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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.
【详解】由题设 ， ，
.
所以
故选：D
2. 已知复数 ， ，若 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.
【详解】 为纯虚数，
所以 .
故选：C
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当 时，函数值的正负即可判断
作答.
【详解】函数 的定义域为R， ，即函数 是
奇函数，排除CD；
当 时， ，即当 时，函数 的图象在x轴的上方，显然A不满足，
B满足.
故选：B
4. 已知 是空间两个不同的平面， 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，且 ，则
B. 若 ， ，且 ，则
C. 若 ， ，且 ，则
D. 若 ， ，且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分别分析各个选项可得解.
【详解】对于A，若 ， ，且 ，则 可能相交或平行，故A错误；
对于B，若 ， ，且 ，则 可能相交或平行，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，若 ， ，且 ，则 可能相交或平行，故C错误；
对于D，若 ， ，则 在平面 内或 ，又 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
5. 已知角 始的边为 轴非负半轴，终边经过点 ，将角 的终边顺时针旋转 后得到角 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义可得 ，依题意得 ，结合两角差的正切公式运算求值.
【详解】因角 的终边经过点 ，由三角函数的定义可得 ，
又依题意得 ，所以 ，
故选：B.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上的一点 作 的垂线，垂足为 ，若
（ 为坐标原点），且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】表达出 和点 坐标，利用 的面积求出 ，即可得出 的方程.
【详解】由题意，
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学科网（北京）股份有限公司在抛物线 中， ，
焦点 ，准线
∴ ， ，则
∴ ，解得：
∴ 的方程为： .
故选：C.
7. 一个轴截面是边长为 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球 后，再放入一个
球 ，则球 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设易知放入一个半径为1的小球 后，圆锥轴截面中小球 的截面圆为内切圆，要使比值
最大，球 的半径 最大，利用内切圆性质求 ，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.
【详解】由边长为 的正三角形的内切圆半径为 ，
即轴截面是边长为 的正三角形的圆锥内切球半径为 ，
所以放入一个半径为1的小球 后，再放一个球 ，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司要使球 的表面积与容器表面积之比的最大，即球 的半径 最大，
所以只需球 与球 、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时 ，
所以球 的表面积为 ，圆锥表面积为 ，
所以球 的表面积与容器表面积之比的最大值为 .
故选：A
8. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若关于 的方程 有
4个不同实根 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式得 ，讨论其符号求 范围，进而写出 解析式并
画出草图，数形结合得 、 ，即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，
若 ，则 ，可得 ，
所以 ,
若 ，则 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，其函数图象如下图，
要使 有4个不同实根 ，则 ，
由图知： ，故 ，且 ，
所以 的范围为 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出 的图象为关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、
性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比超过
B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过
C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用
其中间值作代表）
【答案】BC
【解析】
【分析】由图1和图2可判断A选项，由图3可判断B选项，由图4可判断C、D选项
【详解】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比为
，故A正确；
由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为 ，故B错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
，故C错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为
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学科网（北京）股份有限公司，故D正确.
故选：BC
10. 若矩形 的所有顶点都在椭圆 上，且 ， ，点 是
上与 不重合的动点，则（ ）
A. 的长轴长为4 B. 存在点 ，使得
C. 直线 的斜率之积恒为 D. 直线 的斜率之积恒为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据椭圆的对称性结合 可判断椭圆焦点在 轴上，由此求得 坐标，
代入椭圆方程求得 ，得解；对B、D，设点 代入运算可判断得解；对C，举反例可判断.
【详解】因为矩形 的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得 关于原点对称， 关于原点
对称，
由 ， ，可得 ，即椭圆焦点在 轴上，
如图所示，又 ， ，易得 ， ， ， .
对于A，将点 代入椭圆方程可得 ，解得 ，椭圆的方程为 ，所以椭圆
的长轴长为4，故A正确；
对于B，设点 ，且 ， ，则 ， ，
所以 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司即当 时， ，故B正确；
对于C，当点 是左顶点时， ，则 ， ，
所以 ，故C错误；
对于D，设点 ，且 ， ，
则 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知正数 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设 ，求出 ，利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计
算判断B；利用作差法计算判断CD.
