文档内容
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2023 年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷
数学
温馨提示：
1.本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的对应位置上，并仔细阅读答题
卡上的“注意事项”．
3.答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将该选项的序号按要求在答题卡上的指定位
置涂黑．每小题3分，共42分）
1. 化简 的结果是（ ）
A. B. 20 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 表示 的相反数，据此解答即可．
【详解】解： ，
故选：B
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗
产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那
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么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．
【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．
3. 年5月19日是第 个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游
出游合计 人次，同比增长 ．将数字 用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 为整数，确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义和表示法．
4. 如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点S
【答案】B
【解析】
【分析】根据先估算 的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵
∴ ，即 ，
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∴数轴上表示实数 的点可能是Q，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出 介于哪两个整数之间是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，乘法公式处理．
【详解】A. ，正确，符合题意；
B. ，原计算错误，本选项不合题意；
C. ，原计算错误，本选项不合题意；
D. ，原计算错误，本选项不合题意；
【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．
6. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校 名学
生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为 A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比
较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统
计图信息，下列结论不正确的是（ ）
A. 样本容量是 B. 样本中C等级所占百分比是
C. D等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生A等级大约有 人
【答案】C
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【解析】
【分析】用B等的人数除以B等的百分比即可得到样本容量，用C等级人数除以总人数计算样本中C等级
所占百分比，用 乘以D等级的百分比即可计算D等级所在扇形的圆心角，用全校学生数乘以A等级
的百分比即可得到全校学生A等级人数，即可分别判断各选项．
【详解】解：A．∵ ，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意；
B．样本中C等级所占百分比是 ，故选项正确，不符合题意；
C．样本中C等级所占百分比是 ，D等级所在扇形的圆心角为
，故选项错误，符合题意；
D．估计全校学生A等级大约有 （人），故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意，准确计算是解题的关键．
7. 已知 ，则 的值是（ ）
A. 6 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】 变形为 ，将 变形为 ，然后
整体代入求值即可．
【详解】解：由 得： ，
∴
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，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将
变形为 ．
8. 如图，在 中， ， ， ．点F是 中点，连接 ，把线段
沿射线 方向平移到 ，点D在 上．则线段 在平移过程中扫过区域形成的四边形 的周
长和面积分别是( )
A. 16，6 B. 18，18 C. 16.12 D. 12，16
【答案】C
【解析】
【分析】先论证四边形 是平行四边形，再分别求出 、 、 ，继而用平行四边形的周长公
式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知： ，
∴四边形 是平行四边形，
在 中， ， ， ，
∴
在 中， ， ，点F是 中点
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∴
∵ ，点F是 中点
∴ ， ，
的
∴点D是 中点，
∴
∵D是 的中点，点F是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴四边形 的周长为： ，
四边形 的面积为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平
行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形 是平行四边形和 是 的中
位线是解题的关键．
9. 化简 的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：
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．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
10. 如图，圆内接四边形 中， ，连接 ， ， ， ， ．
则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 根据圆内接四边形对角互补得出 ，根据圆周角定理得出
，根据已知条件得出 ，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵圆内接四边形 中， ，
∴
∴
∵
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∴ ，
∵
∴ ,
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11. 某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从
这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：设 分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下，
共有9种等可能结果，符合题意得出有1种，
∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
12. 用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
13. 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线
长为30 ，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点 A处开始，绕侧面一
周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为 ，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为 ，进而即
可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ，
∴
解得：
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∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示， 即为所求，过点 作 ，
∵ ， ，则
∵ ，则
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角
为 解题的关键．
14. 如图，把一个边长为5的菱形 沿着直线 折叠，使点C与 延长线上的点Q重合． 交
于点F，交 延长线于点E． 交 于点P， 于点M， ，则下列结论，①
，② ，③ ，④ ．正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得 ，根据等角对等边即可判断①正确；
根据等腰三角形三线合一的性质求出 ，再求出 即可判断②正确；由
得 ，求出 即可判断③正确；根据 即可判断④错误．
【详解】由折叠性质可知： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故 正确；
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 与 不相似．
∴ ．
∴ 与 不平行．
故 错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱
形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（请把答案填写在答题卡的相应横线上．每小题3分，共12分）
15. 分解因式： =____.
