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初中教资《数学学科知识与教学能力》
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第一模块 初中基础知识
第一章 数与代数
第一节 数与式
一、有理数
1.有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较
大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为 0；
（3）一个数同 0相加，仍得这个数。
2.有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即𝑎−𝑏 = 𝑎+(−𝑏)。
3.有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与 0相乘都得0。
1
𝑏
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即𝑎÷𝑏 = 𝑎∙ (𝑏 ≠ 0)。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不
等于0的数，都得 0。
5.有理数的混合运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、实数
1.相关概念
1
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𝑥叫做𝑎的算术平方根。𝑎的算术平方根记为√𝑎，𝑎叫做被开方数，𝑎 ≥ 0。
（2）平方根：如果一个数的平方等于𝑎，那么这个数叫做𝑎的平方根或二次
方根。注意−3是 9 的平方根；9 的平方根是 3 和−3。正数有两个平方根，他们
互为相反数；0的平方根是 0，负数没有平方根。
（3）立方根：如果一个数𝑎的立方等于𝑎，那么这个数叫做𝑎的立方根或三次
方根。
（4）乘方：𝑛个𝑎相乘的积称为𝑎的𝑛次幂，在𝑎𝑛中，相同的乘数𝑎叫做底数，
𝑎的个数𝑛叫做指数，乘方运算的结果𝑎𝑛叫做幂。𝑎𝑛读作𝑎的𝑛次方。
（5）开平方：求一个数𝑎的平方根的运算，叫做开平方。
（6）开立方：求一个数𝑎的立方根的运算，叫做开立方。
（7）无理数：无限不循环小数又叫无理数。
（8）实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。
（9）二次根式：一般地，形如√𝑎(𝑎 ≥ 0)的代数式叫做二次根式。当𝑎 > 0
时，√𝑎表示𝑎的算术平方根，其中√0 = 0。
（10）最简二次根式：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式，符合这两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
2.二次根式运算法则
（1）二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简
二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式的乘法法则：√𝑎∙√𝑏 = √𝑎𝑏(𝑎 ≥ 0，𝑏 ≥ 0)。
（3）二次根式的除法法则：√𝑎
= √
𝑎
(𝑎 ≥ 0,𝑏 > 0)。
√𝑏 𝑏
三、整式与分式
1.整式相关概念
（1）单项式：式子中只含数或字母的积，叫做单项式，单独一个数或一个
字母也是单项式。
2
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一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
（3）多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，
不含字母的项叫常数项。
（4）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次
数。
（5）整式：单项式与多项式统称为整式。
（6）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
（7）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。
2.运算法则
（1）合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系
数的和，且字母连同它的指数不变。
（2）去括号法则
如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
同；如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
反。
（3）整式加减的运算法则
一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
（4）积的乘方法则：(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛(n为正整数)，即积的乘方，等于把积的
每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（5）整式的乘法法则
①单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相
乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
每一项，再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项
乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
④同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即𝑎𝑛 ÷𝑎𝑛 =
𝑎𝑚−𝑛(𝑎 ≠ 0，𝑚、𝑛都是正整数，且𝑚 > 𝑛)。
3
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因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单
项式，再把所得的商相加。
3.因式分解
（1）相关概念
①分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式分解因式。注意：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。
②提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因
式的方法叫做提公因式法。
③公式法：平方差公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑏2。即两个数的和与这两个
数的差的积，等于这两个数的平方差。
④完全平方公式：(𝑎±𝑏)2 = 𝑎2 ±2𝑎𝑏 +𝑏2。即两个数的和（或差）的平方，
等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2倍。
（2）分解因式的步骤
①先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
②再看能否使用公式法；
③用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的
目的；
④因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；
⑤因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
4.分式相关概念及运算法则
（1）相关概念
𝐴
①分式：一般地，如果𝐴，𝐵表示两个整式，并且𝐵中含有字母，那么式子
𝐵
叫做分式。其中𝐴叫做分子，𝐵叫做分母。
②分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，
分式的值不变。
③最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
4
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叫做分式的通分。
⑤最简公分母：为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有
因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。
⑥分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为：( 𝑏 )𝑛 =
𝑎
𝑏𝑛
（𝑛为正整数）。
𝑎𝑛
（2）分式的乘法法则
①分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母。
②分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被
除式相乘。
③分式的乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要随时约分，以减少
运算量。另外，分式的乘方运算要把分式加上括号，同时不要忽略分子、分母系
数的乘方，同时要注意符号问题。
④同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
⑤异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分，变为同分母的分式，
再加减。
（3）分式方程及解法
①分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
②分式方程的解法：
A.去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程)；
B.按解整式方程的步骤求出未知数的值；
C.验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，
则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
5.等式的性质
（1）等式的性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍
相等。即如果𝑎 = 𝑏，那么𝑎±𝑐 = 𝑏 ±𝑐。
5
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𝑎 𝑏
结果仍相等。即如果𝑎 = 𝑏，那么𝑎𝑐 = 𝑏𝑐；如果𝑎 = 𝑏(𝑐 ≠ 0)，那么 = 。
𝑐 𝑐
第二节 方程与不等式
一、方程与方程组
1.解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为 1
2.解一元一次方程组的方法
（1）消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
（2）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再
代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做
代入消元法，简称代入法。
（3）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个
方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法。即二元一次方程组→ 消元 →一元一次方程。
3.解一元二次方程的方法
（1）配方法
①概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。一
般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(𝑥+𝑛)2 = 𝑝的形式，那么就有：
当𝑝 > 0时，方程有两个不等的实数根：𝑥 = −𝑛−√𝑝,𝑥 = −𝑛+√𝑝；当𝑝 = 0
1 2
时，方程有两个相等的实数根：𝑥 = 𝑥 = 𝑛；当𝑝 < 0时，因为对任意实数𝑥，都
1 2
有(𝑥+𝑛)2 ≥ 0，所以方程无实数根。
②配方法解一元二次方程的一般步骤：
6
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二化：二次项系数化为 1，左右两边同时除以二次项系数；
三配：配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
四开：开平方求根。
（2）公式法
①判别式：一般地，式子𝑏2 −4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0（𝑎 ≠
0）根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐。
②当∆> 0时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）有两个不等的实数根；当∆=
0时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）有两个相等的实数根；当∆< 0时，方程
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）无实数根。
③当∆≥ 0时,方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）的实数根可写为𝑥＝
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
的形式，这个式子叫做一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）的求根公式。解
一个具体的一元二次方程时，把系数直接带入求根公式的方法叫做公式法。
④公式法解一元二次方程的一般步骤：
A.把方程化成一般形式，并写出𝑎，𝑏，𝑐的值
B.求出𝑏2 −4𝑎𝑐的值
C.代入求根公式
D.写出方程的解𝑥 ,𝑥
1 2
（3）因式分解法
①概念：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这
两个一次式分别等于 0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分
解法。
②因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
A.将方程右边化为 0；
B.将方程左边化为两个一次式的乘积；
C.令每个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；
7
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4.一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系：一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 = 0（𝑎 ≠ 0）中，𝑥 +𝑥 =
1 2
𝑏 𝑐
− ，𝑥 𝑥 =
1 2
𝑎 𝑎
二、不等式与不等式组
1.概念
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一
元一次不等式组。
2.解集
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解
集。解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，在求出这些解集
的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。解不等式组口诀：同大
取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解可找。
第三节 函数
描点法画函数图象的一般步骤
（1）列表——表中给出一些自变量的值与其对应的函数值；
（2）描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为
纵坐标，描出表格中数值对应的个点；
（3）连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描绘出的各点用平滑曲线
连接起来。
一、一次函数
1.概念
