文档内容
新高二开学摸底考试卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版B版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设 为虚数单位，已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 满足 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．斜三棱柱 中，设 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．如图，从一个半径为 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成
一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）A． B．
C． D．
6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定
义 为角 的正矢，记作 ；定义 为角 的余矢，记作 ，则下列命题正确的
是（ ）
A．函数 的对称中心为
B．若 ，则 的最大值为
C．若 ， 且 ，则圆心角为 ，半径为3的扇形的面积
为
D．若 ，则
7．将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． 在 上的投影向量的坐标为10．已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．在正四棱柱 中， ， ，则（ ）
A．正四棱柱 的侧面积为24
B． 与平面 所成角的正切值为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．三棱锥 内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为
13．若关于x的方程 无解，则实数k的取值范围是 .
14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，
河流的宽度 约等于 m. （参考数据： ， ， ，
， ）四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知复数 ，其中i为虚数单位， ．
(1)若z为纯虚数，求 ；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16．（本题满分15分）已知函数
从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在且唯一.
条件①： ；
条件②： 在区间 单调，且 ；
条件③：函数 相邻两个零点间的距离为 .
选__________作为条件
(1)求 值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值及对应的 的值.17．（本题满分15分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形 的形状，它
的下底 是半圆的直径，上底 的端点在圆周上．记 ．（提示：直径所对的圆周角是直角，
即图中 ）
(1)用 表示 的长；
(2)若 ，求如图中阴影部分的面积 ；
(3)记梯形 的周长为 ，将 表示成 的函数，并求出 的最大值．19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），
我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记
；若点M在线段PQ外，记 .
(1)若M在正方体 的棱AB的延长线上，且 ，由 对AB施以视角运算，
求 的值；
(2)若M在正方体 的棱AB上，且 ，由 对AB施以视角运算，得到
，求 的值；
(3)若 是 边BC的 等分点，由A对BC施以视角运算，求
的值.
