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丰城九中 2023-2024 学年上学期高三月考数学试卷
时量：120分 满分：150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式求出 ，进而求出交集.
【详解】 ，解得 ，故 ，
因为 ，所以 .
故选：D
2. 若虚部大于0的复数 满足方程 ，则复数 的共轭复数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题可知： ，故 ，所以共轭复数为 故选B
3. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过
图来构造无理数 ， ， ， ，如图，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解.
【详解】记 ，由图知： ， ， ，
所以
.
故选：B.
4. 设向量 与 的夹角为θ，定义 ，已知 ， ，则 （
）
A. B. C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， 可得 ，以及向量 与 的夹角，结合题意可求得答案
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以向量 与 的夹角为 ，
所以 ，
故选：C
5. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种
新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检
测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 ，当血药浓度为峰值的 时，给药
时间为（ ）
A. 11小时 B. 13小时 C. 17小时 D. 19小时
【答案】B
【解析】
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比
数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为 ，则 是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以 ，
设当给药时间为 小时的时候，患者血药浓度为 ，血药浓度峰值为a，
则数列 是首项为a，公比为 的等比数列，所以 ，
令 ，即 ，解得 ，
当血药浓度为峰值的 时，给药时间为 ，
故选：B.
6. 对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知 ， ，
，要比较 ， ， 的大小，我们就可通过构造函数 来进行比较，通过计算，
你认为下列关系正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 讨论单调性，可得 ，即
，化简即可得答案．
【详解】令 ，
则 ，
当 ，即 ， ， ，
所以 ， 在 上单调递增，
因为 ,
所以有 ，
即 ，
所以有 ，
即 ，
所以有 ．
故选：A．
7. 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，若 在 上
有且仅有3个零点，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得 ，然后根据 在 上有且仅有3个零点列不等式，从而求得 的取值
范围，进而求得正确答案.
【详解】由图可知 ，
由于 ，所以 ，
令 ，
得 ，由 得 ，
依题意， 在 上有且仅有3个零点，
故当 取值最小时，有 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，所以 的最小值为 .
故选：A
8. 定义在 上的不恒为零的偶函数 满足 ，且 .则
（ ）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】首先等式变形为 ，再结合 以及偶函数的性质，即可求和.
【详解】由条件可知， ，且 ，
则 ，
所以 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，
则 .
故选：D.
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”.现有甲、乙、丙三地连续
5天的日平均温度（单位:℃）的记录数据（记录数据都是正整数）:
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
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学科网（北京）股份有限公司则肯定进入夏季的地区有（ ）
A. 一个都没有 B. 甲地
C. 乙地 D. 丙地
【答案】BD
【解析】
【分析】根据统计数据的中位数、众数、平均数和方差的数字特征，逐个判定，即可求解.
【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，
根据数据得出，家底连续5天的日平均温度的记录数据可能为 ，
其连续5天的日平均温度均不低于22，可确定甲地进行夏季；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24，
当5数据为 ，可知其连续5天的日温度有低于22，所以不确定；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，
若有低于22，假设取21，此时方程就超出了 ，可知其连续5天的日温度均不低于22，
如： ，这组数据的均值为26，方差为 ，但是进一步扩大方差就会超过 ，所以可
判定丙地进入夏季.
故选：BD.
10. 点 是直线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线， 为切点，则（ ）
A. 存在点 ，使得
B. 弦长 的最小值为
C. 点 在以 为直径的圆上
D. 线段 经过一个定点
【答案】BCD
【解析】
【 分 析 】 对 于 A ， 设 ， 根 据 得 ， ， 得
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学科网（北京）股份有限公司，可得A不正确；对于B，根据四边形面积关系列式求出 ，
根据 可求出 ，可得B正确；对于C，用以 为直径的圆的方程和圆
相减得公共弦所在直线方程，可得定点坐标，可得D正确.
【详解】对于A，设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
故不存在点 ，使得 ，故A不正确；
对于B，根据圆的对称性得 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
由A知， ，所以 .
故B正确；
对于C，因为 ， ，所以 既是直角三角形 的外接圆的直径，又是直角三角形
的外接圆的直径，所以点 在以 为直径的圆上，故C正确；
对于D，设 ，则 的中点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以以 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
因为 是圆 与圆 的公共弦，
所以直线 的方程为： ，当 时， ，
所以直线 ： 过定点 ，因为定点 在圆 内，所以线段 经过定
点 ，故D正确.
