文档内容
西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学
高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试
数学试题
（满分：150分：考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）
.
A 6 B. 8 C. 9 D. 10
4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 ，若侧面 水平放置时，水面恰好过 ，
， ， 的中点，那么当底面 水平放置时，水面高为（ ）
第1页/共6页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资
格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学
生，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 90 B. 125 C. 180 D. 243
6. 表示不超过 的最大整数，如 ， ，已知数列 满足 ， ，
，若 ， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 过双曲线 上任一点 作两渐近线的平行线 ， 且与两渐近线交于 ， 两
点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的图象中相邻两条对称轴的距离是 ，现将
的图象向右平移个 单位长度，得到函数 的图象，若 是偶函数，且最大值为2，则下列
结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递减
10. 对自然人群进行普查，发现患某病的概率 .为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化
方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以 表示事件“试验反应为阳性”，以 表示事
件“被确诊为患病”，则有 .根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 统计学中的标准分 是以平均分 为参照点，以标准差 为单位，表示一个数据 在整组数据中相对
位置的数值，其计算公式是 （ ）.若一组原始数据如下：
序号
1 2 3 4 5
对应值
10 5 6 6 8
则下列说法正确的是（ ）
A. 该数组的平均值 B. 对应的标准分
第3页/共6页
学科网（北京）股份有限公司C. 该组原始数据的标准分 的方差为1 D. 存在 ，使得 ， 同时成立
12. 定 义 域 为 的 函 数 ， 的 导 函 数 分 别 为 ， ， 且 ，
，则下列说法错误的为（ ）
A. 当 是 的零点时， 是 的极大值点
B. 当 是 的零点时， 是 的极小值点
C. ， 可能有相同的零点
D. ， 可能有相同的极值点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ，若 ，则实数a＝___.
14. 已知 ， ，则 ______.
15. 过直线 上任意一点 作圆 ： 的两条切线，则切点分别是 ，则 面积的最
大值为______.
16. 已知四面体 满足 ，它的体积为 ，其外接球球 的表面积为 ，
则点 在球 表面的轨迹长度为__________；线段 长度的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 中， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前10项和 .
18. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 （ ）.
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 是角 的内角平分线，且 ，求 周长的最小值.
19. 已知三棱锥 中， ， ， ， .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
20. 在直角坐标系 中，动点 到 轴的距离比点 到点 的距离少1.
的
（1）求动点 轨迹方程 ；
（2）当 时，过点 的直线与 交于 两点，连接 ， 延长与 分别交于 、
两点，求 与 面积之和 的最小值.
的
21. “大地”渔业公司从 、 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型 设备.
（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：
从 处购买（台） 从 处购买（台）
运行良好（台） 46 14
出现故障（台） 14 6
试根据小概率值 的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；
（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人
的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断
在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的
第5页/共6页
学科网（北京）股份有限公司建议.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
22. 设函数 ， .
（1）①当 时，证明： ；
②当 时，求 的值域；
（2）若数列 满足 ， ， ，证明：
（ ）.
第6页/共6页
学科网（北京）股份有限公司