形如𝑦 = 𝑘𝑥 +𝑏(𝑘、𝑏是常数，𝑘 ≠ 0)的函数，叫做一次函数(𝑥为自变量,𝑦为
因变量)。特别地,当𝑏 = 0时,称𝑦是𝑥的正比例函数。
2.性质
8
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二、正比例函数
1.概念
一般地，形如𝑦 = 𝑘𝑥（𝑘是常数，𝑘 ≠ 0），叫做正比例函数，其中𝑘叫做比
例系数。
2.性质
正比例函数𝑦 = 𝑘𝑥（𝑘 ≠ 0）的图象是一条经过原点的直线，当𝑘 > 0时，直
线𝑦 = 𝑘𝑥经过第一、三象限，𝑦随𝑥的增大而增大，当𝑘 < 0时，直线𝑦 = 𝑘𝑥经过
第二、四象限，𝑦随𝑥的增大而减小。
三、反比例函数
1.概念
𝑘
形如𝑦 = （𝑘为常数，𝑘 ≠ 0）的函数称为反比例函数。其他形式𝑥𝑦 = 𝑘,𝑦 =
𝑥
𝑘𝑥−1。
2.性质
（1）当𝑘 > 0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内𝑦值
随𝑥值的增大而减小；
（2）当𝑘 < 0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内𝑦值
随𝑥值的增大而增大。
四、二次函数
1.概念
一般地，形如𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎 ≠ 0)的函数，叫做二次函
数。其中，𝑥是自变量，𝑎，𝑏，𝑐分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项。
2.二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2的图象和性质
二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2的性质：抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2的对称轴是𝑦轴，顶点是原点。当
𝑎 > 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当𝑎 < 0时，抛物线的开
9
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越小。
3.二次函数𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的图象和性质
二次函数𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的性质：抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘与𝑦 = 𝑎𝑥2形
状相同，位置不同，把抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛
物线𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘。平移的方向、距离要根据ℎ、𝑘的值来决定。特点如下：
（1）当𝑎 > 0时，开口向上；当𝑎 < 0时，开口向下。
（2）对称轴是𝑥 = ℎ。
（3）顶点是(ℎ，𝑘)。
4.二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的图象和性质
（1）二次函数的解析式三种形式
①一般式𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠ 0)；
②顶点式𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘，𝑦 = 𝑎(𝑥+ 𝑏 )2 + 4𝑎𝑐−𝑏2 ；
2𝑎 4𝑎
③交点式𝑦 = 𝑎(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )。
1 2
（2）二次函数图象与性质
𝑏
①对称轴：𝑥 = − ；
2𝑎
𝑏 4𝑎𝑐−𝑏2
②顶点坐标：(− , )；
2𝑎 4𝑎
③与𝑦轴交点坐标（0，𝑐）；
④增减性：当𝑎 > 0时，对称轴左边，𝑦随𝑥增大而减小；对称轴右边，𝑦随
𝑥增大而增大；当𝑎 < 0时，对称轴左边，𝑦随𝑥增大而增大；对称轴右边，𝑦随𝑥增
大而减小。
⑤图象平移步骤：
A.配方：𝑦 = 𝑎(𝑥−ℎ)𝟐 +𝑘，确定顶点(ℎ，𝑘)；
B.对𝑥轴左加右减；对𝑦轴上加下减。
⑥二次函数的对称性：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐
标为𝑥 ，𝑥 其对应的纵坐标相等，那么对称轴𝑥 =
𝑥1+𝑥2。
1 2
2
⑦根据图象判断𝑎，𝑏，𝑐的符号
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B.𝑎，𝑏可以用左同右异判断（对称轴在𝑦轴左边，𝑎，𝑏符号相同，对称轴在
𝑦轴右边，𝑎，𝑏符号相反）；
C.𝑐是由抛物线与𝑦轴的交点决定的。
5.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠ 0)与𝑥轴交点的横坐标𝑥 ，𝑥 是一元二次方程
1 2
𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠ 0)的根；抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐，当𝑦 = 0时，抛物线便
转化为一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 = 0。
（1）𝑏2 −4𝑎𝑐 > 0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图象与
𝑥轴有两个交点；
（2）𝑏2 −4𝑎𝑐 = 0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图象与𝑥
轴有一个交点；
（3）𝑏2 −4𝑎𝑐 < 0时，一元二次方程没有实根，二次函数图象与𝑥轴没有交
点。
第二章 图形与几何
第一节 直线、射线、线段
一、相关概念
（一）线
1.直线：直线无尽头，可以向两端无限延伸。
2.线段：平面中两点之间的连线叫作线段。
3.射线：直线上的一点和它的一旁的部分组成的图形称为射线或半直线。
4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫作这条线段的
垂直平分线。
5.角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角
的射线，叫做这个角的角平分线。
（二）角
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点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的两条边。一个角的两边分别垂直于另一
个角的两边，这两个角相等或互补。
2.余角：如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角。
3.补角：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角。
二、基本性质
（一）直线、射线、线段的基本性质
1.基本事实：经过两点有一条直线,并且只有一条直线，即两点确定一条直
线。
2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短。
3.基本事实：经过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线
垂直。
4.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等。
5.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上。
6.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
7.线段的中点到两端点的距离相等。
（二）角的基本性质
1.角平分线性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
2.同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。
三、相交线与平行线
（一）同位角、内错角、同旁内角
1.若两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，则称两个角互
为邻补角，如∠1和∠2。
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线，则称两个角互为对顶，如∠1和∠3。
3.两条直线被一条直线所截，在两条被截直线的同旁且在截线的同侧的两
个角，称为同位角（如图∠1和∠5）；
4.两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样关系的
两个角叫做内错角（如下图∠3和∠5）。
5.在两条被截直线之间且在截线的同侧的两个角，称为同旁内角（如图∠4
和∠5）。
四、平行线及其判定
（一）平行线
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。𝑎与𝑏互相平行，
记作𝑎 ∥ 𝑏。
2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果𝑏 ∥ 𝑎,𝑐 ∥ 𝑎那么𝑏 ∥ 𝑎。
（二）平行线的判定
1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简
单说成：同位角相等，两直线平行；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简
单说成：内错角相等，两直线平行；
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简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
（三）平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同
位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内
错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，
同旁内角互补。
第二节 三角形
一、三角形的边
1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做
三角形。
2.分类：
3.三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。即两边之
差<第三边<两边之和。
4.判断三条线段能否组成三角形，将两条较短的线段之和与最长的线段进行
比较。
二、三角形的高、中线与角平分线
1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线
段叫做三角形的高。
（1）直角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条与两条直角边
重合，且三条高的交点为直角的顶点。
（2）锐角三角形的三条高内在三角形的内部，且有一个交点。
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它们没有交点，但所在的直线有一个交点。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数 3 1 1
量
高是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相 相交 相交 相交
交
三条高所在直线的交 三角形内部 直角顶点 三角形外部
点的位置
2.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中
线。
3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶
点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形中线的交点叫做三
角形的重心。
5.三角形的一边的中线可以把这个三角形分成面积相等的两部分。
三、等腰三角形与等边三角形
1.等腰三角形的性质
（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重
合，简称为“三线合一”。
（3）性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线所在的直线（轴
对称图形）。
2.等腰三角形的判定：
（1）判定1：定义法，有两边相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形
的对应边相等；利用垂直平分线的性质。
（2）判定2：等角对等边，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等。
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等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于 60°。
4.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，那么
𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2。那么这个三
角形是直角三角形。
3.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
五、三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。
2.直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角
形。
3.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形𝐴𝐵𝐶可以写成𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶。
4.做题中常用的性质：等角的余角相等。
5.三角形内角和的证明
六、三角形的外角
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的
外角。
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七、多边形的内角和
1.多边形内角和公式：𝑛边形的内角和等于(𝑛−2)∙180°。
2.多边形的外角和等于360°。
3.多边形对角线的条数：从𝑛边形的一个顶点出发，可以做（𝑛−3）条对角
𝑛(𝑛−3)
线,多边形的对角线有 条。
2
八、三角形全等
1.三角形全等的判定公理及推论
（1）“边边边”简称“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等；
（2）“边角边”简称“SAS”：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；
（3）“角边角”简称“ASA”：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；
（4）“角角边”简称“AAS”：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形
全等；
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）：斜边和一条直角边分别相
等的两个直角三角形全等。
九、相似
（一） 图形的相似
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，
那么这两个多边形叫做相似多边形。
3.相似多边形的性质：相似多边形对应角相等,对应边的比相等。
4.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
（二）相似三角形的判定
1.用相似符号“∽”表示两个三角形相似，书写时应把对应顶点写在对应位
置上。
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互为相似形的三角形叫做相似三角形 。
