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2024年秋季高一入学分班考试模拟卷
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D A D C B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
CD BC ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
3√10
12.255 13. 14.6
10
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解答】解：（1）∵(x+1)(x﹣1)﹣2(x+1)＝0，
∴(x+1)(x﹣3)＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，（4分）
解得x1＝﹣1，x2＝3．（5分）
（2）
，（9分）
，
，（11分）
当 ， 时，原式 ．（13分）
16．（15分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，如图：
由题意得，筒车每秒转 ，
盛水简 浮出水面2.5秒后，此时 ，（1分）
，
，
，
，（4分）
在 中， ，
，
答：此时盛水简 距离水面的高度 ．（7分）
（2）如图，因为点 在 上，且 与 相切，所以当 在直线 上时，此时 是切点，
连接 ，所以 ，
在 中， ，
．（10分）
在 中， ，
，（12分）
，
需要的时间为 （秒 ，（14分）
答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒 恰好在直线 上．（15分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 在 方 程 中 ， △
，
方程有两个不相等的实数根．（3分）
（2）由题知： ， ．（5分）
变形为：
．得： ， ．（7分）
（3） ．
， ．（9分）
①不妨设 ， ，
斜边 时，有 ，
即： ，
解得： ， 、 为负，舍去）．
当 时， 是直角三角形；（10分）
② ， ， ，由（1）知
故有两种情况：
当 时， ，
， ，
、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时 的周长为 ；（12分）
当 时， ，
， ，
、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时 的周长为 ．（14分）
综上可知：当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为14；当 时， 是等腰三角形，
此时 的周长为16．（15分）
18．（17分）
【解答】（1）证明：连接 ，如图，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司为 的直径， ，
．
，
，
，（3分）
，
，
，
．
为 的半径，
是 的切线；（6分）
（2）解：① ， ，
，
，
，
．（8分）
，
，（9分）
设 ，则 ．
，
，
，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司， ．（11分）
为 的直径，
，
的面积 ；（12分）
② ，
，
， ，
，
，
．（15分）
， ，
，
，
．（17分）
19．（17分）
【解答】解：（1）对于① ，
当 时， ，当 时， ，
，符合题意；（1分）
对于② ，
当 时， ，当 时， ，
，不符合题意；（2分）
对于③ ，
当 时， ，当 时， ，
，不符合题意；
故答案为：①；（4分）
（2）①二次函数 对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司当 时，则当 时， 随 的增大而增大，
，
，（6分）
当 时，则当 时， 随 的增大而减小，
，
，
综上所述， 或 ；（8分）
②二次函数 为 ，对称轴为直线 ，
当 ， ，
当 时， ，（9分）
当 时， ．
若 ，则 ，解得 （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）， ；
若 ，则 ，解得 ， （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）．
综上所述， 或 ；（12分）
（3）由上可知，二次函数 对称轴为直线 ，
又 ，
，
，
当 时， 随 的增大而增大，（14分）
当 时取得最大值， 时取得最小值，
，
， 为整数，且 ，
，即 的值为5，（16分）
又 ，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 学科网（北京）股份有限公司．（17分）
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