文档内容
新高二开学摸底考试卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教B版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A B D B B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BD AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．
14
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知复数 ，其中i为虚数单位， ．
(1)若z为纯虚数，求 ；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由已知求出 ，再由模的意义求出结果.
（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.
【详解】（1）由z为纯虚数，得 ，解得 ，则 ，所以 .
（2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
16．（本题满分15分）已知函数
从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在且唯一.
条件①： ；
条件②： 在区间 单调，且 ；
条件③：函数 相邻两个零点间的距离为 .
选__________作为条件
(1)求 值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值及对应的 的值.
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
【分析】先化简 ，（1）若选条件，分别求解 ，舍掉不满足 存在且唯一，逐一检验即可得
解，（2）由（1）得到 解析式，求出相位范围即可求解.
【详解】（1） ，
若选条件①， , ，即 ，无解，不合题意；
若选条件②，因为 ，
所以 且
所以 过 图象的最高点， 过 图象的最低点，
又因为 在区间 单调，所以
解得 ，当 时， ，
当 时， ，所以 在区间 不单调，不符合题意，所以 ；
若选条件③， 因为 相邻两个零点间的距离为 ，
所以 ，即 ，又 ，解得 ，不合题意；
综上， ；
（2）由（1）知 ，
当 时， ，
所以，当 时， ；
当 时， .
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，即可得到 ，根据面面垂直的性质得到 平
面 ，从而证明 平面 ，即可得到 ，再由 ，即可得证；
（2）由（1）可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，由（1）知四边形 为矩形，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
取平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 .
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形 的形状，它
的下底 是半圆的直径，上底 的端点在圆周上．记 ．（提示：直径所对的圆周角是直角，
即图中 ）(1)用 表示 的长；
(2)若 ，求如图中阴影部分的面积 ；
(3)记梯形 的周长为 ，将 表示成 的函数，并求出 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ；
【分析】（1）连接 ，过 作 ，由几何关系可得 ，由三角函数可表示出 的
长；
（2）图中阴影部分的面积 等于 和扇形 的面积，分别求出即可得出答案.
（3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出 ，利用二倍角的余弦公式变
形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值.
【详解】（1）连接 ，过 作 ，则 ，
所以 .
（2） ．
，
，
所以 ，
（3） ，
则
，
令 ，则 ，则 ，当 时， .
19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），
我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记
；若点M在线段PQ外，记 .
(1)若M在正方体 的棱AB的延长线上，且 ，由 对AB施以视角运算，
求 的值；
(2)若M在正方体 的棱AB上，且 ，由 对AB施以视角运算，得到
，求 的值；
(3)若 是 边BC的 等分点，由A对BC施以视角运算，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得 ，即可代入公式
求解，
（2）根据 的计算公式，代入即可求解，
（3）由正弦定理可得 ，即可结合 对 施以视角运算，即可求证.
【详解】（1）如图1，
因为 ，所以 .
由正方体的定义可知 ，则 ，
故 ，.
因为 ，
所以 ，
则 .
（2）如图2，设 ，
则 .
因为 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故 .
（3）如图3，因为 是 的 等分点，
所以 .
在 中，由正弦定理可得 ，
则 .
在 中，同理可得 .
因为 ，所以 ，
则 .
同理可得 .
故
【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过
程中；
2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素.
