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2022 年甘肃省兰州市中考数学真题
一、选择题
1. 计算 的结果是（ ）
A. ±2 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于 表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】4的算术平方根是2，即 =2，
故选B．
【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 如图，直线 ，直线c与直线a，b分别相交于点A，B， ，垂足为C．若 ，则
（ ）
A. 52° B. 45° C. 38° D. 26°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个
锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：∵a b，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬
奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
【
详解】解：A．不能沿一条直线折叠完全重合；
B．不能沿一条直线折叠完全重合；
C．不能沿一条直线折叠完全重合；
D．能够沿一条直线折叠完全重合；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．
4. 计算： （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5. 如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐
角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
6. 若一次函数 的图象经过点 ， ，则 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（-3，y）和（4，y）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，
1 2
∴y＜y．
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
7. 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关
系式，即可求得k的值．
【详解】∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一
隐含条件．
8. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质得到 ，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似
三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，
对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液
不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食
用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，
∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，
∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色 概的率是： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法．
的
10. 如图，菱形ABCD 对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， ，
，则 （ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出 ， ，再由 直角三角形斜边上的中线
等于斜边一半得出 ．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出 ，进而求出 ．
【详解】 是菱形，E为AD的中点，
， ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是直角三角形， ．
， ，
， ．
，即 ，
， ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出 并求得
．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中
线等于斜边一半的性质．
11. 已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是
以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴
影部分的面积为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据S =S -S 求解即可．
阴影 扇形AOD 扇形BOC
【详解】解：S =S -S
阴影 扇形AOD 扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题
13. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式 ，
，
故答案为： ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，
2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐
标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
【详解】解：如图，
根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的
坐标特征是解题的关键．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 沿DE翻折得到 ，点F落在AE上．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
若 ， ，则 ______cm．
【答案】
【解析】
【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，
∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股
定理既可以求解。
【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， ，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF， ，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
三、解答题
17. 解不等式： ．
【答案】x<7
【解析】
【分析】去括号，再移项，合并同类项，系数化1，解得即可．
【详解】去括号得：2x-6<8，
移项得：2x<8+6，
合并同类项得：2x<14，
系数化1得：x<7，
故不等式的解集为：x<7．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记基本步骤是解题的关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的加法法则和除法法则计算即可．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解： ，
= ，
= ，
= ．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
19. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， ， ，
， ，求 的大小．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意证明 ，然后根据全等三角形对应角相等即可求出 的大小．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，
AAS，ASA，HL(直角三角形)．
20. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得
，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得
．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ，
．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】 m
【解析】
【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝
（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函
数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31° ，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，
有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军
创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分
数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组： ， ， ， ， ，
）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 这一组的数据是：
58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
（2）下列结论正确的是______．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己
的看法．
【答案】（1）40 （2）②
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平
均数即可求出中位数；
（2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；
①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，
根据变化趋势写出看法即可．
【小问1详解】
解：将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40
百万人，
故答案为：40；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问2详解】
解：①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，
符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合
题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持
续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是②．
故答案为：①②；
【小问3详解】
解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
【点睛】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是
正确解答的前提．
22. 综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组
成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”
的直角尖端A沿圆周移动，直到 ，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边
落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，
C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，
BC相较于点O，即O为圆心．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如
图3，点A，B，C在 上， ，且 ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，
如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在 上， ，请作出
圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺
规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆
规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：
______________________________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心
的理由即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点O就是圆的圆心．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
【
小问2详解】
解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
【小问3详解】
解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角
所对的弦是直径是解题的关键．
23. 如图，在 中， ， ， ，M为AB边上一动点，
，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（ ），B，N两点间的距离为ycm（当点
M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对
应值：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格： ______；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数y关于x的图
像；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
（4）解决问题：当 时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
【答案】（1）3.2 （2）答案见解析
（3）y随x的增大而减小
（4）1.67
【解析】
【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图像；
（3）根据图像直接得出结论；
（4）利用表格和图像估算出AM的长度．
【小问1详解】
解：如图，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，
过点C作CM'⊥AB于M，
∴S ＝ AC•BC＝ AB•CM'，
△ABC
∴CM'＝ ，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝ ，
当a＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
【小问2详解】
解：如图所示，
【小问3详解】
解：由图像知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
【小问4详解】
解：如图，直线OD的解析式为 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形 的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键．
24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行
进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高
度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的
水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为 ；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【小问1详解】
解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
∵ 经过点(0， )，
∴
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当y=0时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ >6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题
的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
25. 如图，点A在反比例函数 的图像上， 轴，垂足为 ，过 作
轴，交过B点的一次函数 的图像于D点，交反比例函数的图像于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
【答案】（1）y＝ ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y＝ x+b即可求得b
的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．
【小问1详解】
解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图像上，AB⊥x轴，
∴S ＝ |k|＝3，
△AOB
∴k＝6，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图像过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
【小问2详解】
解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图像于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数
系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
26. 如图， 是 的外接圆，AB是直径， ，连接AD， ，AC与OD相交
于点E．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）先证∠BOC +∠AOD=90°，再因为 ，得出∠ADO +∠AOD=90°，即可得
∠OAD=90°，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）先证明∠AED=∠DAE，得出DE=AD= ，再证∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC= tan∠OCA= ,
设OC=OA=R,则OE= R，在Rt OAD中，由勾股定理，得
△
，解之即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵ ，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
∴DE=AD= ，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
∴tan∠OAC= tan∠OCA= ,
设OC=OA=R,
则OE= R，
在Rt OAD中，∠OAD=90°，
由勾股△定理，得OD2=OA2+AD2，
即 ，
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题
属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和 两个值中的最大
值叫做点P的“倾斜系数”k．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求点 的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上任意一点，且点
P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）3 （2）①a-2b或b=2a，②OP=
（3） +1 ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
【小问2详解】
解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b
∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP= ；
综上，OP= ；
【小问3详解】
解：由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于
E，
此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；经检验符合题意；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，经检验符合题意，
综上，若P的“倾斜系数” ，则 +1
