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三明一中 2023-2024 学年高三月考二
数学学科试卷
（总分150分，时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
2. 已知两个向量 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，
故 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ， .
故选：A.
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项为 ，进而求得展开式的常数项，得到答案.
【详解】由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，即二项式 展开式 常数项为 .
的
故选：C.
4. 已知l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ，且 与 所成的角和 与 所成的角相等，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.
【详解】若 ， ， ，则 与 有可能平行，故A错误；
若 ， ，则 可能在 内，故B错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，且 与 所成的角和 与 所成的角相等，则 与 有可能相交，故D错误.
故选：C.
5. 2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不
排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400
【答案】B
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.
【详解】甲与乙相邻有 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有 种不同
的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有 种不同的排法，
所以共有 种不同的排法．
故选：B.
6. 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿
出的是白球”为事件 ，“第2次拿出的是白球”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.
【详解】由已知条件得
由条件概率公式可得
.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，运用双曲线的定义和条件可
得 ， ， ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所
求值．
【详解】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ， ，
由 可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即有 ，化简可得 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：C．
8. 已知函数 ，若实数 满足 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先对 进行变形，构造函数 ， ，推得 其对称中心为
，且 上在单调递增，再结合对称性和单调性将 转化为 ,再利用
基本不等式求解 的最大值.
【详解】由 ，
记 ， ，
则 ， ，
且 单调递增， 单调递增，
则 与 都关于 中心对称且为 上的增函数,
所以 ，
故 关于 中心对称且为 上增函数，
则由 ，得 ，可得 ，
记 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，当且仅当 ，即 取等号，
故 的最大值为 .
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得 的对称中心，从而得到 ， 的关系，进而利用基本不
等式求解最值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方
图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为
75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在 内的学生人数为225
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据频率之和为1可得 ，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断
即可.
【详解】由 ，可得 ，故A正确；
前三个矩形的面积和为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以这 名学生的竞赛成绩的第 百分位数为 ，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这 名学生的竞赛成绩的众数为 ，故C 错误；
总体中成绩落在 内的学生人数为 ，故D正确.
故选：AD
10. 已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于点 两点（点
在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 为 中点
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 .
抛物线 的准线 交 轴于点 ，则 ，
由于直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，
轴， ，由抛物线的定义可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 为等边三角形，
，则 ，
设 ，，由 ，则 ，可得 ，
所以 ，
,解得
所以 ,所以B正确.
，得 ，
A选项错误；
所以 ,满足 ,所以C正确.
而 ,所以D正确.
故选：BCD
11. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合
颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.
现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行
等量调配， 表示事件“甲调配出红色”； 表示事件“甲调配出绿色”； 表示事件“乙调配出紫色”，
则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 是独立事件 B. 事件 与事件 是互斥事件
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分别求得 ，由 可知A错误；由互斥事件可知B正确；由条
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学科网（北京）股份有限公司件概率公式知C正确；计算 后，可知D正确.
【详解】对于A， 调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出紫色需要一瓶红色和一瓶蓝色颜料，
，又 ， ，
， 事件 与事件 不是独立事件，A错误；
对于B， 调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出绿色需要一瓶黄色和一瓶蓝色颜料，
事件 与事件 不可能同时发生， 事件 与事件 为互斥事件，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，由A知： ， ，D正确.
故选：BCD.
12. 在数列 中， .则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由递推公式得通项公式结合函数的单调性、等比数列的求和公式计算即可一一判定选项.
【详解】由 ，易知 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列.
对于A项，易知 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司累加得 ， ，
当 时， 符合上式，故 ，
若 为奇数，则 ，且 单调递增，
若 为偶数，则 ，且 单调递减，
故 ，即A正确；
对于B项，由上可知 ，
显然 是以1为首项， 为等比的等比数列，即B正确；
对于C、D选项，由A可知 ，故C错误，D正确.
故选：ABD
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 是角 终边上的一点，则 ______．
【答案】 ##0.8
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.
【详解】因为 是角 的终边上一点，
由三角函数定义可得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故答案为： .
14. 已知圆锥的侧面积为 ，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为 ，则该圆锥体积为
___________.
【答案】
【解析】
【分析】设出圆锥的底面半径和母线，列出方程组，求出底面半径和母线，进而求出圆锥的高，得到体积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，
解得 ，所以圆锥的高为 ，故圆锥的体积为 .
故答案为：
15. 设点 是圆： 上的动点，定点 ， ，则 的取值范围为
______．
【答案】
【解析】
【分析】易得 ，求出 的范围即可得解.
【详解】由题意原点 为线段 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以点 在圆外，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
的人 ，即 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一
点，且二面角 的正切值为3，则三棱锥 的外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，由条件可得 是二面角 的平面角，再将三棱锥 补为长方
体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果.