故选：BCD
11. 如图，直四棱柱 的底面是梯形， ， ， ，
，P是棱 的中点．Q是棱 上一动点（不包含端点），则（ ）
A. 与平面BPQ有可能平行
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学科网（北京）股份有限公司B. 与平面BPQ有可能平行
C. 三角形BPQ周长的最小值为
D. 三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，当Q为 的中点时，可证得四边形 为平行四边形，则 与 互相平分于
点 ，连接 可证得 ∥ ，再由线面平行的判定定理可得结论，对于 B，由题意可得 与平
面BPQ相交，对于C，把 沿 展开与 在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，
有最小值，从而可求得结果，对于D， ， 为定值，可得结论.
【详解】对于A，连接 ，当Q为 的中点时， ，
因为 ， ∥ ， ∥ ， ，
所以 ， ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 与 互相平分，设 与 交于点 ，连接 ，
因为P是棱 的中点，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面BPQ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，又 平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，所以 与平面BPQ只能相交，故
B错；
对于C， ，把 沿 展开与 在同一平面（如图），
则当B，P，Q共线时， 有最小值，
在直角梯形 中， ， ， ， ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以三角形BPQ周长的最小值为 ，故C正确；
对于D， ，因 为定值，因为 ∥ ， ∥ ，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以 为定值．所以D正确，
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定和棱锥体的求法，对于选项A解题的关键是证明四边形
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学科网（北京）股份有限公司为平行四边形，从而可找到 的中点，再利用三角形中位线定理可得线线平行，考查空间想象
能力，属于较难题.
12. 设正整数 ，其中 .
记 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 的表达式， 的表达式，结合等比数列的前 项和公式确定正确答案.
【详解】 ，所以 ，所以A选项正确.
正整数 ，
则
，
所以 ，所以B选项正确.
，
所以 ，所以C选项错误.
，是首项为 ，公比为 的数列的前 项和，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结
论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.
归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中 的系数为______.（用数字作答）
【答案】25
【解析】
【分析】把 按照二项式定理展开，可得展开式中 的系数．
【详解】 的展开式中 的系数为 ，
故答案为：25
14. 写出一个同时具有下列两个性质的函数 ：______.
① 的值域为 ；②当 时， .
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可知函数 满足在 上单调递增且值域为 ，考虑反比例函数类型
即可得到结果.
【详解】函数 同时满足值域为 且当 时， ，
考虑 ，则 且 ，再将函数向上平移两个单位可得
，则 ，且 满足题意.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
15. 双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，右支上有一点M，满足
， 的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式 ，
，从而解出 、 ，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与 ， ， ， 轴切于点S，T，N，P
则四边形 、 都为正方形，
设内切圆半径为 ，由圆的切线性质，
则 ，则 ，①
又因为 ，②
且双曲线定义得， ，③
由①、②、③得 ，
所以 ，
从而 ，
由勾股定理， ，所以 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
16. 已知正四面体 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 表面
上任意一点，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设正四面体外接球球心为O，把 用 表示并计算数量积后可得．
【详解】设正四面体外接球球心为O，
正四面体 的外接球半径为3，
设正四面体 内切球半径为 ，一个面的面积为 ，高为 ，则 ，所以
，显然 ，所以 ，即 ．
．
故答案为： ．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在 中，内角 的对边分别为 ，且
（1）求B.
（2）是否存在 ，使得 ，若存在，求 若不存在，说明理由.
【答案】（1） 或 ；（2）当 时，存在 ，使得 当 时，不存在
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学科网（北京）股份有限公司，使得
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得 ，进而求得 .
（2）利用正弦定理化简已知条件，对 进行分类讨论，进而求得 .
【详解】（1）因 为 ，
所以 ，
可得 或 ，
即 或 ，
所以 ，
又因为 ，所以 或 .
（2）因为 ，所以 .
当 时， ，
可得 ，
所以 ，
又因为 ，所以
当 时， ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，无解，
综上，当 时，存在 ，使得
当 时，不存在 ，使得
18. 已知数列 满足 ，且 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，求满足条件 的最大整数n.
【答案】（1）证明见解析
（2）99
【解析】
【分析】（1）由已知得 再由等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出 ，再由等比数列的求和公式可得 ，令
，根据 的单调性可得答案.
【小问1详解】
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司是以 为首项， 为公比的等比数列；
【小问2详解】
由（1）： ， ，
，
令 ，
因为 在 单调递增，
所以 在 单调递增，
单调递增， ，
可得 ，所以满足条件的最大整数为 .
