文档内容
新高二开学摸底考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
范围：函数导数、计数原理、统计概率
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（
）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
2．设随机变量 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
3．2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员
引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ）
A．102种 B．105种 C．210种 D．288种
4．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要
贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若 的二项式展开式中 的系数为10，则 （ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．±2
7．已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则对于 的描述正确的是（ ）A．在区间 上单调递减
B．当 时取得最大值
C．在区间 上单调递减
D．当 时取得最小值
8．下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程 中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 最小的原理；
③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量 的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越
小；
④已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④
9．已知偶函数 ，则下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② 在 上是单调函数；
③ 的最小值为 ；④方程 有两个不相等的实数根
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．若函数 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是 ．
11．已知 ，则 ， .
12．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个.
13．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出
行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班
不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天
上班小明迟到的概率是 .
14．已知 ， 的取值如表：0 1 3 4
4.3 4.8 6.7
若 ， 具有线性相关关系，且回归方程为 ，则 ．
15．已知函数 ，若 ， ，则实数k的最大值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）
“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三
来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，
规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
不喜爱 喜爱 合计
男性 90 120
女性 25
合计 200
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽
取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是 ，且每道题正确完成与否
互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量 表示戏迷乙正确完成题的个数，求 的分布列及数学期望．
17．（15分）
已知函数 .(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值.
18．（15分）
为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加
比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题
给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道
题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的
概率为 ，答对“应急救援”题库中题目的概率为 ．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为 ，答对
“应急救援”题库中题目的概率为 ，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；
(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．
19．（16分）
本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不
超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人
相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时
以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值 、方差
20．（16分）
已知函数 ， ，其中 ．
(1)若 ，求实数a的值
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若存在 使得不等式 成立，求实数a的取值范围．
