海南省海南中学2024届高三上学期第三次月考数学(1)_2024年1月_021月合集_2024届海南省海南中学高三上学期第三次月考

海南中学 2024 届高三年级第 3 次月考 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. （-3，2] B. [-3，2） C. （2，3] D. [2，3） 2. 已知 为虚数单位，且复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知点 是 所在平面内的一点，且 ，设 ，则 （ ） A. B. C. 3 D. 4. 我国古代学者庄子在 庄子 天下篇 中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今 天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有 尺长的线段，每天取走它的 ， 天后剩下的线段长度不超过 寸 尺 寸 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，且 ，则 的值等于（ ） A. B. C. 2023 D. 2024 6. 已知 ， ，则 （ ）. A B. 4 C. D. 7. 若函数 在区间 内有极值点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已 知 在 中 ， 角 的 对 边 分 别 为 ， ， 点 Q 在 边 BC 上 ， 且 满 足 （ ）， ，则 的最小值是（ ） A. 32 B. 36 C. 72 D. 80 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 B. 有A，B，C三种个体按 的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 C. 若随机变量 ，则其数学期望 D. 若随机变量 ， ，则 10. 已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则（ ） A. 数列 是递减数列 B. C. 时，n 最的大值是18 D. 11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确 的是（ ） A.B. 的取值范围是 C. 若 为边 上中点，且 ，则 的最小值为 D. 若 面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为 12. 已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ， ，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数 则f(14)=_____ 14. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函 数 为偶函数，则 _____ 15. 已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为__________． 16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广 泛.若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如果函数 ， 数列 为牛顿数列，设 且 ，数列 的前 项和为 ，则 _______，____________. 四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数 ． （1）求函数 的单调递增区间； （2）当 时， ，求 的值． 18. 设 为数列 的前 项和．已知 ． （1）证明：数列 是等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答 一道有关党 的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两名同学都回答错误的概率是 ， 乙、丙两名同学都回答正确的概率是 .若各同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率. 20. 如图，在平面四边形 中， ， ， ．的 （1）若 ，求 面积； （2）若 ， ，求 ． 21. 已知等比数列 是递增数列，且 ， . （1）求 通项公式； （2）在 和 之间插入1个数 ，使 、 、 成等差数列；在 和 之间插入2个数 、 ， 使 、 、 、 成等差数列；…；在 和 之间插入 个数 、 、…、 ，使 、 、 、…、 、 成等差数列.若 ，且 对 恒成立，求实数 的取值范围. 22. 已知函数 . 的 （1）当 时，讨论函数 单调性； （2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： (其中 是自然对 数的底数).海南中学 2024 届高三年级第 3 次月考 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. （-3，2] B. [-3，2） C. （2，3] D. [2，3） 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得集合 ， ，再结合集合的交集和补集的运算，即可求 解. 【详解】由题意，集合 ，则 ， 又由 ， 所以 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记对数的运算性质正确求解集合 ，再根据集合 的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 2. 已知 为虚数单位，且复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】由题 ，则 . 故选：D 3. 已知点 是 所在平面内的一点，且 ，设 ，则 （ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，可得 为 的中点，由图形结合平面向量基本定理用 将 表示出 来，再结合 ，可求出 的值，从而可求得答案 【详解】由题意作图，因为 ，所以 为 的中点， 所以 ， 因为 ， 所以由平面向量基本定理可得 ， 所以 ， 故选：D 4. 我国古代学者庄子在 庄子 天下篇 中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今 天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有 尺长的线段，每天取走它的， 天后剩下的线段长度不超过 寸 尺 寸 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得出不等式 ，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知， 田后剩下的弦长长度为 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，即 的最小值是 . 故选：C. 5. 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，且 ，则 的值等于（ ） A. B. C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】先设等差数列 的公差为 ，根据等差数列前 项和的性质，得到 也是等差数列，由题 意，求出 ，即可得出结果. 