3.相似比：如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形
的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比(或相似系数)，这里，
必须注意的是顺序问题和对应问题。例如：△𝐴𝐵𝐶 ∽△𝐷𝐸𝐹，那么是△𝐴𝐵𝐶与△
𝐷𝐸𝐹的相似比，而不是指△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶的相似比，这两个相似比互为倒数。由
此可说明全等三角形是相似三角形当相似比等于 l时的特殊情况。
4.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对
应线段成比例。结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例。
5.判定相似三角形的定理：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成
的三角形与原三角形相似；
（2）三边成比例的两个三角形相似；
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角分别相等的两个三角形相似。
（三）相似三角形的性质
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
2.相似三角形对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（四）相似三角形应用举例
1.用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
2.“相似三角形对应边的比相等”→四条对应边中若已知三条则可求第四
条。
（五）位似
1.位似图形：对应顶点的连线相交于一点的两个相似图形叫做位似图形。这
点叫做位似中心。
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换是以原点为位似中心，相似比为𝑘，那么位似图形对应点的坐标的比等于𝑘或
−𝑘。
第三节 四边形
一、平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形
用“ ”表示，例如平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷记为“ ”
𝐴𝐵𝐶𝐷
（一）平行四边形的性质
1.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平
行四边形的对角线互相平分。
2.两平行线之间的距离：两平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的
距离，叫做这两平行线之间的距离。
（二）平行四边形的判定
1.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第
三边的一半。
二、特殊的平行四边形
（一）矩形
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。𝐴𝐶 =
𝐵𝐷。
19
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4、矩形判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（二）菱形
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每
一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形。
1
4.𝑆 = 𝑎𝑏（𝑎，𝑏为两条对角线）
菱 2
（三）正方形
1.正方形：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
2.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
3.特殊性：正方形既是矩形，又是菱形。
4.正方形判定定理：
（1）邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
第四节 圆
一、圆的相关概念
1.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。
2.弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。优弧，劣弧
3.等圆或等弧：能够重合的两个圆叫作等圆，在同圆或等圆中能够重合的弧
叫作等弧。
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5.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫作圆周角。
6.圆的切线：如果一条直线与圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆在
交点处的切线。
7.外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆
的内接多边形，这个圆叫作多边形的外接圆。
8.弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切
角。
二、圆的有关性质
1.圆是轴对称图形、中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称
轴，圆心是它的对称中心。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧。
垂径定理的逆定理：平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦；弦的垂直平分线经过圆心。
3.圆心角的性质
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
（3）在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
4.圆周角的性质
（1）一条弧所对应的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等
5.切线的判定定理：经过半圆的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径
6.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一
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7.弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
8.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如
图(1)所示，𝐴𝑀·𝑀𝐵 = 𝐶𝑀·𝑀𝐷。
9.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条
线段长的积相等。如图（2）所示，𝑃𝐴·𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ·𝑃𝐷。
10.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项。如图（3）所示，𝑃𝐶2 = 𝑃𝐴·𝑃𝐵。
11.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
三、点和圆、直线和圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系
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的距离𝑂𝑃 = 𝑑），则有：
（1）点𝑃在圆外↔ 𝑑 > 𝑟；
（2）点𝑃在圆上↔ 𝑑 = 𝑟；
（3）点𝑃在圆内↔ 𝑑 < 𝑟。
2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3.外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是
三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
4.三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心
是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（二）直线和圆的位置关系
1.直线与圆有 3种位置关系：以直线𝑙与圆𝑂的为例（设⊙𝑂 的半径为𝑟，圆
心到直线的距离为𝑑），则有：
（1）直线𝑙与⊙𝑂相交↔ 𝑑 < 𝑟，直线和圆有两个公共点；
（2）直线𝑙与⊙𝑂相切↔ 𝑑 = 𝑟，直线和圆只有一个公共点，就说这条直线
和圆相切，这个点叫做切点。
（3）直线𝑙与⊙𝑂相离↔ 𝑑 > 𝑟，直线和圆没有公共点。
2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
4.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这
点到圆的切线长。
5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一
点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6.内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆
心是三角形三条角平分线的交点，称为三角形的内心。
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内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个
公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为𝑅和𝑟，且
𝑅 ≥ 𝑟，圆心距为𝑃：外离𝑃 > 𝑅 +𝑟；外切𝑃 = 𝑅 +𝑟；相交𝑅 −𝑟 < 𝑃 < 𝑅 +𝑟；
内切𝑃 = 𝑅 −𝑟；内含𝑃 < 𝑅 −𝑟。
四、弧长和扇形面积
1.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
𝑛𝜋𝑅
2.扇形弧长：𝑙 = 。
180°
𝑛𝜋𝑅2 1
3.扇形面积：𝑠 = = 𝑙𝑅。
360° 2
4.圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的几何体。
5.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥
的母线。
6.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。
1
7.圆锥侧面积：𝑆 = ∙2𝜋𝑟 ∙𝑙 = 𝜋𝑟𝑙
侧 2
9.圆锥的全面积：𝑆 = 𝑆 +𝑆 = 𝜋𝑟𝑙 +𝜋𝑟2.
全 侧 底
第五节 图形的变化
一、图形的轴对称
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个
图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
二、图形的旋转
1.概念
把一个平面图形绕着平面内某一点𝑂转动一个角度，叫做图形的旋转。点𝑂
叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2.性质
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角；旋转前后的图形全等。
3.中心对称
（1）概念
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，
这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能够重合的
对应点叫做关于对称中心的对称点。
（2）性质
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中
心平分；中心对称的两个图形是全等图形。
三、图形的平移
1.平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平
移平移变换，简称平移。
2.对应点
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这
样的两个点叫做对应点。
3.平移特点
平移不改变图形的形状和大小；对应点连线平行且相等。
第三章 统计与概率
第一节 抽样与数据分析
一、统计名称
1.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
2.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
3.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
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样方法是一种简单随机抽样。
5.平均数
加权平均数：一般地，若𝑛个数𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 的权分别是𝑤 ,𝑤 ,⋯,𝑤 ，则
1 2 𝑛 1 2 𝑛
𝑥1𝑤1+𝑥2𝑤2+⋯,+𝑥𝑛𝑤𝑛叫做这𝑛个数的加权平均数。
𝑤1+𝑤2+⋯+𝑤𝑛
6.中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
7.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
8.方差：𝑠2＝ 1 [(𝑥 −𝑥̅)2＋(𝑥 −𝑥̅)2＋…＋(𝑥 −𝑥̅)2]。方差越大，数据的波
1 2 𝑛
𝑛
动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
二、直方图
1.频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。
2.频率：频数与数据总数的比为频率。
3.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成
组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称
为组距。
4.直方图与条形图区别
相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。
不同之处：直方图组距是相等的，而条形图不一定。直方图各矩形间无空隙，
而条形图则有空隙。直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反
映这点。
5.扇形统计图
圆心角的度数= 百分比×360°
第二节 事件的概率
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1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；
2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；
3.必然事件和不可能事件统称为确定事件。
4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
二、概率
1.概率：把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件𝐴发生的概率，记
为𝑃(𝐴)。一般地，如果在一次试验中，有𝑛种可能的结果，并且它们发生的可能
𝑚
性都相等，事件𝐴包含其中的𝑚种结果，那么事件𝐴发生的概率𝑃（𝐴）＝ 。
𝑛
2.0 ≤ 𝑃（𝐴） ≤ 1，特别地，当𝐴为必然事件时，𝑃（𝐴） = 1；当𝐴为不可能
事件时，𝑃（𝐴） = 0。
3.用列举法求概率
（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的
可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的
概率。
（2）列举法常用的表现形式有：
