文档内容
新高二开学摸底考试卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】计算得到 ，再根据定义判断即可.
【详解】由 知 ，故 在复平面内对应 ，在第三象限.
故选：C.
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如
图所示，其中外弧长与内弧长之和为 ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 ，且该扇环的
圆心角的弧度数为 ，则该扇环的外弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设该扇环的内弧的半径为 ，根据弧长公式计算可得.
【详解】设该扇环的内弧的半径为 ，则外弧的半径为 ，圆心角 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以该扇环的外弧长 .故选：C
3．在 中， 是 边上靠近点 的三等分点， 是 的中点，若 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将 用 ，即可求出 ，从而可求出结果.
【详解】
因为D是BC边上靠近点 的三等分点，E是 的中点，
所以 ，
所以 ，
因为 向量不共线，所以 ，
所以 .
故选：C.
4．已知直线l： 与圆C： 有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆恒有公共点，由 求解.
【详解】圆C： ，知 ，
圆心到直线 的距离为： ，
解得： .
故选：A
5．若函数 ，则函数 的单调递增区间为（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先将函数解析式化简整理，得到 ，根据
，即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
则函数 的单调递增区间为 ， ，
故选：C
6．在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连接 ，设正方体 棱长为 ，则 为异面直线
与 所成角或其补角，利用余弦定理求解.
【详解】
取 的中点 ，连接 ，设正方体 棱长为 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，则 为异面直线 与 所成角或其补角，由
所以 .
故选：B
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，可以得到函数 的图象，若 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据图象的变换求出 ，再结合三角函数性质求解即可.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象，即
因为 ，所以 ，
因为 在 上无零点，所以 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ， .
故选：A
8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 的中点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先求出 ， ， ，设 ，利用正弦定理得到 ，
，再由余弦定理求出 ，最后利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 且 ， ，
所以 ， ，则 ，
设 ，
在 和 中，由正弦定理可得 ， ，
所以 ， ，
在 中由余弦定理 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是用 的式子表示 、 ，将多变量化为单变量问题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）．
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为3
C． 的图象关于点 对称 D． 的图象关于直线 对称
【答案】ACD【分析】先利用两角和差公式得到 ，即可根据三角函数图象性质逐项判断.
【详解】 ，
则 的最小正周期为 ，故A正确；
的最大值为 ，故B错误；
的图象关于点 对称，故C正确；
的图象关于直线 对称．故D正确，
故选：ACD.
10．已知圆 ，则（ ）
A．圆 的圆心坐标为
B．圆 的周长为
C．圆 与圆 外切
D．圆 截 轴所得的弦长为3
【答案】BC
【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为
0的点的纵坐标即可判断.
【详解】对于AB，圆 的方程可化为 ，
可得圆心的坐标为 ，半径为 ，则周长为 ，可知 错误， 正确；
对于 ，由 ， 为两圆半径之和，可知 正确；
对于 ，令 ，可得 ，解得 或3，
可得圆 截 轴所得的弦长为4，可知 错误.
故选：BC.
11．正方体 中， 分别为 的中点， 为侧面 内一点，则（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．线段 上不存在点 ，使 与 所成角为30°
C．当 ∥平面 时， 的最大值为
D．当点 为侧面 中心时，平面 截正方体所得的截面为五边形【答案】BCD
【分析】对于A，假设存在 平面 ，利用反证法分析判断，对于B，由 ∥ ，得
是异面直线 与 所成角，然后在直角 中求解判断，对于C，取 中点 中
点 ，可证得平面 ∥平面 ，则 平面 ，所以 ，从而可求出
的最大值，对于D，根据平面的性质作出截面判断.
【详解】设正方体的棱长为2
对于A，若存在 平面 ，因为 平面 ，则平面 平面 ，矛盾，
故不存在点 使 平面 ，故A错误；
对于B，因为 ∥ ，则 是异面直线 与 所成角，
因为 平面 平面 ， 为直角三角形， ，
，
则 ，所以不存在点 使 与 所成角为 ，故B正确；
对于C，取 中点 中点 ，则 ∥ ， 平面 平面 ，则 ∥平面 ，因为 ∥ 平面 平面 ，
则 ∥平面 ， ，所以平面 ∥平面 ，
因为 ∥ 四点共面，平面 ∥平面 ，
所以 ∥平面 时， 平面 ，
平面 平面 ，
在 中， 边上的高 满足 ，则 ， ，
故C正确；
对于D，过 作 ∥ 交 于 ，过 作 ∥ 交 于 ， ∥ 且
，延长 相交于 平面 ， 为 中点，且 为 中点，所以
∥ 且 ，
即 三点共线且 ，
连接 并延长，与 相交于点 ，与 的延长线相交于点 ， ∥ ，所
以 ，
连接 与 相交于点 ∥ ，所以 ，
连接 与 相交于点 ，由对称性可得 ，连接 ，则平面 截正方体所得的截面图形为五边形 ，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本小题以正方体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关
系等基础知识；解题的关键是结合正方体的性质求解，考查空间想象能力、推理论证能力等；导向对
直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性，属于较难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z的模为2，则 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】利用复数模的几何意义，求出 的最大值.
【详解】复数z的模为2，表示复数 在复平面内对应的点 到原点 的距离为2，
则点 的轨迹是以原点 为圆心，2为半径的圆，
而 是圆 上的点到点 的距离，
所以 .