19. 如图所示，等腰梯形 中， ， ， ，E为 中点， 与
交于点O，将 沿 折起，使点D到达点P的位置（ 平面 ）.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，试判断线段 上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 与平面 所成角的
正弦值为 ，若存在，求三棱锥 的体积，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明详见解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）通过证明 平面 来证得平面 平面 .
（2）判断出 平面 ，由此建立空间直角坐标系，利用直线 与平面 所成角的正弦值确
定 点的坐标，进而求得三棱锥 的体积.
【小问1详解】
在原图中，连接 ，由于 ，
所以四边形 是平行四边形，由于 ，所以四边形 是菱形，
所以 ，
由于 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司在反着过程中， 保持不变，
即 保持不变，
由于 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，
所以平面 平面 .
【小问2详解】
由上述分析可知，在原图中， ，所以 ，
所以 ，
折叠后，若 ，则 ，
所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
所以 两两相互垂直，
由此以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
， ，
所以 ，即 是 的中点.
由于 轴与平面 垂直，所以 到平面 的距离为 ，
所以 .
20. 已知函数 .
（1）若 在 上是减函数，求实数 的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数单调性可将问题转化为 在 上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为
，利用导数求得 的最大值，进而得到结果；
（2）将问题转化为 的证明；利用 单调递增和零点存在定理可确定存在
，使得 ，从而得到 ；根据导函数正负可确定 单调性，进而得到
，化简后，结合基本不等式可证得结论.
【详解】由函数解析式可知， 定义域为 .
（1） ，
在 上是减函数， 在 上恒成立，即 恒成立
令 ，则 ， 在 上单调递增，
， ，解得： ，
的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知： ，则 ，
在 上单调递增.
，当 时， ， ，此时 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，即 ，
.
当 时， ；当 时， ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
（当
且仅当 ，即 时取等号）.
当 时， .
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数
证明不等式的问题；根据单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为恒成立问题进行求解；证明不等
式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题.
21. 新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这四个选项，四个选项中仅有两个
或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过
程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有
道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 ，并且规定若第
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学科网（北京）股份有限公司题正确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；若第
题正确选项为三个，则第 题正确选项为三个的概率为 .
（1）求第n题正确选项为两个的概率；
（2）请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.
【答案】（1）
（2）第二题选一个选项更能获得较高分
【解析】
【分析】（1）根据题意可得到第n题正确选项为两个的概率与第 题正确选项为两个的概率之间的关
系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可.
（2）根据题中两种选择，结合数学期望公式、（1）中结论进行求解判断即可.
【小问1详解】
设第n题正确选项为两个的概率为 ，则 ，
当 时，有 ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， 显然适合，
故 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
设选一个选项的得分为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
因此 ，
设选二个选项的得分为 ， ，
，
，
所以 ，
因为 ，
所以第二题选一个选项更能获得较高分.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过概率公式得到 之间的关系，通过适当变形，构造等比数列，
利用等比数列的通项公式求出通项公式.
22. 已知椭圆 过 和 两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ，
分别交椭圆于两点P和Q.
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学科网（北京）股份有限公司（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）6
【解析】
【分析】（1）将两点代入椭圆中，解方程组即可求得椭圆C 的方程；
（2）（i）分别将直线 与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 两点坐标，由数量积
可得 为钝角，得出证明；
（ii）由（i）可写出四边形 的面积为 ，再利用基本不等式以及函数单调性即可
得出面积的最大值为6.
【小问1详解】
依题意将 和 两点代入椭圆 可得
，解得 ；
所以椭圆方程为
【小问2详解】
（i）易知 ，由椭圆对称性可知，不妨设 ， ；
根据题意可知直线 斜率均存在，且 ；
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为 ， 的方程为 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
则 ， ；
所以 ；
即可知 为钝角，
所以点B在以 为直径的圆内；
（ii）易知四边形 的面积为
，
设 ，则 ，当且仅当 时等号成立；
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学科网（北京）股份有限公司由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
由对称性可知，即当点 的坐标为 或 时，
四边形 的面积最大，最大值为6.
【点睛】关键点点睛：证明点和圆的位置关系时，可利用向量数量积的正负判断与直径所对圆周角的大小
即可得出结论；在求解四边形面积的最值时，首先可用一个变量表示出面积的表达式，再根据函数单调性
或基本不等式求出最值即可.
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学科网（北京）股份有限公司
