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2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
2. 椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
4. 设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
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学科网（北京）股份有限公司C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
8. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于 两点，
，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 偶函数
为
B. 曲线 的对称轴为
C. 在区间 单调递增
D. 的最小值为
10. 已知复数 均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
第2页/共4页
学科网（北京）股份有限公司11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合 ，若 ，则 的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积的比值
是__________，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是__________．
14. 以 表 示 数 集 中 最 大 的 数 ． 设 ， 已 知 或 ， 则
的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
的
（1）求取出 3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为 ，求 的分布列及数学期望 ．
17. 如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， 为 与 的交点，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
的
（2）求二面角 正弦值．
18. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与 垂直的直线交 于
两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
（1）证明：直线 过定点；
的
（2）设 为直线 与直线 交点，求 面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，若 ，记
为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ， 两两不同，若
，则称 是以 为底 的离散对数，记为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，
）．证明： ，其中 ；
（3）已知 ．对 ，令 ．证明：
．
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