线段 上时， ，如图7，过点C作 于点J，
学科网（北京）股份有限公司在 中， ．
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，符合题意，
此时， ．
④当点E在线段 上时， ，
∵ ，
∴ 与 不相似．
综上所述，s满足的条件为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性
质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
