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2023～2024 学年第一学期优生联考
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学
利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，
50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛
的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 、 满足 ，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小值为（ ）．
A. 13 B. 12 C. 10 D. 8
6. 已知 、 是两个平面，直线 ， ，若以① ；② ；③ 中两个为条件，另
一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ①③ ②；①② ③ B. ①③ ②；②③ ①
C. ①② ③；②③ ① D. ①③ ②；①② ③；②③ ①
7. 已知函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若将 的图象向左至
少平移 个单位长度后可得到 的图象，则（ ）
A. 的图象关于原点对称
B.
C. 在 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方
形，如此继续.设初始正方形的边长为 ，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列
，若 的前n项和为 ，令 ，其中
表示x，y中的较大值.若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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学科网（北京）股份有限公司要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列代数式的值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，当 时，
，则（ ）
A. 是周期为 的周期函数 B.
C. 当 时， D.
12. 在长方体 中， ，E是棱 的中点，过点B，E， 的平面
交棱 于点F，P为线段 上一动点（不含端点），则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
在
B. 存 点P，使得
C. 直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
的
D. 三棱锥 外接球 表面积的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ，则 _______．
14. 已知函数 ，若直线 与曲线 相切，则 ________________.
15. 月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光
源点 射出的两条光线与 分别相切于点 、 ，称两射线 、 上切点上
方部分的射线与优弧 上方所夹的平面区域(含边界)为圆 的“背面”.若以点 为圆心， 为半径
的圆处于 的“背面”，则 的最大值为__________.
16. 已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 的左支上， ，
，延长 交 的右支于点 ，点 为双曲线上任意一点（异于 两点），则直线
与 的斜率之积 __________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
的
18. 已知 中，角 所对 边分别为 .
（1）求 ；
（2）设 是 边上的点，且满足 ，求 内切圆的半径.
19. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志
愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的
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学科网（北京）股份有限公司认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分
布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的
中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 服从正态分布 ，其中 近似为样本
的
平均数 ， 近似为样本方差 ．一般正态分布 概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
，令 ，则 ，且 ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 ；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求
（结果精确到0.001）以及 的数学期望．
参考数据： ， ．若 ，则 ．
20. 如图，在三棱柱 中，侧面 的面积为4，且四棱锥 的体积为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求点 到平面 的距离;
（2）若平面 平面 ，侧面 是正方形， 为 的中点， ，求平面
与平面 所成锐二面角的余弦值.
21. 设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，其中点 的坐标为 ，若点 是线段 垂
直平分线上一点，且满足 ，求实数 的值.
22. 已知函数 且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求证： ， .
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