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银川一中 2024 届高三年级第五次月考
理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 欧拉公式 （ 为虚数单位， ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数
的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（
）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.
3. 若“ ， ”是假命题，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向量积”， 还是一个向量，它的长度
为 ，如果 ， ， ，则 （ ）
A. -16 B. 16 C. -20 D. 20
6. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 必为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
7. 已知不等式组 表示的平面图形为 ，则按斜二测画法，平面图形 的直观图的面积为（
）
A. B. C. D.
8. 如图， 的顶点都在坐标轴上，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则
（）
A. B. C. D.
9. 在正项等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
的
10. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周 汽油价格分别为m元/升，n元/升( )，甲和乙购
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学科网（北京）股份有限公司买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为
， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. ， 的大小无法确
定
11. 已知函数 ．若 为偶函数， ， ，
，则（ ）
A. B. C. D.
的
12. 如图，在棱长为2 正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，
点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积不是定值
B. 直线 到平面 的距离是
C. 存在点 ，使得
D. 面积的最小值是
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知角 终边与单位圆 交于点 ，则 __________.
的
14. 已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为 ，则该圆台的侧面积为___________.
15. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在
的图象上，则实数k的取值范围是__________．
16. 已知关于x的不等式 恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：（共60分）
17. 已知数列 前 项和为 ，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
的
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18. 已知圆 ： ，直线 ： .
（1）若直线 与圆 相切，求 的值；
（2）若 ，过直线 上一点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求四边形 面积的最小
值及此时点 的坐标，
19. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_____.
的
（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡 横线上并作答.）
条件①：
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学科网（北京）股份有限公司条件②：
（1）求角 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围.
20. 如图，在四棱锥 中， 面 ，且 ，
分别为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在，求出
的值，若不存任，说明理由；
（3）在平面 内是否存在点 ，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点
的轨迹图形形状.
21. 已知函数 且函数 有两个极值点.
（1）求 的范围;
（2）若函数 的两个极值点为 且 ，求 的最大值.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一
题记分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
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学科网（北京）股份有限公司22. 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 为参数 为 的倾斜角，且
，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，点 恰为线段 的三等分点，求
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
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