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2026年中考数学常考考点专题之二元一次方程组
一．选择题（共12小题）
1．（2025•开原市二模）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三
人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐 5人，2车空出来；每车坐3人，多出10人无
车坐．问人数和车数各多少？设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为（ ）
{5(y-2)=x {5 y-2=x
A． B．
3 y+10=x 3 y+10=x
{ 5 y-2=x {5(y-2)=x
C． D．
3(y+10)=x 3 y-10=x
2 ． （ 2025• 怀 宁 县 二 模 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 对 于 任 意 一 点 P （ x ， y ） ， 规 定 ：
{|x|(|x|≥|y|)，
f(x，y)=
例如f（﹣4，3）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所
|y|(|x|＜|y|)，
有满足该条件的点P围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．16
π {4x+2y=5k-4
3．（2025•长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＝1，则k的
2x+4 y=5
值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
4．（2025•泌阳县二模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，
在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个3×3的表格，其每行、每列、每条
对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则x﹣2y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．4
5．（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用 100元钱购买甲，乙，
丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个 5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在
丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
第1页（共26页）A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
6．（2025•台江区校级模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，绳多一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5
尺；将绳子对折再量木条，木条短1尺．木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方
程组为（ ）
{y=x+4.5
{y=x+4.5
A． 1 B．
y=x-1 y=2x-1
2
{y=x+4.5
{y=x-4.5
C． 1 D．
y=x+1 y=2x+1
2
7．（2025•兴宁市校级一模）已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2025＝（ ）
A．2025 B．1 C．﹣2025 D．﹣1
{3x-2y=〇 {x=☆
8．（2025•利通区校级二模）关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则〇和☆代表的
2x+ y=1 y=3
数分别为（ ）
A．﹣9和﹣1 B．9和1 C．﹣3和﹣1 D．﹣3和1
9．（2025•安顺三模）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若
2 人坐一辆车，则 9 人需要步行，问：人与车各多少？设有 x 辆车，y 个人，甲列出方程组
{y=3(x-2)
，乙列出方程3（x﹣2）＝2x+9，则下列说法正确的是（ ）
y-9=2x
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．（2025•福田区校级三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级
捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有x人，
男生有y人．根据题意，所列方程组为（ ）
{ x+ y=37 { x+ y=37
A． B．
3x+2y=92 2x+3 y=92
{ x+ y=92 { x+ y=92
C． D．
3x+2y=37 2x+3 y=37
11．（2025•龙沙区三模）为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会
第2页（共26页）为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有
（ ）种购买方案．
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（2025•高碑店市三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳
1 1
绳个数的 刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的 刚好也等于220个”．设甲
4 3
的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（ ）
1 1
A．x+ y=220 B．y+ x=220 C．8x＝9y D．x＝160
4 3
二．填空题（共8小题）
13．（2025•分宜县模拟）《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙
半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文．如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱
50 文．甲、乙各 带了 多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组为
．
{x=2
14．（2025•通辽校级二模）已知 是二元一次方程x+ky＝8的一个解，则k的值为 ．
y=3
15．（2025•广河县一模）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大
肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱
共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每
斤鱼y元，可列方程组为 ．
16．（2025•陕西模拟）如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，
则图中阴影部分的面积为 ．
17．（2025•襄州区校级模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙
二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：
第3页（共26页）2
不知道甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有 50钱；如果把甲的钱 给乙，则乙也有
3
50钱．问：甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有
钱．
{x=-2 {2x+3 y=m
18．（2025•大庆模拟）已知 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，则m﹣2n的
y=1 nx- y=3
值为 ．
19．（2025•宁德二模）已知我市某景区成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人．暑假期间，小明与小
红两家共8人一同前往该景区游玩，一共支付门票520元．用二元一次方程组解决该问题时，若设成
人有 x 人，儿童有 y 人，已经列出的一个方程是 x+y＝8，则符合题意的另一个方程是
．
20．（2025•西湖区二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在
一起总高度为16cm，则一个碗的高度为 cm．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•琼中县一模）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进
了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共需54元，购进3个A种礼品
比购进5个B种礼品多花12元．问A，B两种礼品每个的进价是多少元？
22．（2025•榆林模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交
通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2辆A型汽车、3辆B型汽
车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每
