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2024 届新高考基地学校第三次大联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位
置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线 与曲线 相切，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 是 的边 上的高，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司6. 设点 ，抛物线 上的点P到y轴的距离为d．若 的最小值为2，则 （
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
7. 已知 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A. 15 B. 26 C. 28 D. 32
8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为S，则（
）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在四棱锥 中，底面 是菱形，P在底面上的射影E在线段 上，则（ ）
A. B.
C. 平面 D. ⊥平面
10. 设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的
可能取值为（ ）
A. B. C. D.
11. 在生物科学和信息科学中，经常用到“S型”函数： ，其导函数为 ，则（ ）
A. 有极值点 B. 点 是曲线 对称中心
的
C. 是偶函数 D. ，
12. 某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有A和B两种结果．第一轮是对所有生
产产品进行检测，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品需进行第二轮检测．在第二轮检
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学科网（北京）股份有限公司测中，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结
果为A的概率是0.95，乙等品检测结果为A的概率是0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为 ，
则（ ）
A. 已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025
B. 已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0025
C. 从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为0.8125
D. 已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于0.001
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有______个．
14. 已知圆C的半径为5，圆心C在第一象限，且直线 与x轴截圆C所得弦长都为6，则圆心C
的横坐标为______．
15. 写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ______．
① 是二次函数；② 是奇函数；③ 在 上是减函数．
16. 把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 的图象关于原
点对称，则 的最小值为______；若曲线 上存在唯一一点 ， ，满足点A
关于原点的对称点B也在曲线 上，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等比数列 的公比 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 ．
18. 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过m元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：
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学科网（北京）股份有限公司从装有大小、形状完全相同的4个黑球2个红球的盒子中随机取2个小球，若2个小球都为红色，则获100
元奖金；若2个小球为1红1黑，则获30元奖金；若2个小球都为黑色，则获10元奖金．
（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为X元，求X的概率分布列和数学期望；
（2）该超市去年店庆日共有3000名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活
动总奖金预设为12000元，依据去年店庆日的数据，给出合理的m的值，并说明理由．
19. 记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若D是边 上一点， ，且 ，求 的面积，
20. 如图，在直三棱柱 中， ， ，两个质点分别从点 和点
的
同时出发，均以每秒 个单位长度 速度分别向点 ， 作直线移动.如图，点 , 分别是两质点
移动 秒后到达的位置．
（1）证明： 平面 ；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司.
21 已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求a的取值范围；
（2）若 的最小值为3，求a．
22. 已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于
A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为 ．
（1）求C的方程；
（2）当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．
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