【详解】设等差数列 的公差为 ， ， 所以数列 是等差数列，公差为 ，又 ，则 ，即 ，又 ， 所以 ， ，解得 . 故选：B. 6. 已知 ， ，则 （ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式、正切公式，结合同角公式求解即得. 【详解】由 ，得 ， 两边除以 ，得 ，即有 ， 又 ，因此 ， 所以 . 故选：C 7. 若函数 在区间 内有极值点，则实数 取的值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，依题意可得 在区间 内有零点，参变分离可得 ，根据对 勾函数的性质求出 的取值范围，即可得到 的取值范围，最后检验 时不符合题意，即可得解. 【详解】解： 函数 ， ， 若函数 在区间 上有极值点， 则 在区间 内有零点， 由 可得 ， 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， ， 所以 ， ， 当 时， ，不符合题意， 所以实数 的取值范围是 . 故选：C． 8. 已 知 在 中 ， 角 的 对 边 分 别 为 ， ， 点 Q 在 边 BC 上 ， 且 满 足 （ ）， ，则 的最小值是（ ） A. 32 B. 36 C. 72 D. 80【答案】B 【解析】 【分析】根据向量关系，可得 平分角 ，利用三角形面积公式求出 的关系，再利用基本不等 式“1”的妙用求解. 【详解】向量 分别是与向量 同向的单位向量，由 （ ）， 得 是 的内角 的平分线，则 ，而 ， 于是 ，化简得 ，即 ， 所以 ，当且仅当 ， 时取等号， 所以当 ， 时， 取得最小值36. 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 B. 有A，B，C三种个体按 的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 C. 若随机变量 ，则其数学期望 D. 若随机变量 ， ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项， 根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率. 【详解】A选项：平均数为： ，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为 ，故A正确； B选项：样本的容量为 ，故B错误； C选项：由 ，故C正确； D选项： ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则（ ） A. 数列 是递减数列 B. C. 时，n的最大值是18 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得 、 ，结合通项公式和前n项求和公式 计算，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列 的公差为 ， 由 ，得 ， 解得 ，因为 ，所以 . A：由 ，可得 所以等差数列 为递增数列，故A错误； B： ，故B正确； C： ，由 可得 ，所以 ，又 ， 所以n的最大值是18，故C正确； D： ， ， 由 ，得 ，故D错误. 故选：BC. 11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确 的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若 为边 上中点，且 ，则 的最小值为 D. 若 面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换化简已知式可判定A，根据三角恒等变换及正弦函数性质求解范围可判定 B，由余弦定理、平面向量的线性运算及基本不等式可判定C，由基本不等式及余弦定理可判定D. 【详解】对于A项，由 得 ，即 ， 因为 ，则 ， 若 显然不符题意，或者 也不符合题意， 所以 ，即 ，所以 ，故A正确；对于B项， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，即 的取值范围是 ，故B错误； 对于C项，由余弦定理知 ， 又 为边 上中点，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 时，取得等号，所以 ，所以 ，故C正确； 对于D项，不妨设 三边上的高分别 ，则 ， 又 ，所以 ，所以 ， 根据余弦定理知 ，所以 ， . 当且仅当 时，取得等号，故D正确 故选：ACD 12. 已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ， ，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ） A. B. C. D.【答案】ABC 【解析】 【分析】由 是偶函数得出 是奇函数，由已知两条件推出 是以4为周期的函数，进而可得 为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得． 【详解】因为 是偶函数，则 ，两边求导得 ， 所以 是奇函数，故 ， 由 ， ，得 ， 即 ，所以 是周期函数，且周期为4， ， ，所以 ， 对选项A：由 ，令 得， ，所以 ，故A正确； 对选项B：由 ，令 得， ，故 ，所以B正 确； 对选项C：由 ，可得 ， 又 ，所以 ， 又 是奇函数， ， 所以 ，又 ， 所以 ，即 ， 所以 ， ， ， 所以函数 为周期为4的偶函数， 所以 ，故C正确；对选项D： ，由题得不出 ，所以 不一定成立， 故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数 的奇偶性及周期性，进而得到函数 的性 质，然后利用赋值法求解. 第二部分 非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数 则f(14)=_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数，由 求解. 【详解】解：因为函数 ， 所以 ， 故答案 ：为 14. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函 数 为偶函数，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数平移变换求出 ，然后根据奇偶性求出参数 的值.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度， 得 ， 因为 为偶函数，即 为 对称轴， 所以 ， 化简得 ， 因 为，所以 . 故答案为： 15. 已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，利用向量的模长、夹角公式、向量的坐标表示以及向量的运算律计算求解. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 又 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ， 所以向量 与 的夹角为 ， 因为向量 与 的夹角范围为： ，所以向量 与 的夹角为 . 故答案为： . 