①直接列举法：适用于涉及的对象比较单一且出现的等可能结果较少的情况。
②列表法：当一次设计两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不
遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
③画树状图法：当一次试验涉及 3个因素或 3个以上的因素时，列表法就不
方便了，为不重不遗漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法。
4.用频率估计概率
（1）适用条件：当试验的所有结果不是有限个，或者各种可能结果发生的
可能性不相等时常用频率估计概率。
（2）归纳：利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率的方法叫做用
𝑚
频率估计概率。当试验的次数𝑛足够大，频率 越接近真实值。
𝑛
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一次试验中都发生。
第二部分 《义务教育数学课程标准（2011 年版）》
简答和论述题整理
1.请简述义务教育阶段数学课程性质。
【参考答案】义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有
基础性、普及性和发展性。
（1）首先，义务教育阶段数学课程具有基础性。数学课程能使学生掌握必
备的基础知识和基本技能，是学生全面发展的重要基础，能为学生未来生活、
工作和学习奠定重要的基础；
（2）其次，义务教育阶段数学课程具有普及性。即义务教育阶段的教育是
国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的，
属于义务教育。
（3）最后，义务教育阶段数学课程具有发展性。通过义务教育阶段的数学
学习可以培养学生的抽象思维和推理能力，提升创新意识和实践能力，促进学生
在情感、态度与价值观等方面的发展，为即将结束义务教育阶段的初中学生的可
持续发展而设置的。
2. 请简述义务教育阶段数学课程内容的设置要注意哪些方面。
【参考答案】数学课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的
认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思
想方法。
第一，课程内容的选择要反映社会的需要，即社会需要什么样的人才，学校
就需要培养什么样的人才并设置对应的课程内容，比如，现在社会需要创新型和
应用型人才，那么数学课程的设置也要考虑到提升学生的创新意识和应用意识；
第二，课程内容的组织要符合数学的特点。数学知识的学习注重严谨性和科
学性，因此在课程设时要重视知识的生成过程和推理论证的过程，处理好过程与
结果的关系；要重视直观教学，处理好直观与抽象的关系；要重视数学课程直接
经验的获得，处理好直接经验与间接经验的关系；
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思维现实和认知经验，要有利于学生体验与理解、思考与探索，同时课程内容的
呈现应注意层次性和多样性。
3.《义务教育数学课程标准(2011年版)》有两类行为动词，其中一类是描
述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，其中另一类是描述
过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“感悟”“探索”，请通过举例说明各
含义。
【答题模板】
（1）了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特
征，从具体情境中辨认或举例说明对象。
例1：“了解分式的概念”具体含义为：能够举例说出分式的的形式，即形
𝐴
如 ，A,B 均为整式，且B 中含有字母的式子就叫分式，能在具体实例中初步认
𝐵
识分式。（结合动词介绍并分析具体知识点）
例2：“了解等腰三角形的概念”的具体含义为：一个三角形中如果有两条
边相等，那么这个三角形称为等腰三角形；相等的两边称为等腰三角形的腰，
另一条边称为底边；两腰的夹角称为顶角，两腰与底边的夹角称为底角。（结
合动词介绍并分析具体知识点）
（2）理解：描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的
区别和联系。
例 1：以“平行四边形概念”为例，教学目标中“理解”平行四边形的概念和平
行四边形对边、对角相等的性质。这些都属于“理解”的目标层次。学生在学习过
程中，能够把握平行四边形的概念，通过内在逻辑联系，以此为前提进行推导，
得到平行四边形的对边、对角相等的性质。
例 2：以“三角形相似的概念”为例，“理解”的具体含义为：能说出相似三角
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与相似。
（3）掌握：多角度理解和表征数学对象的本质，把对象用于新的情境。
例1：以“认识万以内的数”，教学目标中学生能认、读、写万以内的数，能
用数表示实际生活中物体的个数或事物的顺序和位置。
例 2：以“常见图形的面积公式”为例，“掌握”的具体含义指，能在组合图形
中运用常见图形，如三角形、平行四边形、圆形、梯形等的面积公式求解阴影部
分图形的面积。
（4）运用：基于数学对象和对象之间的关系，选择或创造适当的方法解决
问题。
例1：证明“角角边”定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两
个三角形全等。
例2：运用线段垂直平分线的性质定理解决最短路径问题。
（5）经历：有意识地参加特定的数学活动，感受数学知识的发生发展过程，
获得一些感性认识。
例如：:经历观察、对比的活动，认识平行四边形，初步得到平行四边
形边、角、对角线对印关系。
（6）体验：有目的地参与特定的数学活动，验证对象的特征，获得一些具
体经验。
例1：通过直尺、量角器等进行测量，验证平行四边形的相关性质，并尝
试运用“全等” 进行证明。
例 2：以“整数四则运算”为例，学生结合具体情境，根据教师提出的问题，
列出式子进行计算的过程中，体会整数四则运算的意义。
（7）感悟：在数学活动中，通过独立思考或合作交流，获得初步的理性认
识。
例如：经过利用赵爽弦图探究勾股定理的过程，感受数形结合思想在数学中
的行用。
（8）探索：在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出
数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定结论。
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4.《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中每个核心理念的含义是什么？
【每一个核心可以单独出题】
（1）数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的
感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中
的数量关系。
例如：教师在教学有理数加减时，应加强估算教学，引导学生培养估算意
识，发展猜想估算能力。进一步增强学生的数感意识。
（2）几何直观：主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把
复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几
何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作
用。
例如：研究一次函数时，借助画图象的方法研究其性质。
（3）运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
培养运算能力有助于学生理解运算的算理；寻求合理简捷的运算途径解决问
题。
例如：在计算992 −1时，学生不仅可以迅速运用平方差公式快速简捷地得
到计算结果，也能在计算的过程中感受运算的技巧并更好地理解平方差公式。
（4）模型思想：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的
基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学
问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变
化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模
型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
例如，在解决现实生活中的相遇和追及的问题时，可以建立方程的模型，
寻找路程、时间和速度之间的等量关系，列方程并进行求解，最终验证实际含
义解决问题。
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BBBBAAAADD99CC2200118800223344DD7788AA00007722883366FF00BBEAF200F922BB99BB2200191185CCB5DDBB5B00AA31DD99884133B3BB11EB6622BB0F36FFBB44DBBB4433884111558423BB00CF2222BB9922B60088CC8844662D35EEBB68F7FF9922112FAAFB11DD008EBB5E1111BBBBFFCC22072E7270CE32EA2D6DE2A421401613DA4DA6DC42E42E46FC67B7745046F26426E7967C6AF7D47248D2E32FBCF46EC3E1867E5AB7944B0637F148801BD86C1690E169EF966E28C6468CD1B80D6D2AA69290C9E930E3（5）数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研
究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的
数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。
（6）符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规
律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识
有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
例如，研究现实生活中路程、时间和速度三者的关系进而得出表达式；理
解符号“＜”“ =”“＞”的含义；运用数学符号进行证明线段相等或者平行关系。
（7）空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象
出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运
动和变化；依据语言的描述画出图形等。
例如：初中学习的三视图和投影。
5.如何培养数感？
【参考答案】
（1）应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感．
随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复
杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质．
（2）紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感．
现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，为学生提供真实自
然的数的感悟环境，让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学
生关于数的思维．
（3）让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验．
在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之
能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益．
6.如何培养学生的符合意识？
【参考答案】
首先，应该让学生在实际的问题情景中理解符号以及表达式、关系式的意义．
其次，要培养学生的自然语言和数学语言的转换能力.因为数学是一种语言，
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件，改用了数学符号，其实这是利用数学知识来解决实际问题所必需的一个程序．
另外，就是数学当中除了字母表示数之外，还有一些其他的符号，如∥、⊥、
∵、∴、≌等等．我们在引入这些符号的时候可以联系一些数学史，给学生增加
一些数学文化方面的知识，使学生感到数学既有价值又非常有意思，愿意学。
7.如何培养学生的空间观念?
【参考答案】
（1）重视促进空间观念发展的课程内容．
图形的运动，图形与位置等都是重视学生空间观念很好的素材，尤其是“图
形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念．
（2）促进空间观念发展的教学策略．现实情境和学生经验是发展空间观念
的基础，教师可以通过多种途径发展学生的空间观念，如生活经验的回忆与再现、
实物观察与描述、拼接与画图、折纸与展开、分析与推理等．
（3）教学中应该为学生提供足够的时间与空间去观察和想象、操作与分析．
8.如何帮助学生建立几何直观？
【参考答案】
（1）要充分的发挥图形带来的好处，鼓励用图形表达问题．
（2）要让学生养成一个画图的好习惯．
（3）重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系．
（4）学会从数与形两个角度认识数学；
（5）掌握、运用一些基本图形解决问题．
9.如何培养学生的运算能力？
【参考答案】
（1）在学生的态度上，首先要让学生重视数学运算，让他们意识到数学运
算是非常重要的，不要认为这个运算可有可无，或者丢一个数或者错一个数．所
以第一点就是强调态度，必须重视运算．
（2）要抓住运算能力的主要特征，即运算的正确、灵活、合理和简洁．首
先保证运算的正确，然后在反复操练、相互交流的过程中，不仅要形成运算技能，
还要引发对“怎样算”“怎样算的好”“为什么这样算”等一系列的思考．同时
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法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免失
误．
（3）运算能力的形成要遵循适度性、层次性和阶段性的原则．运算能力需
要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成。
（4）其实在学生运算过程中运算能力与推理能力有直接关系．因为学生在
运算的时候需要一步一步地去进行，前一步是后一步的前提．因此在这个过程中
一定要让学生理解运算的性质和公式，以提高他们进行推理的能力．
10.如何培养学生的推理能力？
【参考答案】
（1）推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中．
首先，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形
与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容．其次，它应贯穿于数学课堂
教学的各种活动过程．如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，
抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，
引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要
让学生遵循证明，通过数学推理、证明数学结论．再次，它贯穿于整个数学学习
环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试等，在所有的这些学习环
节中，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑．
