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2023~2024 学年度高三元月调考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 是关于 的方程 （p， ）的一个根，则 （ ）
A. 0 B. C. 2 D. 1
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 函数 在区间 上递增，则 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
5. 若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场
上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐
顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值
均为 ，底面矩形的长与宽之比为 ，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段 的中点的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在 中， ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 正方体 的内切球的半径为
B. 两条异面直线 和 所成的角为
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学科网（北京）股份有限公司C. 直线BC与平面 所成的角等于
D. 点D到面 的距离为
10. 已知圆 和圆 ，则（ ）
A. 两圆可能无公共点
B. 若两圆相切，则
C. 直线 可能为两圆的公切线
D. 当 时，若 为两圆的公切线，则 或
11. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A. A，B相互独立 B. C. D.
12. 已知函数 ， ， ，则（ ）
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 存在某个 ，使得函数 与 零点个数不相同
C. 存在 ，使得 与 有相同的零点
D. 若函数 有两个零点 ， 有两个零点 ， ，一定有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知如下的两组数据：
第一组：10、11、12、15、14、13
第二组：12、14、13、15、a、16
若两组数据的方差相等，则实数 的值为_________.
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学科网（北京）股份有限公司14. 若函数 ，在 上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的
取值范围是______________．
15. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱
分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧
棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为 的正四棱柱构成，
如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_______．
16. 如图，椭圆 ： 和 ： 有相同 焦点 ， ，离心率分别
的
为 ， ， 为椭圆 的上顶点， ， ， ， 三点共线且垂足 在椭圆 上，则 的最
大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 ；
（2） 为 边上一点， ，且 ，求 ．
18. 如图，已知四边形 为平行四边形， 为 的中点， ， .将 沿
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学科网（北京）股份有限公司折起，使点 到达点 的位置，使平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
20. 若数列 满足：存在等比数列 ，使得集合 元素个数不大于 ，则称
数列 具有 性质.如数列 ，存在等比数列 ，使得集合 ，则
数列 具有 性质.若数列 满足 ， ，记数列 的前 项
和为 .证明：
（1）数列 为等比数列；
（2）数列 具有 性质.
21. 已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，
并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设 次操作后盒子中所剩黑球的个数为 .
（1）当 时，求 的分布列；
（2）当 时，求 的分布列和数学期望 .
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学科网（北京）股份有限公司22. 已知抛物线 的焦点为F，M为抛物线 上一点，且在第一象限内.过 作
抛物线 的两条切线 ， ，A，B是切点；射线 交抛物线 于 .
（1）求直线 的方程（用M点横坐标 表示）；
（2）求四边形 面积的最小值.
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