16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广 泛.若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如果函数 ， 数列 为牛顿数列，设 且 ，数列 的前 项和为 ，则 _______， ____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对函数求导，结合已知得 ，进而求得 ，根据等比数列定义及前 项和求 、 ，最后求 即可. 【详解】因为 ，则 ， 则 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ， 所以， ，即 ，因为 ，即 ，解得 . 故答案为： ； . 四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数 ． （1）求函数 的单调递增区间； （2）当 时， ，求 的值． 【答案】（1） . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由降幂公式化简即可得到函数 的解析式，再由正弦型函数的单调区间，即 可得到结果； （2）根据题意，由条件可得 ，再由余弦 和的差角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得： ， 由 ，可得 ； 所以 的单调递增区间是 .【小问2详解】 ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 18. 设 为数列 的前 项和．已知 ． （1）证明：数列 是等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出 的值，当 时，由 可得出 ，两式 作差可得出 ，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列 的通项公式，可求得 的表达式，再利用裂项相消法可求得 . 【小问1详解】 证明：已知 ①， 当 时， ②，① ②得： ，即 ， 所以， ， 当 时，则 ，则 ， 所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，则 ， 所以， ， 所以， ， . 19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答 一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两名同学都回答错误的概率是 ， 乙、丙两名同学都回答正确的概率是 .若各同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率. 【答案】（1） 和 （2）【解析】 【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事 件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解； （2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事 件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C， 则 ， ， ， 即 ，所以 ， ， 所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为 和 . 【小问2详解】 有0名同学回答正确的概率 ， 有1名同学回答正确的概率 ， 所以不少于2名同学回答正确这道题的概率 . 20. 如图，在平面四边形 中， ， ， ． （1）若 ，求 的面积；（2）若 ， ，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出 ，再利用面积公式即可求出结果； （2）在 和 中，利用正弦定理，建立等量关系 和 ，从而 得到 ，再化简即可得出结果. 【小问1详解】 因为 ， ， ，由余弦定理得 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ． 【小问2详解】 设 ， 在 中，由正弦定理得 ，所以 ①， 在 中， ， ，则 ，即 ② 由①②得： ，即 ，∴ ， 整理得 ，所以 ． 21. 已知等比数列 是递增数列，且 ， . （1）求 通项公式； （2）在 和 之间插入1个数 ，使 、 、 成等差数列；在 和 之间插入2个数 、 ， 使 、 、 、 成等差数列；…；在 和 之间插入 个数 、 、…、 ，使 、 、 、…、 、 成等差数列.若 ，且 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等边数列的通项与前 项和列式解出 或 ，再由 是递增数列，得出，即可得出答案； （2）若 、 、 、…、 、 成等差数列，设其公差为 ，即可得出 ， ，结合等差数列前 项和得出 ，即可根据错位相减法得出 ，则 ，令 ，则数列 为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案. 【小问1详解】 设 的公比为 ， 由 ， 得： ， 解得 或 ， 因为 是递增数列， 所以 ，则 ， 所以 . 【小问2详解】 在 和 之间插入 个数 、 、…、 ， 使 、 、 、…、 、 成等差数列，设其公差为 ， 此数列首项为 ，末项为 ， 则 ， ， 则又 , 则 , 则 ， 则 ， 令 ，则数列 为递减数列， 由 对 恒成立， 则当 为偶数时， 对 恒成立，则 ； 当 为奇数时， 对 恒成立，则 ，即 ， 综上实数 的取值范围为 . 22. 已知函数 . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： (其中 是自然对 数的底数). 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数 的定义域与导函数，再对 分类讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由题意， ， 是方程 的两个根，即可得到 ，令则 ，则 ，只需证明当 时，不等式 成立即可. 【小问1详解】 函数 的定义域为 ， 则 ， 当 时令 ，解得 或 ， 当 ，即 时 恒成立，所以 在 上单调递增； 当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递 增， 令 ，解得 ，则 在 上单调递减； 当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增， 令 ，解得 ，则 在 上单调递减； 综上可得， 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 【小问2详解】因为 ，由题意 ， 是方程 的两个根， ①， ②， ①②两式相加，得 ③，①②两式相减，得 ④， 联立③④，得 ， ， 设 ， ， ， ， ， 因为 ，所以 ，则 ， 若 ，则一定有 ， 只需证明当 时，不等式 成立即可，即不等式 成立，即不等式 成立， 设函数 ， ， 在 上单调递增，故 时， ， 即证得 成立，即证得当 时， ，即证得 ， ，即证得 ，则 ． 【点睛】思路点睛：本题第二问是导数应用中的函数零点，双变量问题.根据函数零点的定义可得 ， ，两式相加，相减运算可得， ， 即得 ，令 ，即 ，又易证 ，只需证明当 时，不等式 成立即可，即不等式 成立，构造函数 ， 用导数证明即可.