（2）通过多样化的活动，培养学生的推理能力．
（3）使学生多经历“猜想---证明”的问题探索途径．
11.如何培养学生的数据分析观念？
【参考答案】
（1）加强分类与比较能力的训练。分类与比较是确定事物之间异同关系的
思维过程和方法，有利于促进学生形成数据分析观念。教师在教学中指导学生把
所学的知识形成一定的标准或特点，进行系统化的梳理，分类，比较，整合，可
以使学生的认知组成序列，形成一定的结构，结成一个系统化的整体，从而获得
结构性知识，培养了学生数据分析观念。唯有通过比较方能更好的确定概念间的
相同点和不同点，达到学生的思维由“模糊”走向“清晰”的认知过程，同时也
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（2）重视分析与综合能力的培养。分析与综合是学生数据分析观念的两个
面。是思维的基本过程，也是学生获取知识的基本途径和基本能力。分析与综合
在初中数学学习中广泛的应用，通过分析可以理解某一数学知识的要素及新旧知
识间的联系。通过综合又对数学知识有了全面和整体的理解。
12.如何培养学生的模型思想？
【参考答案】
（1）模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟．模型思想
的感悟应该蕴涵于概念、命题、公式、法则的教学中，并与数感、符号意识、空
间观念等的培养紧密结合．模型思想的建立是一个循序渐进的过程．
（2）使学生经历“问题情境---建立模型---求解验证”的数学教学活动过
程．“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中
模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累
数学活动经验，感悟模型思想的本质．这一过程更有利于学生去发现、提出、分
析、解决问题，培养创新意识．
（3）结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力．
（4）通过数学建模改善学习方式．
13.如何培养学生的应用意识？
【参考答案】
（1）要注重知识的来龙去脉．其一，要让学生知道数学知识“从哪里来”．从
两方面努力，一是提供数学知识产生的背景材料，二是呈现数学知识的形成过
程．其二，要让学生知道数学知识“到哪里去”。
（2）在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。
应将培养学生的应用意识作为数学课程的重要目标，贯穿于数与代数、图形
与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容的数学课程中。
在教学设计过程中，应联系学生实际和社会生活现实，合理地解读教材、拓
展教材，积累素材，研制、开发、生成课程资源。
课堂教学的过程中，应同时关注生活情境数学化和数学问题生活化。
将定量评价与定性评价相结合，适当设计一定的具有现实生活背景的问题和
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的主动性。
14.如何培养学生的创新意识？
【参考答案】
（1）鼓励“质疑----发现问题和提出问题”．学会学习的一个重要环节就
是质疑．鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中，问题可以是自己的疑惑，
可以是自己的困难，也可以是自己的一些发现．
（2）鼓励“在做中积累经验”．创新意识不是靠教师教出来的，是学生在
在教学的各个环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的．
（3）凡是要求学生做的，教师要带头做．教师在教学的各个环节中都应该
要去自己发现问题，能够提出问题，并通过问题引导教学层层深入．如学习数学
定义、概念，要引导学生思考为什么需要它，它与前面的什么有联系，它与实际
生活有什么联系．在学习数学技能、方法、思想时，更需要引发思考．
15.数学课程目标中“三会” 指的是什么，请举例阐述。
【参考答案】
通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，
会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界(简称“三
会”)。学生能:
（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基
本思想、基本活动经验。
（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在
探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的
知识与方法分析问题和解决问题。
（3）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习
数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习贯，形成质疑问难、自
我反思和勇于探索的科学精神。
第三部分 教学知识部分简答和论述题整理
1.常用教学方法有哪些？至少写出两种并举例。
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法。
讲授法的优点：能保证教师传授知识的系统性、主动性与连贯性，易于控制
课堂教学，充分利用时间。讲授法的缺点：学生处于被动状态，不利于培养学生
自学习惯和独立思考能力，容易变成注入式、满堂灌。
例如：初中数学《完全平方公式》。通过学生对导入 4 个式子的具体计算，
学生发现了许多的规律，教师指明这就是我们这节课要学习的完全平方公式并讲
授定义：即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们
积的2倍，叫做完全平方公式。给出公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
例如：高中数学《平面与平面平行的判定》教师通过实物的演示并讲解出平
面与平面平行的判定的内容，并给出定理：已知一个平面内的两条相交直线分别
平行于另外一个平面，那么这两个平面就相互平行。
（2）谈话法，也叫问答法，它是教师按照一定的教学要求向学生提出问题，
要求学生回答，并通过问答的形式来引导学生获取新知或巩固旧知的一种教学方
法。
谈话法的优点：它在设计中就把师生的双边活动固定化了。谈话法的缺点：
由于学生对提出的问题是即席回答，缺少思想准备和一定的组织准备，会耽误一
定的时间。
例如：初中数学《完全平方公式》。通过导入环节对知识点的回顾，教师 PPT
出示 4 个题目，找学生到黑板上利用之前的知识进行计算板演。学生板演结束
后，教师先让其余同学进行评价，然后教师补充，接着教师引导学生观察并进行
提问，这四个式子有什么共同点或不同点?学生观察交流讨论后，学生代表回答
例如：高中数学《指数函数及其图象》通过学习指数函数的表示形式，PPT
上出示的两个指数函数，学生通过描点法画出他们的函数图象，画完图象后，请
学生仔细观察两个图象有什么相同点和不同点？
（3）发现法，又叫问题教学法，是倡导让学生自己发现问题、主动获取知
识的一种教学方法。
发现法的优点：学生的学习主动性、积极性可得到发挥，学生常处于主动进
取的学习状态之中。在学习过程中，学生具有较高级的心理活动。有利于培养学
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深刻而牢固。有利于培养学生掌握探索问题的方法与研究问题的能力，特别是自
学能力。发现法的缺点：花费时间较多，不利于学生掌握系统知识，影响数学理
论体系建立。易减少教学中数学知识容量，程度较差的学生可能较难适应。
例如：在初中数学《完全平方公式》篇目的试讲中，教师带领同学推导出了
完全平方公式，引导学生分组讨论归纳出完全平方公式的完整形式。给学生 3分
钟时间进行分组讨论，将刚才得到的两个式子进行归纳整理，得到完全平方公式
的完整形式，讨论过程中教师巡视指导，讨论结束后请小组代表上台板演最终结
果，师生共同评价总结、板书。
例如：在高中数学《平面与平面平行的判定》篇目的试讲中，教师通过实物
演示引导学生发现平面与平面平行的判定方法后，请同学们仿照直线与平面平行
的判定定理，小组讨论归纳出平面与平面平行的判定定理。请学生按事先分好的
小组进行讨论，时间 3分钟，教师巡视指导：仿照直线与平面平行的判定定理归
纳出平面与平面平行的判定定理。结束后学生代表展示，师生共同评价、总结、
板书。
2.数学中常见的学习方式有哪些？
（1）自主学习：自主学习关注的是学习者的主体性与能动性，是学生自主
而不受他人支配的学习方式。
（2）探究学习：探究学习也称为发现学习。学习过程除了被动接受知识外，
还存在大量的发现与探究等认识活动。
（3）合作学习：合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式。合作学
习的展开往往是在自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。
3.数学教学中常见的定义方式有哪些，请举例说明。
（1）属加种差定义法（最常用的定义方式），对某一概念有若干属概念，从
最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属
概念）。被定义的概念=最邻近的属概念+种差。概念的种差，就是在同一个属概
念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。
例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形。
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①发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为
种差来下定义的。
例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是
发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。
②关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与
另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
例如，若𝑎𝑏 = 𝑁,则log 𝑁 = 𝑏(𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1).
𝑎
（2）揭示外延式定义：数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概
念的外延作为它的定义。也就是列举“被定义概念所属的、所有互不相容的种概
念”的方式下定义。
①逆式定义法，
例如：实数是有理数和无理数的总称；整数和分数统称为有理数；正弦、余
弦、正切和余切函数等叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻
辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等。
②约定定义法，例如：𝑎0 = 1(𝑎 ≠ 0),0! = 1.
4.数学思想方法有哪些？请结合实例进行阐述。
1. 转化与化归思想
在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将待解决问题通过变换使之转
化，进而使问题得到解决的一种方法。如化繁为简，化未知为已知。
例如：小学中许多图形的面积公式推导过程中也经常渗透转化的思想，
如，平行四边形的面积就是转化为长方形的面积进行推导的。
例如：在解决一元二次不等式问题时，经常转化为二次函数图象与坐标轴
的交点问题，数形结合求解不等式解集范围。
例如：在解决空间中线面的位置关系时，经常建立空间直角坐标系转化为
向量的问题进行解决，即将几何问题转化为代数问题，将抽象的空间关系转化
为具体的代数运算。
2. 分类讨论思想
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类，然后对每一类分别研究得出相应的结论，最后整合各类结论得到整个问题
的解答。
例如：在证明含参数的不等式成立问题时，经常需要分类讨论参数的正、
负情况。
3. 数形结合思想
将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形问题之
间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
例如：函数的图象与性质，平面向量的运算都会渗透数形结合的思想。
5.谈一谈如何培养学生的数学思想？
（1）在知识形成过程中培养
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，
而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的。因此数学思想方法的
培养必须通过具体的教学过程加以实现。在教学中，要重视概念的形成过程；
引导学生对定理、公式进行探索、发现、推导；最后再引导学生归纳得出结
论。
（2）在问题解决过程中培养
数学来源于生活又服务与生活，因此数学思想方法存在于问题的解决过程
中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。通过渗透，尽量让
学生将数学思想方法内化为独立获取知识的能力和独立解决问题的能力。
（3）在反复运用过程中培养
数学思想方法的培养要在不断的练习，总结归纳与反思的过程中，在运用于
解决实际问题的过程中逐步培养。
6.举例说明数形结合思想、化归思想在中学数学中的重要作用。
【参考答案】中学几何数学是一门比较抽象的学科，包括空间和数量的关系，
数形结合能够帮助学生将两者相互转化，使抽象的知识更便于理解学习。
在中学几何学习中 ，数形结合的思想具有重要的作用，教师在教学中运用数
形结合思想，能够将几何图形用代数的形式表示，并利用代数方式解决几何问题。
数形结合将几何图形与代数公式密切地联系在一起，利用代数语言将几何问题简
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圆的位置关系，可以根据直线方程和圆的方程，找到圆的圆心坐标，通过求解圆
心到直线的距离 d，并判断d与圆的半径 r 之间的大小关系，来确定直线与圆的
位置关系。
化归思想是数学中普遍运用的一种思想 。在中学几何教学中，教师常运用这
一思想，基本的运用方法就是将几何问题转化为代数问题，利用代数知识将问题
解决后，再返回到几何中。或是在对空间曲面进行研究时，将复杂的空间几何图
形转化为学生熟悉的平面曲线，便于学生理解和解决。例如，研究直线与圆的位
置关系，可以将直线方程和圆的方程联立，转化成一元二次方程，通过判断一元
二次方程根的个数，来确定直线与圆的位置关系。
7. 以“XXX 定理”的教学为例，阐述数学定理及教学的基本环节/基本特
征。
【答题模板】
1.定理解释——定理具体内容（可算式、图形结合描述）
2.基本环节/教学特征
（1）命题背景介绍（2）引入命题（3）明确命题
（4）证明命题（5）巩固命题（6）灵活运用命题
例 1：（初级中学）以“角平分线的性质定理”的教学为例，阐述数学定理及教
学的基本环节。
（1） “角平分线性质定理”：是初中图形与几何的重要学习内容，具体描
述为角平分线上的点到角两边的距离相等。
（2）该定理学习的一般环节如下：
①命题背景介绍，引入命题——在教学过程中教师可以设置动手实践环
节，请学生通过画一画、折一折、比一比等活动初步感知定理中的结论并提出
猜想。
②明确命题，证明命题——理解定理的含义；学生在初步感知之后，教师
组织学生进行合作探究环节，引导学生可以通过“三角形全等” 的知识证明结
论，从中感受定理的形成过程，理解定理的具体含义。
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度的巩固习题以及实际运用题目；思考角平分线性质定理的逆定理,并证明、应
用。
例 2：（高级中学）以“余弦定理”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。
（1） “余弦定理”：余弦定理是高中三角函数部分的知识点，是通过已知
的边角关系解三角形的重要公式，如已知三边 a,b,c及一角A,余弦定理可表示
为𝑎2 = 𝑏2 +𝑐2 −2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴.