辆进价分别为多少万元？
23．（2025•徐州模拟）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，
并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度．
第4页（共26页）24．（2025•亳州三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”，“九宫格”来源于“洛书”，将不
重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样
便构成了一个“九宫格”，如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．
（1）写出图2中a和b之间的数量关系；
（2）求出图3中x和y的值．
25．（2025•包河区三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量
的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
文具 A B
进价（元/件） 30 40
售价（元/件） 38 50
（1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？
（2）该文具店将购进的A、B两种文具全部实完后一共可获得多少利润？
第5页（共26页）2026年中考数学常考考点专题之二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B C D C D． A A A C
题号 12
答案 D
一．选择题（共12小题）
1．（2025•开原市二模）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三
人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐 5人，2车空出来；每车坐3人，多出10人无
车坐．问人数和车数各多少？设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为（ ）
{5(y-2)=x {5 y-2=x
A． B．
3 y+10=x 3 y+10=x
{ 5 y-2=x {5(y-2)=x
C． D．
3(y+10)=x 3 y-10=x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据每车坐5人，2车空出来，可列方程5（y﹣2）＝x，根据每车坐3人，多出10人无车坐
可列方程3y+10＝x，即可得到相应的方程组．
{5(y-2)=x
【解答】解：根据题意，可列方程组为： ．
3 y+10=x
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程组．
2 ． （ 2025• 怀 宁 县 二 模 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 对 于 任 意 一 点 P （ x ， y ） ， 规 定 ：
第6页（共26页）f(x，y)=
{|x|(|x|≥|y|)， 例如f（﹣4，3）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所
|y|(|x|＜|y|)，
有满足该条件的点P围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．16
【考点】解二元一次方程组． π
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】D
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两种情况分别
进行讨论即可得到点P组成的图形．
【解答】解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为图中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为图中正方形的左
边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为图中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为图中正方形的
下边．
所以所有满足该条件的点P围成的图形的面积为4×4＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段
第7页（共26页）上的点的坐标特征．
{4x+2y=5k-4
3．（2025•长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＝1，则k的
2x+4 y=5
值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【考点】二元一次方程组的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
5k+1
【分析】两式相加即可得到x+y= =1，进而求解即可．
6
{4x+2y=5k-4①
【解答】解： ，
2x+4 y=5②
方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1，
5k+1
∴x+y= =1，
6
解得k＝1；
方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13，
10k-13
解得x= ③，
6
10k-13
将③代入②，得 +4y＝5，
3
14-5k
解得y= ，
6
10k-13
{x=
6
∴原二元一次方程组是解为 ，
14-5k
y=
6
∵x+y＝1，
10k-13 14-5k
∴ + =1，
6 6
∴k＝1．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题的关键．
4．（2025•泌阳县二模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，
第8页（共26页）在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个3×3的表格，其每行、每列、每条
对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则x﹣2y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．4
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，可列出关于 x，y的二元一次方程组，
解之可得出x，y的值，再将其代入（x﹣2y）中，即可求出结论．
{ 4+x=3-2
【解答】解：根据题意得： ，
4+1-2= y+1+3
{x=-3
解得： ，
y=-1
∴x﹣2y＝﹣3﹣2×（﹣1）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用 100元钱购买甲，乙，
丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个 5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在
丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【考点】三元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x，y，z个，根据题意列方程得5x+10y+15z＝100，化简后根
据x，y，z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x，y，z个，
根据题意列方程得5x+10y+15z＝100，
即x+2y+3z＝20，
由题意得x，y，z均为正整数．
第9页（共26页）①当z＝1时，x+2y＝17，
17- y
∴x= ，
2
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z＝2时，x+2y＝14，
14- y
∴x= ，
2
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6＝14种购买方案，
综上所述，只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题
关键．
6．（2025•台江区校级模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，绳多一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5
尺；将绳子对折再量木条，木条短1尺．木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方
程组为（ ）
{y=x+4.5
{y=x+4.5
A． 1 B．
y=x-1 y=2x-1
2
{y=x+4.5
{y=x-4.5
C． 1 D．
y=x+1 y=2x+1
2
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
1
【分析】根据题意可知：“绳长＝木条+4.5， 绳长＝木条+1”，列出二元一次方程组即可．
2
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
{y=x+4.5
1 ，
y=x+1
2
第10页（共26页）故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程组．
7．（2025•兴宁市校级一模）已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2025＝（ ）
A．2025 B．1 C．﹣2025 D．﹣1
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；代数式求值．