详解】
【
如图，作 ，交 于 ，则 ，
过 作 交 于点 ，连接 .
因为 为直三棱柱，则 平面 ，且 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ， .
可把三棱锥 补成棱长为 ， ， 的长方体，
则三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 记 的角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ；
【小问2详解】
由正弦定理： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
又因 代入得：
为
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为3．
18. 已知函数 ，若函数 的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数 的图
象上．
（1）求函数 的解析式；
（2）若存在 ，使 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用点的对称性代入函数的解析式进行求解.
（2）利用导数研究函数 的单调性，再求出函数 的范围即可得
解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设 为 图象上任意一点，则 是点Q关于原点的对称点，
因为 在 的图象上，所以 ，
即 ，故 .
【小问2详解】
，即 ,
设 ，则 ，
易知 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，可得 ．
故实数m的取值范围是 ．
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边
三角形， ，M在PC上，且PA∥平面MBD.
（1）求证：M是PC的中点.
（2）在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）连接AC交BD于点E，连接ME，根据线面平行的性质定理证明即可得结论；
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学科网（北京）股份有限公司（2）建立空间直角坐标系，设 ，利用空间坐标运算计算平面 与平面FBD的法向量，根据
二面角大小列方程求解 的值即可得结论.
【小问1详解】
连接AC交BD于点E，连接ME，
∵ABCD是矩形，∴E是AC中点.
又PA∥平面MBD，且ME是平面PAC与平面MDB的交线，
∴PA∥ME，∴M是PC的中点.
【小问2详解】
取AD中点O，则OA，OE，OP两两垂直.以O为原点，建立空间直角坐标系（如图），
则 ， ， ， ， ， .
假设存在点F满足要求，设 ，则由 得 ，
设平面MBD的法向量为 ，
∵ ， ，
则 ，即 ，取 ，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
同理，平面FBD 一个法向量为 ，
的
由 ，得 ，解得 ，
故存在F，使二面角F-BD-M为直角，此时 .
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红
黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富
学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两
选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，丙与甲，乙比赛获胜的概率都
为
（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛
的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比
赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，分别求比三局、四局、五局甲获胜的概率，由此能求出甲获胜的概率．
（2）分第一轮乙胜、第一轮甲胜分别计算出概率即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司记比三局甲获胜的概率为 ，则 ，
比四局甲获胜的概率为 ，则 ，
比五局甲获胜的概率为 ，则 ，
则甲获胜的概率为 ，
答：甲胜乙的概率为
【小问2详解】
若第一轮乙胜，则第二轮由乙丙比赛，若第二轮乙胜，则结束比赛，且概率为 ；
若第二轮丙胜，则进入第三轮甲丙比赛，必须甲胜，再进入第四轮由甲乙比赛，并且乙获胜结束比赛，且
概率为 ；
若第一轮甲胜，则第二轮由甲丙比赛，必须丙胜，再进入第三轮由丙乙比赛，必须乙胜，再进入第四轮由
甲乙比赛，乙获胜，结束比赛，且概率为 ，
故乙获得冠军 的概率为 ，
答：乙获得冠军的概率为 .
21. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在
椭圆 上.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于 ， ， 的方程即可求解；
（2）设直线方程（有两种方法，一种设 ；另一种设 ），与椭圆方程联立，结合韦
达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，则 ，
所以 的标准方程为 ，
因为点 在 上，所以 ，
解得 ，从而 ， .
所以 的标准方程为 .
【小问2详解】
易知点 在 的外部，则直线 的斜率存在且不为0，
设 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司联立方程组 消去 得 ，
由 得 ，由根与系数的关系知
所以 ，
化简得 .
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 的面积
令 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 满足 ，所以 的最大值为 .
评分细则：
第二问另解：
（2）设 ， ， ，
联立方程组 ，消去 得 .
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，由根与系数的关系知 .
所以 ，
化简得 .
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 的面积 .
令 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 满足 ，所以 的最大值为 .
22. 设数列 的前 项之积为 ，满足 .
（1）设 ，求数列 的通项公式 ；
（2）设数列 的前 项之和为 ，证明： .
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）数列 的前 项之积为 ，满足 ， 时， ，解得 ．
时， ，变形为 ，结合 ，即可得出 ．
（2）由（1）可得： ，解得 ，当 时， ，可得
， 需 要 证 明 ， 即 证 明 ， 设
， ，令 ， ，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
【小问1详解】
因为数列 的前 项之积为 ，满足 ，
所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，
化为 ，
变形为 ，
又 ，所以 ，即 且 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
【小问2详解】
由（1）可得： ，解得 ，
当 时， ．
，
需要证明 ，
即证明 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，
则函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司
