文档内容
新高二开学摸底考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利
机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制
成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（ ）
A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030
4．已知四边形 中， ，并且 ，则四边形 是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形
5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，
事件 “两枚硬币都正面朝上”，事件 “至少一枚硬币反面朝上”则（ ）
A． 与 独立 B． 与 互斥 C． D．
6．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形状一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
7．已知两个平面 、 ，在下列条件下，可以判定平面 与平面 平行的是（ ）．A． 、 都垂直于一个平面γ
B．平面 内有无数条直线与平面 平行
C．l、m是 内两条直线，且 ∥ ， ∥
D．l、m是两条异面直线，且 ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥
8．已知正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 为棱 上一点， 则三棱锥
的体积为（ ）
A．3 B． C．1 D．
9．已知三棱锥 的底面ABC是边长为1的等边三角形， 平面ABC且 ，一只蚂蚁从
的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．在直角梯形 中， ， ， ，点 为梯形 四条边上
的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数 ．
12．已知向量 ， ，若 ，则 ，若 ，则 ．
13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是 ，乙解出这道题目的概率是 ，这道题
被解出（至少有一人解出来）的概率是 .
14．在 中， ，满足此条件 有两解，则 边长度的取值范围为 .
15．如图，正方体的 棱长为 ， ， ， ， 分别是所在棱上的动点，且满足
，则以下四个结论正确有
①． ， ， ， 四点一定共面②．若四边形 为矩形，则
③．若四边形 为菱形，则 ， 一定为所在棱的中点
④．若四边形 为菱形，则四边形 周长的取值范围为
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知向量 ．
（1）求 ；
（2）求 与 夹角的大小；
（3）求 ．
17．（13分）如图，在正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 平面BDE．
18．（14分）在 中，
(1)求 值；(2)求角 和 的面积.
19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化
学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高
一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门
选考情况
物理 化学 生物 历史 地理 政治
高一选科人
80 70 35 20 35 60
数
高二选科人
60 45 55 40 40 60
数
高三选科人
50 40 60 40 40 70
数
(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5
人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、
高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为 ，
当 取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）
20．（15分）在△ 中，角 所对的边为 ，△ 的面积为S，且 ．(1)求角 ；
(2)若 ，试判断△ 的形状，并说明理由．
21．（15分）如图，在三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线 与平面 所成角为 时，
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的正弦值.
条件①： ；条件②： .注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