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【专题】计算题；方程思想；实数；运算能力．
【答案】D．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，
{2x+ y+3=0①
∴ ，
x- y+3=0②
∴x＝﹣2，y＝1，
∴（x+y）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为 0，则这几个非负数分别等于0，并正确得
出未知数的值是解题的关键．
{3x-2y=〇 {x=☆
8．（2025•利通区校级二模）关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则〇和☆代表的
2x+ y=1 y=3
数分别为（ ）
A．﹣9和﹣1 B．9和1 C．﹣3和﹣1 D．﹣3和1
【考点】二元一次方程组的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把y＝3代入2x+y＝1，求出x的值，再把x，y的值代入第一个方程中，进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：把y＝3代入2x+y＝1，
得：2x+3＝1，
解得：x＝﹣1，
即：☆代表的数为﹣1，
把x＝﹣1，y＝3代入3x﹣2y＝〇，
得：〇＝3×（﹣1）﹣2×3＝﹣9；
故选：A．
第11页（共26页）【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确进行是解题关键．
9．（2025•安顺三模）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若
2 人坐一辆车，则 9 人需要步行，问：人与车各多少？设有 x 辆车，y 个人，甲列出方程组
{y=3(x-2)
，乙列出方程3（x﹣2）＝2x+9，则下列说法正确的是（ ）
y-9=2x
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出
关于x，y的二元一次方程组，或者根据总人数不变这一等量关系列出关于x的一元一次方程．
【解答】解：∵若3人坐一辆车，则两辆车是空的，
∴y＝3（x﹣2），
∵若2人坐一辆车，则9人需要步行，
∴y﹣9＝2x，
{y=3(x-2)
则 或3（x﹣2）＝2x+9，
y-9=2x
∴甲、乙都正确．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，
正确列出方程是解题的关键．
10．（2025•福田区校级三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级
捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有x人，
男生有y人．根据题意，所列方程组为（ ）
{ x+ y=37 { x+ y=37
A． B．
3x+2y=92 2x+3 y=92
{ x+ y=92 { x+ y=92
C． D．
3x+2y=37 2x+3 y=37
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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第12页（共26页）【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数＝37；②男生捐书本数+女生捐书本数＝
92，根据等量关系列出方程组即可．
{ x+ y=37
【解答】解：根据题意得： ，
3x+2y=92
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，再列出方程组．
11．（2025•龙沙区三模）为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会
为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有
（ ）种购买方案．
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】二元一次方程的应用．
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【专题】销售问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】可设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据购买跳绳共花费450元钱，列出方
程，再根据整数的性质即可求解．
【解答】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有：
30x+45y＝450，即2x+3y＝30，
∵x，y均为正整数，
∴xx＝3，y＝8或x＝6，y＝6或x＝9，y＝4或x＝12，y＝2，共有4种购买方案．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
12．（2025•高碑店市三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳
1 1
绳个数的 刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的 刚好也等于220个”．设甲
4 3
的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（ ）
1 1
A．x+ y=220 B．y+ x=220 C．8x＝9y D．x＝160
4 3
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
第13页（共26页）【答案】D
【分析】根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案．
1
{x+ y=220
4
【解答】解：根据题意可列方程组为 ．
1
y+ x=220
3
解得x＝180，y＝160，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，理解题意是关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•分宜县模拟）《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙
半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文．如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱
1
{x+ y=50
2
50文．甲、乙各带了多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ．
2
x+ y=50
3
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，
1
列出一个关于x和y的二元一次方程：x+ y=50，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也
2
2
共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程： x+y＝50，从而得到答案．
3
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
∵如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文，
1
∴x+ y=50，
2
∵如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文，
第14页（共26页）2
∴ x+y＝50，
3
1
{x+ y=50
2
则可列方程组为： ，
2
x+ y=50
3
1
{x+ y=50
2
故答案为： ．
2
x+ y=50
3
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是
解题的关键．
{x=2
14．（2025•通辽校级二模）已知 是二元一次方程x+ky＝8的一个解，则k的值为 2 ．
y=3
【考点】二元一次方程的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
{x=2
【分析】把 代入方程计算即可求出k的值．
y=3
{x=2
【解答】解：将 代入x+ky＝8得：2+3k＝8，
y=3
解得：k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025•广河县一模）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大
肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱
共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每
{10x+3 y=77
斤鱼y元，可列方程组为 ．
9x=5 y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每斤肉x元，每斤鱼y元，根据77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的
第15页（共26页）钱列方程组即可得到结论．
【解答】解：设每斤肉x元，每斤鱼y元，
{10x+3 y=77
列方程组为 ，
9x=5 y
{10x+3 y=77
故答案为： ．
9x=5 y
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
16．（2025•陕西模拟）如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，