【答案】
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【解析】
【分析】先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】 ．
故答案为：
16. 方程 的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
17. 为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 地和 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来 地去
往 地需要绕行到 地的路线，改造成可以直线通行的公路 ．如图，经勘测， 千米，
， ，则改造后公路 的长是___________千米（精确到 千米；参考数据：
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， ， ， ）．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点 作 于点 ，分别解 ，求得 ，进而即可
求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ （千米）
改造后公路 的长是 千米，
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
18. 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在
直线 上，若 ，则点E的坐标是____________．
【答案】 和
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE的外角，
，而 ，所以此时 ，有 ，可求出
所在直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得到关
于 的方程，求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，可以证
明 ， 得 到 为 直 角 三 角 形 ， 延 长 至 ， 取 ， 此 时 ，
，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形，
点 和 关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标．
【详解】解：在 中，当 时， ，则有 ，
令 ，则有 ，
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解得： ，
∴ ，
根据 点坐标，有
所以 点坐标
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，
解得
∴ 所在直线的解析式为：
当 点在线段 上时，设
而
∴
∴
因为： ， ，
有
解得： ，
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所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况
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找到 点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效；解答时要写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤．共8题，满分96分）
19. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，
进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角
的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
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20. 已知：如图，点M在 的边 上．
求作：射线 ，使 ．且点N在 的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
③画射线 ．
④以点M为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点N．
⑤画射线 ．
射线 即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ 平分 ．
∴ ① ，
∵ ，
∴ ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)
∴ ．
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∴ ．( ④ )．(填写推理依据)
【答案】（1）见解析 （2）① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；
（2）由 平分 推导 ，由 推导 ，从而推出
，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定 ．
【小问1详解】
根据意义作图如下：射线 即为所求作的射线．
【小问2详解】
证明：∵ 平分 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
故答案为：① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线 的判定等知识，根据题意正
确画出图形是解题的关键．
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21. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的
竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： _________， _________， _________；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：
（3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这
两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1）79，79，27；
（2）乙，见解析； （3）42人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解；
（2）结合平均数，方差代表的数据信息说明；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数．
【小问1详解】
解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数 ，众数
；
乙班数据方差
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【小问2详解】
乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总
体乙班成绩比较好．
【小问3详解】
获奖人数： （人）．
答：两个班获奖人数为42人．
【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的
关键．
22. 某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品
与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多 元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
的
（2）若使甲乙两种电子产品 销售总收入不低于 万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
【答案】（1）甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
（2）至少销售甲种电子产品 万件．
【解析】
【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价 元，乙种电子产品的销售单价 元，根据等量关系： 件甲
种电子产品与 件乙种电子产品的销售额相同， 件甲种电子产品比 件乙种电子产品的销售多 元，
列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种电子产品 万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于 万元，列出不等
式求解即可．
【小问1详解】
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解：设甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ；
答：甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
【小问2详解】
解：设销售甲种电子产品 万件，则销售乙种电子产品 万件．
根据题意得： ．
解得： ．
答：至少销售甲种电子产品 万件．
【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意
的不等关系及等量关系．
23. 定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标
相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点
， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
（2）点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H
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的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x的取值范围是
___________．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接
， ， ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ，
（2） ， ， 或
（3） 是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判断当
时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出 ， ， ，即
可判断 的形状．
【小问1详解】
∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴矩形 “梦之点” 满足 ， ，
∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
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∴把 代入 得 ，
∴ ，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线 上，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ，
函数图象如图：
由图可得，当 时，x的取值范围是 或 ；
故答案为： ， ， 或 ；
【小问3详解】
是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线 上的“梦之点”，
∴联立 ，解得 或 ，
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∴ ， ，
∵
∴顶点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两
点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
24. 如图， 是 的直径， 是 上一点过点 作 于点 ，交 于点 ，点 是
延长线上一点，连接 ， ， ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出 ，利用已知条件进行等量转换即可求
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出 ，最后利用 可证明 ，从而证明 是 切线．
（2）根据互余的两个角相等，利用 可求出 ，设参数表示出 和 ，再根据
勾股定理用参数表示出 和 ，最后利用 即可求出参数的值，从而求出 长度，即可求
的长．
【小问1详解】
解：连接 ， ，如图所示，
， 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
是 切线．
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示，
由（1）得， ，
，
，
．
，
．
设 则 ，
在 中， ，
．
在 中， ．
，
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，
．
．
，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于
利用参数表达线段长度．
25. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与
平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘
正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似
是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/
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的
（1）在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应 点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状
的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起
始点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过
网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长
为274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27
．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）见解析 （2）① ； ；②
（3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【解析】
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， ；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当
时， ，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
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【小问2详
解】
①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为
，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问3详解】
∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
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即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．
26. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的三角尺放在正方形 中，使
角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的两边 ， 始终与正方形
的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ．
【探究一】如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ．
连接 交 于点 ，求 的值．
【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]
【解析】
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【分析】[探究一]证明 ，即可得证；
[探究二]根据正方形的性质证明 ，根据三角形内角和得出 ，加上公共角
，进而即可证明
[探究三]先证明 ，得出 ， ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，则点 在直线 上．得出 ，根据全等三角形的性质得出
，进而可得 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出
，即可得出结论．
【详解】[探究一]
∵把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中
∴
∴
[探究二]证明：如图所示，
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∵四边形 是正方形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵公共角 ，
∴ ；
[探究三] 证明：∵ 是正方形的对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 在直线 上．
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∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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