【详解】依题意，设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
对于A， ，A正确；
对于B， ，而 ，即有 ，则 ，
又 ， ，即有 ，则 ，
所以 ，B正确；
对于C，由选项A知， ，得 ，
则 ，C错误；
对于D， ，
因此 ，D错误.
故选：AB
12. 在棱长为1的正方体 中，点 满足 ，其中 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 点轨迹所在直线与平面 平行
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司D. 若 与平面 所成角的大小为 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B、C根据条件确定 点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离
最短判断；D由条件得 在线段 上运动，令 ，则 ，结合三角
恒等变换及正弦型函数性质求最值判断.
【详解】A：若 为中点，当 时 在线段 上运动，而 ，
面 ， 面 ，则 面 ，A对；
B：由 ，则 在线段 上运动；在正方体中易知 ，
且 面 ， 面 ，则 ，
， 面 ，则 面 ， 面 ，
所以 ，同理可证 ，又 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，则 ，B对；
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学科网（北京）股份有限公司C：若 ，则 在线段 上运动；
将面 翻折至与面 共面，如下图， ，
所以 共线时 的最小值为 ，C错；
D：若 与平面 所成角的大小为 ，连接 ，又 面 ，
结合正方体性质 ，要使线面角 恒为 ，
只需 在面 中以 为圆心， 为半径的圆弧 上运动；
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学科网（北京）股份有限公司如上图，令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据条件确定 点运动轨迹为关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】应用导数几何意义求切线方程即可.
【详解】由题设 ，则 ，故点 处的切线方程为 ，
所以 .
故答案为：
14. 的展开式中 的系数为______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】要产生 可能是1个 ，1个 ，3个 或1个 ，2个 ，2个 ，分别进行计算求解
即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 的展开式中要产生 可能是1个 ，1个 ，3个 或1个 ，2个
，2个 ，
故展开式中含 项为 ，
即展开式中 的系数为 .
故答案为： .
15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法
国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规
作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立
方体的边长为 ，作两条互相垂直的直线，相交于点 ，在一条直线上截取 ，在另一条直线上截取
，在直线 上分别取点 ，使 （只要移动两个直角尺，使一个
直角尺的边缘通过点 ，另一个直角尺的边缘通过点 ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角
顶点即为 ），则线段 即为所求立方体的一边.以直线 、 分别为 轴、 轴建立直角坐标系，
若圆 经过点 ，则圆 的方程为______.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题设有 求 、 ，再求出 坐标和圆的半径，进而写出圆的方程.
【详解】由题设， ，则 ，
所以 ，
由 ，要使圆 经过点 ，则圆心 为 中点，
所以 且半径为 ，
故圆 的方程为 .
故答案为：
16. 已知数列 满足 ，集合 ，若 恰有4个子集，则 ______.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题设 有且仅有2个对应值，结合等差数列定义得 ， ，根据
正弦型函数周期性，只需研究 是否相等，应用分类讨论求对应集合 .
【详解】由 恰有4个子集，故集合 共有2个元素，即 有且仅有2个对应值，
由 ，即 是公差为 的等差数列，则 ， ，
所以 的最小正周期为 ，则角 必与 中的一个终边相同，
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学科网（北京）股份有限公司所以 中有且仅有 且必有两个相等，
若 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
若 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
若 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
当 时，不妨取 ，则 ， ，此时 满足；
综上， 或 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或
【点睛】关键点点睛：利用集合子集个数得 有且仅有2个对应值，根据等差数列定义、正弦型函数
的周期性，转化为研究 且必有两个相等为关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记 为数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题设及 关系得 ，构造新数列并结合等差数列定义写出通项
公式，进而可得 ；
（2）应用裂项相消法求前n项和.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，
又 ，故 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 ，则 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，
所以 .
18. 已知 的内角 的对边分别为 ， 为锐角， 的面积为 ，
.
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）如图，若 ， ， 为 内一点，且 ， ，求 的长.
【答案】（1）直角三角形或钝角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面积公式及余弦定理代入化简，然后利用正弦定理边化角可得答案；
（2）由（1）的结果得到 为等腰直角三角形，然后解 ，可得 ，进而可得 ，
再解 即可求出 的长.