（2）该定理学习的一般环节：
①命题背景介绍，引入命题——了解定理的内容；在教学过程中教师要通
过学生的已有的知识储备，引导学生思考，探究，从而感知定理内容。
②明确命题，证明命题——理解定理的含义；学生可以通过不同方法如解
三角形法，向量法等探究并推导定理，感受定理的形成过程，理解定理的具体
含义。
③巩固命题，灵活运用——设置应用环节，引申拓展。教师可设置不同梯
度的巩固习题以及实际运用题目，让学生加深对定理的理解，体会数学知识的
实用性。
8.试论述如何在教材编写过程中做到素材的选取应体现数学的本质、联系
实际、适应学生的特点。
教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生
对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和
认知水平。素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。初中学
生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴
趣的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在身边，数学的应用无
处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计
思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凹凸镜等说明圆锥曲线的意义
和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现
实背景引入导数的概念。
第四部分 教学设计与案例分析
教学设计之教学目标及教学重难点设计
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知识与技能目标
(学生)了解 （如概念)，理解 (如公式推导的过程、算理、含义)，掌握
(如计算方法，公式），能够应用 解决实际问题。
过程与方法目标
（学生）在自主探究，小组讨论交流_______（某知识点）的过程中，提高发现问题，
提出问题、分析问题和解决实际问题的能力,培养数学思维。
情感、态度与价值观目标
通过对_______（某知识点）的探索，学生的数学兴趣（学习数学的兴趣/积极性）得
以提高（增加），能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活（数学与生活的密切联系/
数学的美/图形的美）。
教学重点：(学生)了解 （如概念)，能够应用 解决实际问题。
教学难点：理解 (如公式推导的过程、算理、含义)，的推导或证明过程。
教学设计之教学过程设计
一、创设情境、导入新课。
______导入：
教师活动：教师运用多媒体展示（播放）生活图片（视频、音频）。接着引导学生认真
观察和思考，提出问题：__________________________________（注意：如果题目中只要
求写导入，那么要求必须阐述老师出示的具体问题是什么，只写框架简案就会扣掉一定的
分数）_
学生活动：就教师的提问展开独立思考或讨论得出结论。
教师活动：根据学生得出的回答，再次提出启发式问题，从而引入本节课新课——
__________。
设计意图：精彩的开头，不仅能使学生很快由抵制状态进入兴奋状态，提高数学的学
习兴趣，还能使学生把知识的学习当成自我需要，使教学任务顺利完成。
二、新课讲授
环节一：初步感知，以旧引新
教师活动：教师提出_______等目标问题。教师组织学生根据目标问题四人小组讨论或
同桌之间交流，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评
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学生活动：根据问题探究出结论或预设：________________________（一般都是直接
默写相关知识点） 。
环节二：自主探究，得出结论
教师活动：教师再次抛出问题________，给予一定的时间，组织学生思考抢答或自主
探究再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价或选择学生自评或互评。
学生活动：通过自主探究，学生回答出____________。
设计意图：通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考，
并进一步的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，
进行问题的探究，提高学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问
题的能力奠定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。
环节三：总结归纳，知识应用
教师活动：教师梳理和总结本就新课的重难点：__________________________（直接
抄知识与技能目标即可）。
三、巩固练习。
教师通过多媒体展示有关_______（本节课知识点）不同类型、不同层次的练习题目，
引导学生独自思考并作答，或者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予
评价并总结。
设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学
生思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用，找学生代表去黑板练习，这也充分
体现学生的主体性地位。最后针对练习结果，进行统一订正，并对他们的表现作出及时的
评价，亦体现课程评价在课堂中的合理应用。
四、归纳小结。
教师引导学生从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的回
答，相机评价并总结。
设计意图：在小结环节先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，不
仅是为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉
感，使他们更加热爱数学。
五、作业布置。
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设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。
板书设计：（写出本节课的主要定义、公式或算式等）
考点 1：教学目标的评析
答题模板：【根据题目从以下 7点中选择 3~4点进行回答即可。】
①从课程目标切入。课堂教学目标的内容范围与课程目标是一致的，即知识
技能、数学思考、问题解决、情感态度。题中的教学目标包含了__________（概
括材料），符合/违背了这一要求。
②从学生特征切入。学生特征主要包括学生的一般特征（学生学习的心理、
生理及社会特点）、初始能力和学习风格。题中的教学目标包含了_________（概
括材料），符合/违背了这一要求。
③从学习内容切入。课堂教学目标的确立取决于学习内容的类型、阶段、难
易程度及教学的重点和难点。题中的教学目标包含了_________（概括材料），符
合/违背了这一要求。
④反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。题中的教学目标包含了
_______（概括材料），符合/违背了这一要求。
⑤格式要规范，用词要考究。题中的教学目标包含了_______（概括材料），
符合/违背了这一要求。
⑥注意教学目标的层次性。一般包含四基、四能和情感态度，题中的教学目
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⑦实在具体，不浮华。要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目
标“远大”、空洞，形同虚设。题中的教学目标包含了________（概括材料），符合
/违背了这一要求。
考点 2：教学过程的评析
（宏观评析）从以下 5方面着手作答：
①导入：教学过程中导入方式的选择是否合理？优点和缺点各是什么，形成
的课堂氛围如何。
②教学方式与作用体现：教师：教学方法、引导者、合作者、组织者
③学习方式与作用体现：学生：学习方式、学生为主体
④点评：学生的回答是否得到及时评价，评价的主体和评价的内容上是否多
样化，评价结果和评价过程是否得到体现；
⑤提问技巧：在数学教学活动中，教师的课堂提问是否层层递进，是否具有
启发性。
（从要求的角度进行评析）
类型一：仅从“导入”角度进行评析
（优点）案例中 X 老师采用了情境导入/故事导入/图片导入， 该种导入方
式打破数学传统枯燥的学习模式，激发学生学习兴趣，进一步让学生体会数学源
于生活，并与生活有着密切的联系。同时也能增强学生的学习动机，活跃课堂气
氛，达到课未始，兴已浓的效果，符合《初中 / 高中数学课程标准》中“导入环
节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良好数学情感”的课程基本理念。
案例中，X 老师首先提出 ________，接着引导学生观察和思考，最后引出新课
课题，符合学生生理和心理发展的特点。
（优点）案例中 X 老师采用了复习导入，通过复习学生之前学习过的知识，
检验学生知识点掌握情况的同时，建立新旧知识的联系，提高学生的知识迁移能
力和解决问题的能力；也为接下来学习新知知识起到铺垫作用。该种导入方式能
增强学生的学习动机，活跃课堂气氛，达到课未始，兴已浓的效果，符合《初中
/ 高中数学课程标准》中“导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良
好数学情感”的课程基本理念。案例中，X 老师首先带领学生复习________（具
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BBBBAAAADD99CC2200118800223344DD7788AA00007722883366FF00BBEAF200F922BB99BB2200191185CCB5DDBB5B00AA31DD99884133B3BB11EB6622BB0F36FFBB44DBBB4433884111558423BB00CF2222BB9922B60088CC8844662D35EEBB68F7FF9922112FAAFB11DD008EBB5E1111BBBBFFCC22072E7270CE32EA2D6DE2A421401613DA4DA6DC42E42E46FC67B7745046F26426E7967C6AF7D47248D2E32FBCF46EC3E1867E5AB7944B0637F148801BD86C1690E169EF966E28C6468CD1B80D6D2AA69290C9E930E3体知识点），通过学生的回答，检验之前知识的学习效果，通过提问启发式问题，
引发学生的思考，最后引出新课课题，符合学生生理和心理发展的特点。
（缺点）案例中 X 老师采用了直接导入， 该种导入方式具有简单直接，节
省时间的特点，但同时由于不能体现出层层递进式提出问题，激发学生学习兴趣，
启发学生思考，进而引入新课的特点，因此违背了《初中 / 高中数学课程标准》
中“导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良好数学情感”的课程基
本理念。案例中，X 老师直接提出 ________（概括材料），对学生的引导性思考
不足，很明显不能引起学生共鸣，不符合学生生理和心理发展的特点。
类型二：从“教学方式”角度评析。
优点：（1）创设情境问题。案例中 X老师创设了合适的教学情境，层层递进
式的提出问题，引发学生的思考，有利于激发学生的学习兴趣和动机。
（2）多种教学方法融合。案例中X老师在教授__________知识点的过程中，
选择讲授法、提问法和小组讨论法等多种方法进行教学，有利于学生更深入的理
