文档内容
新高二开学摸底考试卷（湖北专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项
是符合题目要求的）
1．若 （ 是虚数单位），则复数 的模为
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ， ， ，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B互斥不对立 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立
4．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中
O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样
本量为 的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则 （ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
5．已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为9，则另一
组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7
6．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑
为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原
四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（ ）
A．12.5尺､10833立方尺 B．12.5尺､32500立方尺
C．3.125尺､10833立方尺 D．3.125尺､32500立方尺
7．已知函数 在 上单调递增，且当 时， 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九
章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看
出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
，其中 、 、 分别为 内角 、 、 的对边.若
， ，则 面积 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．在 中， ， ，则角 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正六边形 的中心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在实数 ，使得 D．
11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面
体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多
面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A．该半正多面体的表面积为
B． 与平面 所成角的正弦值为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．若点 ， 分别在线段 ， 上，则 的最小值为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， .设
， ，则 的最小值为 .
13．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，若 为
钝角三角形， ，则 外接圆的半径R的取值范围是 ．
14．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外
包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5
月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠
（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心О在PC上， ， ，
，则该鞠（球）的表面积为 .四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题
17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办
了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有
人，按年龄分成5组，其中第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组：
，第五组： ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这 人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的
年龄的平均数与方差分别为37和 ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这 人
中35~45岁所有人的年龄的方差.
16．已知函数 .
(1)求 的最小正周期和对称中心；
(2)在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，求 的取值范围.
17．A，B，C，D四人参加双淘汰赛制比赛．在第一轮的两场比赛中，A对B，C对D，这两场比赛的
胜者进入优胜组，负者进入奋斗组．第二轮的两场比赛分别为优胜组和奋斗组的组内比赛，奋斗组中
的胜者与优胜组中的负者均进入超越组，奋斗组中的负者直接被淘汰，优胜组中的胜者进入卓越组，
第三轮比赛为超越组组内比赛，胜者进入卓越组，负者为季军．第四轮比赛为卓越组组内比赛，胜者
为冠军，负者为亚军，每轮比赛都相互独立．
(1)设A，B，C，D四人每轮比赛的获胜率均为 ．
①求A和B都进入卓越组的概率；
②求D参加了四轮比赛并获得冠军的概率．(2)若B每轮比赛的获胜率为 ，A，C，D三人水平相当，求A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的
概率．
18．如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，
请说明理由.
19．已知平面四边形 ， ， ， ，现将 沿 边折起，
使得平面 平面 ，此时 ，点 为线段 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点
①求 与平面 所成角的正弦值；
②求二面角 的平面角的余弦值．
