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曲靖一中 2024 届高三教学质量监测试卷（五）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，且 ，则a的值为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
2. 已知 ，则 虚的部为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4. 已知F是双曲线 的左焦点， ，P是双曲线右支上的一动点，则 的最小
值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃
饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为 和 ，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为
，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为 ，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周
一去食堂一楼的概率为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
的
6. 过点 作圆 两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（
）
A. B. C. D.
7. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数列，则
（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，及 ，若 ， 均为
偶函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的周期为2
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ， 都是正数，且 ，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10. 已知抛物线 ，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，
设 ， ，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当 时，直线l的斜率为
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学科网（北京）股份有限公司C. GF始终平分 D.
11. 已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交点，若
，则下列说法正确的是（ ）．
A. ， B. 在 上单调递增
C. 是 的一条对称轴 D. 是曲线 的一条切线
12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做
是一个倒扣的正四棱台 ．如图所示，过 作底面 的垂线，垂足为G．记
， ， ，面 与面 所成角为 ，面 与面
所成角为x， ， ， ，则（ ）
A. 正四棱台 的体积为
B.
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学科网（北京）股份有限公司C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ， ，则 __________．
14. 已知等差数列 中， ， ．记 ，则数列 中的最小项
为__________．
15. 若函数 的图象在 内恰好有两条对称轴，则实数 的值可以是
__________（写出一个满足题意的 即可）．
16. 已知函数 ，其中 且 ．若 存在两个极值点 ， ，则实数a的
取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知 在中， ， ， ．
（1）求 的外接圆半径R；
（2）求 ．
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为梯形，且 ， ，
， 为 边上的一点，满足 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：直线 面 ；
（2） 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的余弦值．
19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．
（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘
中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X
的数学期望 ．
（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有
条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，
设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当 时，事件A发生的概率最大，求
的值．
20. 已知数列 是公差为 的等差数列， 是 的前n项和， ．
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的首项为 ，满足 ，记数列 的前n项和为 ，求 ．
21. 已知抛物线 ，其顶点在坐标原点，直线 与抛物线交于M，N两点，且
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线O的方程．
（2）已知 ， ， ， 是抛物线O上 的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其
中 ， 均与 相切，请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定
值；若不是定值，请说明理由．
22. 已知函数 和 有相同 的最大值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列.
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