解和掌握知识，增加课堂的良好师生关系，达到良好的教学效果。
（3）教学评价是数学教学活动的重要组成部分。评价的主要目的是全面了
解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
①评价内容多样化。评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的
基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的
表现。评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变
化。案例中X老师________（概括材料），符合要求。②评价形式多样化。应采
用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保
护学生的自尊心和自信心。③评价促进教学。通过评价得到的信息，可以了解学
生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教
学内容与教学过程。
缺点：（1）案例中 X老师在教授________知识点时，只采用了 （教
学方法）这一种教学方法，虽然该种教学方法有______________（写该方法的优
点），但是___________（写该方法的缺点），而且只采用一种教学方法，违背《义
务教育/高中数学课程标准》中多种教学方法相融合的课程基本理念，不利于达
到良好的学习效果。因此，应当予以修正。
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违背了《义务教育/高中数学课程标准中》提出的教学评价是数学教学活动的重
要组成部分。这样不利于全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和
改进教师教学。
类型三：从“师生角色”角度评析
优点：从教师角度分析：（1）首先，教师在教学过程中，准确把握教学内容
的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案，
起到良好的组织者作用，案例中，X教师________（概括材料），符合了该原则；
其次，教师在教学活动中，选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营
造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动，案例中，
X 教师________（概括材料），符合了该原则；再次，在教学过程中，教师以平
等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感
受成功和挫折、分享发现和成果，案例中，X 教师________（概括材料），符合
了该原则。
从学生角度分析：学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不
断得到发展。学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习
的方式，也可以通过自主探索等方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自
己的实践。案例中，学生________（概括材料），符合了该原则。
缺点：【以上优点没有体现的，就可以反过来作为缺点】
缺点：从教师角度分析：（1）首先，教师在教学过程中，应该准确把握教学
内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方
案，起到良好的组织者作用，案例中，X 教师________（概括材料），违背了该
原则；其次，教师在教学活动中，应选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、
努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动，案
例中，X 教师________（概括材料），违背了该原则；再次，在教学过程中，教
师应以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学
生一起感受成功和挫折、分享发现和成果，案例中，X教师________（概括材料），
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从学生角度分析：学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不
断得到发展。学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习
的方式，也可以通过自主探索等方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自
己的实践；案例中，学生________（概括材料），违背了该原则。
类型四：从“提问原则”角度进行评析
优点：（1）目的性原则：课堂提问主次分明，紧扣重点、针对难点、扣住疑
点。案例中该老师________（概括材料），体现了这一原则。
（2）循序渐进性和充分思考性原则：教师课堂提问考虑到学生的认知顺序、
遵循由浅入深，由易到难，由表及里等一系列规律，循序渐进，步步深入。
案例中该老师首先________（概括材料），其次________（概括材料）。体现
了这一原则。
（3）启发性原则：教师课堂提问具有引导、启迪学生的思维、使之应启而
发，而不是仅仅提问学生“对不对”。
（4）兴趣性原则：教师课堂提问能够使学生集中注意力，能够对所学知识
更好地感知、记忆、思维和想象。
（5）全面性与及时评价性原则：教师课堂提问是面向全体学生，是每一个
学生在原有基础上能够得到应有的提高和发展。材料中，教师对学生回答做出明
确的反映，达到良好的课堂学习效果。
缺点：（1）目的性原则：课堂提问没有做到主次分明，紧扣重点、针对难点、
扣住疑点。案例中该老师________（概括材料），违背了这一原则。
（2）循序渐进性和充分思考性原则：教师课堂提问没有考虑到学生的认知
顺序、遵循由浅入深，由易到难，由表及里等一系列规律，循序渐进，步步深入。
案例中该老师首先________（概括材料），其次________（概括材料）。/违背
了这一原则。
（3）启发性原则：教师课堂提问不具有引导、启迪学生的思维、使之应启
而发，而不是仅仅提问学生“对不对”。
（4）兴趣性原则：教师课堂提问不能够使学生集中注意力，能够对所学知
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（5）全面性与及时评价性原则：教师课堂提问应该面向全体学生，是每一
个学生在原有基础上能够得到应有的提高和发展。而材料中，教师没有对学生回
答做出明确的反映，以便达到良好的课堂学习效果。
考点 3：错误归因评析
错误之处：具体哪一步错误，要具体指出来。
错误原因：
学生在解题的过程中（的解法）出现以上错误的，有以下几个原因：
①学生在__________的过程中出现了________错误（概括材料）属于知识方
面的原因，是对_________的（概念不清，算理不明 / 口算不熟，笔算不准）
②在_______的过程中出现了_________错误（概括材料）属于心理方面的原
因，属于________（感知比较粗略（粗心）/ 缺乏耐心 / 思维定式干扰）。
考点 4：改进建议
如果我是该名教师，遇到这样的情况我会进行如下的操作：
（1）知识呈现的改进建议
要认真分析学生出错的原因，找准错误的根源，对症施教。加强……(计算法
则、运算顺序、运算律、运算性质、公式、定理和性质）的教学，理解……(算理、
推导过程）。因此我会向学生提出：①___________；②____________。组织学生
（前后讨论/独立思考），利用课堂中的问题解决学生的困惑。
（2）教学方式的改进建议
教师要认真研究学生，树立正确的学生观。由于 （本题知识点）在学
生以往的学习中已经接触，从而可以利用旧知引出新知，顺应了学生思维发展的
规律，并且重视创设情境和知识总结，帮助学生构建数学体系。
（3）必要的巩固练习
最后在学生掌握该知识的基础上要进行分层练习，形式多样，讲究实效，做
到能围绕重点难点强化练习，易混易错的的对比练习。例如：___________ 。
第五部分 教学设计案例
备注：第一篇属于详细的备课教案，第二篇属于对应的简案，对于资格证
笔试教学设计，选用第二篇写法即可，大家自己读读详细教案，找到上课的感
50
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的写出随便给出的一篇教材内容的教案。
《有理数的除法》教案
一、教学目标
【知识与技能目标】
1.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算；
2.了解倒数概念，会求给定有理数的倒数；
【过程与方法目标】
1.经历实际问题的探索过程，通过观察、操作、发现、探究有理数乘除法是互为逆运算
的关系；
2. 通过将除法运算转化为乘法运算，培养转化的思想，培养观察能力和动手操作能力。
【情感态度与价值观目标】
感受生活中的数学，热爱数学。
二、教学重难点
【重点】
除法法则和除法运算。
【难点】
根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定。
三、教学方法
提问法、讲授法、练习法
四、教学过程
环节一：导入新课
教师活动：教师展示多媒体：请同学们看大屏幕并进行填空。
（1）小明从家里到学校，每分钟走50米，共走了20分钟.问小明家离学校有 米，
列出的算式为
（2）放学时，小明仍然以每分钟50米的速度回家，应该走 分钟。列出的算
式为
从上面这个例子你可以发现，有理数除法与乘法之间的关系是
学生回答：
（1）1000；50×20=1000
（2）20；1000÷50=20
互为逆运算。
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教师提问：小学里学过有关倒数的概念，怎么求一个数的倒数？ 4和 的倒数是多少？
3
0有倒数吗？为什么？
学生回答：用1除以这个数得到这个数的倒数；
1 2 3
4的倒数是 ； 的倒数是 ；
4 3 2
0没有倒数，因为0不能做分母，所以求0的倒数的时候是用1除以0，分母为0没有
意义，因此0没有倒数。
教师提问：我们已知的求倒数的法则在有理数范围中同样适用吗？你能说说以下各数
的倒数是多少吗？
4，2.5，－9，－37，－1，a，a－1，3a，abc，－xy（各字母式不为0）
学生回答：
1 2 1 1 1 1 1 1 1
； ；− ；− ；−1； ； ； ； ；−
4 5 9 37 a a−1 3a abc xy
说明：一个数的倒数与其是正数或负数无关。
1
教师提问：小学里学过的除法与乘法有何关系？例如10÷0.5=10×2；0÷5=0× ，
5
你能总结总结出一句话吗？
师生共同归纳：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
教师活动：我们在小学学到了乘除法是互为逆运算的关系，那么我们现在引进了负数，
也就是说在有理数范围内，乘除法还是互为逆运算的关系吗？不妨我们这节课就探究一下。
教师板书课题。
设计意图：教师通过多媒体展示问题，提问学生回答关于简单的乘法和除法的应用题，
联系实际意义并归纳有理数乘法与除法之间的关系；通过回忆倒数的求法和练习求倒数，归
纳出乘法和除法为互逆运算，从而达到知识的迁移，为后面学习有理数的除法和除法法则做
铺垫。
环节二：新课讲授
（一）有理数的除法法则1
过渡：现在老师来给大家一个关于行走的小问题
教师提问：规定向东走为正，向西走为负，东西走向的甲乙两地相距80米，小明每次
从甲地向乙地走10米。小明向哪个方向共走多少次到达乙地？列出算式。
学生回答：向西走8次到达乙地；80÷(−10)=−8
教师提问：计算：80×(−1/10)
学生回答：80×(−1/10)=−8
教师提问：观察这两个等式，你会发现这两个算式有什么关系？
