文档内容
高 2024 届学业质量调研抽测（第一次）
数学试卷
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定
位置上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 等于（ ）
.
A i B. C. 1 D.
2. 已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A. B. C. D.
的
3. 2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天 热爱.某校
组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样
本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒
提 出 了 适 用 于 所 有 函 数 的 泰 勒 级 数 ， 泰 勒 级 数 用 无 限 连 加 式 来 表 示 一 个 函 数 ， 如 ：
，其中 ．根据该展开式可知，与 的
值最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知某社区居民每周运动总时间为随机变量 （单位：小时），且 ， ．
现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A. 0.642 B. 0.648 C. 0.722 D. 0.748
6. 已知定义在R上的函数 满足： ，且 时， ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，若 为直角三角形，
为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、
“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派 5名志愿者将
这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，
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学科网（北京）股份有限公司若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 50 B. 36 C. 26 D. 14
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
10. 已知函数 ，则 在 有两个不同零点的充分不必要条件可以是（
）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，其准线与 轴交于点 ，经过点 的直线 与抛
物线交于不同两点 ，则下列说法正确的是（ ）
.
A
B. 存在
C. 不存在以 为直径且经过焦点 的圆
D. 当 的面积为 时，直线 的倾斜角为 或
12. 如图，在边长为1的正方体 中， 是 的中点， 是线段 上的一点，则下
列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 点与 点重合时，直线 平面
B. 当点 移动时，点 到平面 的距离为定值
C. 当 点与 点重合时，平面 与平面 夹角的正弦值为
D. 当 点为线段 中点时，平面 截正方体 所得截面面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 满足 ，则 ________．
14. 已知 的部分图象如图所示，当 时，
的最大值为________．
15. 已知点 为椭圆 的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为 的直线交椭圆于
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学科网（北京）股份有限公司两点， ，则该椭圆的离心率为________．
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，记 ，则 ________；
若数列 满足 ，则 的最小值是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在梯形 中， 为钝角， ， ．
（1）求 ；
（2）设点 为 的中点，求 的长．
18. 已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
19. 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实
现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近 6年产值
情况，数据如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
编号x 1 2 3 4 5 6
产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80
（1）若用模型 拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到
0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油
汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变
量X的分布列与数学期望，
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学科网（北京）股份有限公司参考数据： ，其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率截距的最小二乘估
计分别为 ．
20. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， 四 边 形 中 ， ，
．
（1）若 为 的中点，求证：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成的角的余弦值为 ．
（ⅰ）求线段 的长；
（ⅱ）设 为 内（含边界）的一点，且 ，求满足条件的所有点 组成的轨迹的长度．
21. 已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线交直线 于点
．
（1）求 点的轨迹方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数
，使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
22. （1）已知函数 ，（ 为自然对数的底数），记 的最小值为 ，求证：
；
（2）若对 恒成立，求 的取值范围．
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