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新高二开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B B C C A A C D C
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10、 11、 12、 30 13、 14、 15、
四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）
【详解】（1）补全的 列联表如下：
不喜爱 喜爱 合计
男性 30 90 120
女性 25 55 80
合计 55 145 200
根据表中数据，计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此我们可以认为 成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．（6分）
（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
② 的可能取值为 ，
，
，（10分）
的分布列为；
X 2 3 4
P数学期望 .（13分）
17．（15分）
【详解】（1）函数 的定义域为R.
导函数 .（3分）
所以 ， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .（7分）
（2）令 ，解得： 或 .列表得：
x 1 3
+ 2 +
单调递
单调递增 极大值 极小值 单调递增
减
所以函数 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ；
的极大值为 ，极小值为 .（15分）
18．（15分）
【详解】（1）设事件 为甲恰好答对一道题，事件 为乙恰好答对两道题
，
，
，
所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为 ．（7分）
（2）设事件 为“冲锋队”最终得6分，事件 为“冲锋队”最终得5分，
，
，
，
所以“冲锋队”最终得分不超过4分的概率为 ．（15分）19．（16分）
【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， ，
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则 ，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 ；
（2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，
则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，
或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，
甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为 ；
（3）X的可能取值为0，2，4，6，8，
，
， ，
分布列如下表：
X 0 2 4 6 8
P
数学期望 ，
.
20．（16分）
【详解】（1）因为 ，则 ，
由 可得 ，解得 .（3分）
（2）函数 的定义域为 ，
且 ，（5分）
当 时，令 ，可得 或 ，①当 ，即 时，
对任意的 ， ， 的单调递增区间为 ．（6分）
②当 ，即 时，
，得 或 ， ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 （7分）
③当 ，即 时
，得 或 ； ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，（8分）
综上所述， 时，函数 的单调增区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .（9分）
（3）由 ，可得 ，即 ，其中 ，
令 ， ，（10分）
若存在 ，不等式 成立，则 ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以函数 在端点 或 处取得最小值．（14分）
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，
因此，实数 的取值范围是 ．（16分）
