文档内容
新高二开学摸底考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
的．
1．若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
4．已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 ( 为
非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设向量 ，若 ，则 ______________.
13．已知 且 ，则 ．
14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ， ．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（15分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛
的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘
汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.
设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
17．（15分）
设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
18．（17分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
19．（17分）设平面内两个非零向量 的夹角为 ，定义一种运算“ ”： ．试求解下列问题：
(1)已知向量 满足 ，求 的值；
(2)①若 ，用坐标 表示 ；
②在平面直角坐标系中，已知点 ，求 的值；
(3)已知向量 ，求 的最小值．