故答案为：3
13．如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则 的最大值为
.
【答案】
【分析】根据向量性质得出 的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可.
【详解】因为 ,所以 ,
因为 在一条直线上，所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
14．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：
“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里
拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得 的点 即为
费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.已知 ， ， 分别是
三个内角 ， ， 的对边，且 ，若点 为 的费马点， ，
则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，结论可得 ，
设 ，推出 ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出
，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为 ，则 ，整理得 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，且 ，则
可得 ，可知 ，
故由点 为 的费马点得 ，
设 ，
由 得 ；由余弦定理得 ，
，
，
因为 ，
即 ，可得 ，
且 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又因为 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，关键在于设
，推出 ，结合费马点含义，利用余弦定理推出
，然后利用基本不等式即可求解.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知 ，复数 .
(1)若 为纯虚数，求 ；
(2)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求整数 的值.
【答案】(1) ；
(2) 和
【分析】（1）由 为纯虚数，求出 的值，从而得到复数 ，求解 模长即可；
（2） 在复平面内对应的点位于第二象限，求出 的取值范围，进而得到整数 的值即可.
【详解】（1）由于复数 为纯虚数，
所以 ，解得 ，此时 ，（2）若 在复平面内对应的点位于第二象限，
则 ，解得 ，
故整数 的值有 .
16．（本题满分15分）如图，在梯形 中， ， 分别为 的中点，
是线段 上的动点．
(1)若 ，求证： 三点共线；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；
（2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示 ，得到关于 的一元二次函数，
再利用一元二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ，
所以 三点共线；
（2）在梯形 中， ，
易得 ，
设 ，
解法一：所以 ，所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：因为 ，
所以 ，
，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，所以 最小值为 ；
解法三：以 为坐标原点建立如图所示坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
由于 ，因此 ，
解得， ，
因此 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
17．（本题满分15分）如图，在正方形 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 、
分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.
(1)求证： ；
(2)点M是PD上一点，若直线MF与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，则由线面垂直的判定定理可得 平面 ，则
，再由正方形性质可得 ，则 平面 ，从而可证得 ；
（2）由（1）可得 为直线MF与平面 所成角，则 ，令 ，
然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在 中利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）证明：在正方形 中，连接 ，则 ，
因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以 ∥ ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）解：由（1） 平面 ，所以 为直线MF与平面 所成角，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 ，连接 ，
由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 为二面角 的平面角，
因为 为 的中点， ，所以 为等腰三角形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
， ，
在 中，由余弦定理得
，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题
的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》
18．（本题满分17分）已知函数 .
请在下面的三个条件中任选两个解答问题.
①函数 的图象过点 ；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 是函数 的零点，求 的值组成的集合；(3)当 时，是否存在 满足不等式 ？若存在，求出 的范围；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)
(3)存在； .
【分析】（1）选择①②，将点 代入，结合 可求 ，由 的图象关于点
对称可得 ，结合 ，可得 ，即可解出函数解析式；选择①③：将点
代入，结合 可求 ，由函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，可得
，利用周期公式得 ，即可求解函数解析式；选择②③：由函数 相邻对称轴与对称中
心之间距离为1，可得 ，结合周期公式得： ，由图象关于点 对称，得
， ，进而求解出函数解析式；
（2）若 是函数 的零点，则根据不同解析式求解可得 的值，解得 ，进而可得
可能的取值，即可求解；
（3）由 ，得 ，根据函数自变量的范围和利用偶函数的性质原不等式可化为
关于 的不等式，即可求解.
【详解】（1）选择①②：因为函数 的图象过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
因为函数 的图象关于点 对称，则 ，
可得 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
选择①③：因为函数 的图象过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，
所以 ，所以 ，解得： ，
所以 ，
选择②③：
函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，
所以 ，所以 ，解得： ，
因为函数 的图象关于点 对称，则 ，
可得 ，所以
所以 .
（2）若 是函数 的零点，则
可得 ，所以 或
解得： 或 ，
若 是函数 的零点，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的值组成的集合为
（3）当 时， ，令 ，则 ，
令 ，则
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得： .
所以实数 的范围是： .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出 的解析式，再利用余弦函数的零
点可求 可能的取值，求 的范围的关键是构造偶函数，利用单调性，解关于 的不等式.
19．（本题满分17分）定义: 为实数 对
的“正弦方差”.
(1)若 ，则实数 对 的“正弦方差” 的值是否是与 无关的定值，并证明
你的结论
(2)若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关
的定值，求 值.
【答案】(1)是与 无关的定值，证明见解析；
(2) 或 .
【分析】（1）根据 的定义，结合三角恒等变换，整理化简，即可求得结果 为定值；
（2）根据 的定义，结合三角恒等变换，根据其为定值，求得 ，再结合角度范围，
即可求得结果.
【详解】（1）“正弦方差” 的值是与 无关的定值 ；
证明：若 ，则
.
（2）若 ，
根据题意，
因为 的值是与 无关的定值，故可得 ，
因为 ，故 ，
由 可知， 或 ，即 或 ，
若 ，则 ， ，故舍去；
对 ， 两边平方后相加可得：
，即 ；因为 ，故 或 或 ，
即 或 或 ；
综上所述，当 ，解得 ，不满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
故 或 .
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键一是找到 的关系 ，二是根据角度
范围，讨论 可能得取值.