学生回答：80÷(−10)=80×(−1/10)
教师提问：观察上面的等式从左边到右边的变形都发生了什么变化？
学生回答：从左边到右边的变形是除法变成了乘法，除数变成了这个数的倒数。
教师提问：学习了负数后，乘除法是互为逆运算的关系还成立吗？
学生回答：成立。
师生共同归纳：有理数除法法则1：
除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
（二）有理数的除法法则2
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有理数除法的其他法则呢？
教师提问:请同学们思考一下，如何运用除法法则1进行有理数的除法运算？
学生回答：第一步求出除数的倒数，第二步将除法变成乘法，用被除数乘以除数的倒数，
第三步运用有理数的乘法法则进行乘法运算。
教师展示多媒体：请同学们看下面的练习题
1
（1）8÷(－4) （2） (－15)÷3 （3）(−1 )÷(−2)
4
1 1
（4）(－15)÷(－3) （5）(－12)÷(− ) （6）(−8)÷(− )
6 4
（7）0÷(－3)
教师分配任务：前后四人为一个小组，做多媒体上的练习题，五分钟之后找各小组代表
来黑板写出结果。
学生板书：
1
（1）8÷(－4)= 8×(− )=−2；
4
1
（2）(－15)÷3 =(－15)× =−5
3
1 5 1 5
（3）(−1 )÷(−2)=(− )×(− )=
4 4 2 8
1
（4）(−15)÷(−3)=(−15)×(− )=5
3
1
（5）(－12)÷(− )=(－12)×(−6)=72
6
1
（6）(−8)÷(− )=(－8)×(−4)=32
4
（7）0÷(－3)=0×(−1/3)=0
教师提问：请同学们观察（1）（2）两道小题中的除数和被除数以及商的性质符号，类
比乘法法则归纳出除法有什么规律吗？
学生回答：两数相除，异号得负，并把绝对值相除。
教师提问：请同学们观察（3）（4）（5）（6）两道小题中的除数和被除数以及商的性
质符号，类比乘法法则归纳出除法有什么规律吗？
学生回答：两数相除，同号得正，并把绝对值相除。
教师活动：通过（7）的运算不难看出0除以任何一个不等于0的数，都得0。
通过以上分析我们不难得出有理数乘除法法则2：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都
得0。
教师提问：请同学们思考一下，如何运用除法法则2进行有理数的除法运算？
学生回答：第一步确定商的性质符号，第二步被除数的绝对值除以除数的绝对值。
教师总结：非常好，我们在做除法运算的时候，跟乘法运算一样，先确定商的性质符号，
再进行除法的运算即被除数的绝对值除以除数的绝对值。在除的过程中，我们可以将除数进
行倒数运算之后与被除数相乘。
设计意图：通过实际例子和计算练习，以小组讨论的形式计算并且归纳出有理数除法的
两个法则，同时让同学们更好地用数学知识解决生活中的问题，培养同学们对数学的兴趣。
53
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过渡：那现在同学们已经知道了有理数除法的两个法则，下面我来考考大家。
教师提问（展示多媒体，并找学生口述解题过程教师板书）：大家看一下ppt上的这几
道题，谁能来口述一下解题的过程？没提问到的同学可以在本子上简单写一下。
例1.计算并指出运用法则1还是法则2运算简单？
2 1
（1）(+48)÷(+6) （2） −3 5
3 2
（3）4÷(−2) （4）0÷(−1000).
解：
（1）(+48)÷(+6)=+（48÷6）=8 运用法则2
2 1
（2）(−3 )÷(5 )=（−11/3)×2/11=−2/3 运用法则1
3 2
（3）4÷(−2)=−（4÷2）=−2 运用法则2
（4）0÷(−1000)=0 运用法则2
例2.计算.
2 3
（1）(-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)]; （2）375÷(− )÷(− );
3 2
（1）解法一：
(-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)]
=(-1155)÷（11×3×5）
=(-1155)÷165
=-（1155÷165）
=-7
解法二：(利用约分）
(-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)]
=(-1155)÷（11×3×5）
=(-1155)×1/（11×3×5）
=-7
2 3
（2） 375÷(− )÷(− );
3 2
3 2
=375× ×
2 3
=375
教师总结：上述两个例题同学们在做的过程中要记住除法的两个法则，尤其是符号的判
断，我们可以简单记住为只有乘除法的时候，如果有奇数个负号，那么商为负，如果有偶数
个负号的话，那么商的符号为正。
环节三：巩固提升
过渡：通过前面的讲解和练习，我想大家应该已经了解了有理数的除法
教师提问：那么现在我们来看几个例题，大家在练习本上做一下，针对每道例题提问后
进行同桌互评。
1.计算： （1）－10÷(－3) （2） 0.16÷(-0.1)
3
（3）8÷(－0.5) （4） (－8)÷
4
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（5）（－3）÷ （6） (－ )÷(－0.25)
6 5
2、计算：（1）(－9)÷3； （2）(－64)÷(－8)；
（3）1÷(－7)； （4）0÷(－5)。
设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学
生思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用，找学生代表去黑板练习，这也充分
体现学生的主体性地位。最后针对练习结果，进行统一订正，并对他们的表现作出及时的
评价，亦体现课程评价在课堂中的合理应用。
环节四：课堂小结
教师引导学生谈一谈本节课的收获：
1.有理数除法有两种法则。法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化
为乘法来解决问题。法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计
算绝对值。
2.对于除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况选用，一般在不能整除的情况下应
用第一法则。如在有整除的情况下，应用第二个法则比较方便。
设计意图：在小结环节先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，不
仅是为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉
感，使他们更加热爱数学。
环节五：作业设计
1.将课本课后练习2做到作业本上；
2.生活中还有那些实际问题利用到了有理数的除法，大家找一找，尝试解决它。
设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。
《有理数的除法》简案（资格证版）
一、教学目标
【知识与技能目标】
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会进行有理数的除法运算。
【过程与方法目标】
经历实际问题的探索过程，通过观察、操作、发现、探究有理数乘除法是互为逆运算的
关系，培养转化的思想，培养观察能力和动手操作能力。
【情感态度与价值观目标】
感受生活中的数学，热爱数学。
二、教学重难点
【重点】
除法法则和除法运算。
【难点】
根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定。
三、教学方法
提问法、讲授法、练习法
四、教学过程
环节一：导入新课
教师活动：教师展示多媒体：请同学们看大屏幕并进行填空。提出以下问题：从上面这
个例子你可以发现，有理数除法与乘法之间的关系是什么？
学生活动：学生填空后观察得出有理数除法与乘法之间的关系为互为逆运算。
教师活动：我们在小学学到了乘除法是互为逆运算的关系，那么我们现在引进了负数，
也就是说在有理数范围内，乘除法还是互为逆运算的关系吗？不妨我们这节课就探究一下。
教师板书课题。
设计意图：教师通过多媒体展示问题，提问学生回答关于简单的乘法和除法的应用题，
联系实际意义归纳有理数乘法与除法之间的关系，归纳出乘法和除法为互逆运算，从而达到
知识的迁移，为后面学习有理数的除法和除法法则做铺垫。
环节二：新课讲授
1.有理数的除法法则1
教师活动：教师提出问题：规定向东走为正，向西走为负，东西走向的甲乙两地相距80
米，小明每次从甲地向乙地走10米。小明向哪个方向共走多少次到达乙地？列出算式。
给予大家6分钟时间，独自思考后可以抢答，针对回答结果，相机评价。
学生活动：有的学生回答出，向西走8次到达乙地；80÷(−10)=−8；有的学生回答：
80×(−1/10)=−8。
教师活动：针对学生的回答，教师给予评价后，顺势引导学生观察并总结：从左边到右
边的变形是除法变成了乘法，除数变成了这个数的倒数。所以，有理数除法法则1：除以一
个不等于0数等于乘以这个数的倒数。
2.有理数的除法法则2
教师活动：教师再次提出问题：如何运用除法法则1进行有理数的除法运算？
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第三步运用有理数的乘法法则进行乘法运算。
教师活动：教师展示多媒体展示教材练习题，教师分配任务：前后四人为一个小组，做
多媒体上的练习题，五分钟之后找各小组代表来黑板写出结果。针对回答结果，订正并评价。
学生活动：学生展示他们的回答结果。
教师活动：请同学们观察各题目中的除数和被除数以及商的性质符号，类比乘法法则归
纳出除法有什么规律吗？
学生活动：两数相除，异号得负，并把绝对值相除。两数相除，同号得正，并把绝对值
相除。
教师活动：师生共同总结出有理数乘除法法则2：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都
得0。做有理数除法运算时，第一步确定商的性质符号，第二步被除数的绝对值除以除数的
绝对值。
设计意图：通过实际例子和计算练习，以小组讨论的形式计算并且归纳出有理数除法的
两个法则，同时让同学们更好地用数学知识解决生活中的问题，培养同学们对数学的兴趣。
3.例题讲解
教师活动：教师利用多媒体展示例题，并找学生口述解题过程教师板书，最后评价并总
结。
学生活动：积极回答思考结果。
环节三：巩固提升
教师通过多媒体展示不同类型、不同层次的练习题目，引导学生独自思考并作答，或
者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。
设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学
生思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用，找学生代表去黑板练习，这也充分
体现学生的主体性地位。最后针对练习结果，进行统一订正，并对他们的表现作出及时的
评价，亦体现课程评价在课堂中的合理应用。
环节四：课堂小结
教师引导学生从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的回
答，相机评价并总结。
设计意图：在小结环节先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，不
仅是为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉
感，使他们更加热爱数学。
环节五：布置作业
1.将课本课后练习2做到作业本上；
2.生活中还有那些实际问题利用到了有理数的除法，大家找一找，尝试解决它。
设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。
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