【小问1详解】
，
，即 ，
再由正弦定理边化角得 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司为
，又 锐角，
，
或 ，
或 ，
为直角三角形或钝角三角形；
【小问2详解】
由（1）的结果以及 ，可得 ，
为等腰直角三角形，又 ，
，
在 中，
则 ，解得 ，负值舍去，
又 ，
，
，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司.
19. 如图，在三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，三棱锥 的体积为18，点 在棱 上，且 ，求平面 与
平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过 以及平面 平面 ，利用面面垂直的性质得 面 ，
进而利用三棱柱的性质可得 ；
（2）先利用体积求出 ，在利用 两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法可求面面角.
【小问1详解】
， ，
，即 为直角三角形，
，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
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学科网（北京）股份有限公司面 ，又 面 ，
，又 ，
；
【小问2详解】
由（1）得 面 ，又 ，故 两两垂直，
则 ，得 ，
如图建立空间直角坐标系，
则 ，
设面 的法向量为 ，且 ，
，取 得 ，
设面 的法向量为 ，且 ，
，取 得 ，
，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞
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学科网（北京）股份有限公司机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中 等高校为C919大飞机做出了
重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：
气动总 结构强 航 飞 液
项目
体 度 电 控 压
参与人
5 5 3 4 3
数
B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：
气动总 气动外
结构强 航电设 液压系 起落架
设计论 体 形 度 计 统 的
证 设计论 设计论
论证 论证 论证 论证
证 证
参与教
师
（1）某科普博主准备从 共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的
贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求
被选到，且C在第2天被介绍的概率；
（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人
员的概率；
（3）若从B高校参与的6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求
X的分布列与期望.
【答案】（1） ;
（2） ;
（3） 的分布列为
3 4 5
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学科网（北京）股份有限公司.
【解析】
【分析】（1）C、D均被选到，且C在第2天被介绍有 种情况，再由古典概型的概率公式即可求得
结果；
（2）从A高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员，从对立事件求其概率；
选到气动总体设计人员的情况，也从对立事件求其概率，再结合条件事件的概率公式
即可求得结果；
（3）6个论证项目中，其中有4个项目B高校参与教师人数为1人；有2个项目B高校参与教师人数为2
人，由分析可知， ，进而写出 的分布列，求出 .
【小问1详解】
C、D均被选到，且C在第2天被介绍记为事件A，
.
【小问2详解】
从A高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员记为事件B，
从A高校参与设计的20人中随机选3人，选到气动总体设计人员记为事件C，
,
,
,
所以在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率为 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意知， ，
; ; .
的分布列为
3 4 5
.
21. 已知双曲线Γ： ， ， 为Γ的左、右顶点， 为Γ上一点，
的斜率与 的斜率之积为 ．过点 且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
（1）求Γ的方程；
（2）若点E，F为直线 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
【答案】（1） ；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可知 ，根据条件列出方程组，进而即得；
（2）设直线MN的方程为 ，联立双曲线方程求得 ，再由直线 和 的方
程，求得交点的横坐标，即可求解．
【小问1详解】
由题意得 ，又 为Γ上一点， 的斜率与 的斜率之积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以双曲线Γ的标准方程为 ；
【小问2详解】
设直线MN的方程为 ，
由 ，可得 ，则
， ，
设 ， ， ， ， ，
所以 ，
直线 ： ， ： ，
联立两方程，可得：
，
解得 ，
当直线 与x轴重合时，则 ，
： ， ： ，联立可得 ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司综上，直线ME与NF的交点在定直线 上.
22. 已知函数 .
（1）若 有唯一极值，求 的取值范围；
（2）当 时，若 ， ，求证： .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，分析极值点情况即可得解.
（2）由（1） 的信息可设 ，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时，若 ， ，函数 在 上单调递增，无极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，函数 有两个极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，函数 有两个极值点，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，2是函数 的极大值点，且是唯一极值点，
所以 的取值范围是 .
【小问2详解】
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ，不妨令 ，
要证 ，只证 ，即证 ，就证 ，
令 ，求导得
，于是函数 在 上单调递减， ，
而 ，则 ，即 ，又 ，
因此 ，显然 ，又函数 在 上单调递增，则有 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
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学科网（北京）股份有限公司