则图中阴影部分的面积为 6 0 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】60
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由图形列出方程组，即可求解．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
{ x=3 y
由题意可得： ，
x+2y=20
{x=12
解得： ，
y=4
∴阴影部分的面积＝15×20﹣5×12×4＝60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量共线是解题的关键．
17．（2025•襄州区校级模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙
二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：
2
不知道甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有 50钱；如果把甲的钱 给乙，则乙也有
3
75
50钱．问：甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有 2 5 钱．
2
第16页（共26页）【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
75
【答案】 ，25．
2
2
【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱
3
给乙，则乙也有50钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲原有x钱，乙原有y钱，
1
{x+ y=50
2
根据题意得： ，
2
x+ y=50
3
{ 75
x=
解得： 2 ，
y=25
75
∴甲原有 钱，乙原有25钱．
2
75
故答案为： ，25．
2
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
{x=-2 {2x+3 y=m
18．（2025•大庆模拟）已知 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，则m﹣2n的
y=1 nx- y=3
值为 3 ．
【考点】二元一次方程组的解；代数式求值．
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【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
{2x+3 y=m
【分析】根据题意，把x＝﹣2，y＝1分别代入方程组 中，求出m，n的值，然后把m，n
nx- y=3
的值分别代入m﹣2n进行计算即可大小答案．
{x=-2 {2x+3 y=m
【解答】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，
y=1 nx- y=3
∴2×（﹣2）+3×1＝m，﹣2n﹣1＝3，
解得：m＝﹣1，n＝﹣2，
∴m﹣2n＝﹣1﹣2×（﹣2）＝﹣1+4＝3．
第17页（共26页）故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关
键．
19．（2025•宁德二模）已知我市某景区成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人．暑假期间，小明与小
红两家共8人一同前往该景区游玩，一共支付门票520元．用二元一次方程组解决该问题时，若设成
人有x人，儿童有y人，已经列出的一个方程是x+y＝8，则符合题意的另一个方程是 8 0 x +4 0 y ＝ 520
．
【考点】二元一次方程组的应用；由实际问题抽象出二元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】80x+40y＝520．
【分析】设成人有x人，儿童有y人，根据“成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人，一共支付门
票520元”，列出方程即可．
【解答】解：设成人有x人，儿童有y人，
根据“成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人，一共支付门票520元”，列出二元一次方程得：
80x+40y＝520．
所以符合题意的另一个方程是80x+40y＝520．
故答案为：80x+40y＝520．
【点评】本题主要查了二元一次方程组的应用，由实际问题抽象出二元一次方程，关键是根据题意找
到关系式．
20．（2025•西湖区二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在
一起总高度为16cm，则一个碗的高度为 7 cm．
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7．
【分析】设一个碗的高度为x cm，每多叠放1个碗高度增加y cm，根据“款式相同的4个碗叠放在一
起总高度为11.5cm，7个碗叠放在一起总高度为16cm”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即
可得出结论．
第18页（共26页）【解答】解：设一个碗的高度为x cm，每多叠放1个碗高度增加y cm，
{x+3 y=11.5
根据题意得： ，
x+6 y=16
{ x=7
解得： ，
y=1.5
∴一个碗的高度为7cm．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•琼中县一模）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进
了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共需54元，购进3个A种礼品
比购进5个B种礼品多花12元．问A，B两种礼品每个的进价是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元．
【分析】设A种礼品每个的进价是x元，B种礼品每个的进价是y元，根据题意：购进3个A种礼品和
2个B种礼品共需54元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元，列出方程组，解出即可得出答
案．
【解答】解：设A种礼品每个的进价是x元，B种礼品每个的进价是y元，
{3x+2y=54
根据题意，可得： ，
3x-5 y=12
{x=14
解得： ，
y=6
答：A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，列出方程组．
22．（2025•榆林模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交
通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2辆A型汽车、3辆B型汽
车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每
辆进价分别为多少万元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
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【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】25万元、10万元．
【分析】设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆
第19页（共26页）B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元
{2x+3 y=80
由题意可得， ．
3x+2y=95
{x=25
解得 ．
y=10
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次
方程组．
23．（2025•徐州模拟）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，
并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度．
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】这种书的厚度为1.5cm，竖放时的高度为22cm．
【分析】本题先设这种书的厚度为x cm，竖放时的高度为y cm，然后根据题干信息找到等量关系，
列出方程组，即可求解；
【解答】解：设厚度为x cm，竖放时的高度为y cm，根据题干信息找到等量关系可得：
{34x+9=2y+16
，
16x+6= y+8
{x=1.5
∴ ，
y=22
答：这种书的厚度为1.5cm，坚放时的高度为22cm．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键．
24．（2025•亳州三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”，“九宫格”来源于“洛书”，将不
重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样
便构成了一个“九宫格”，如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．
第20页（共26页）（1）写出图2中a和b之间的数量关系；
（2）求出图3中x和y的值．
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）b＝a+1；
{x=16
（2） ．
y=5
【分析】（1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可；
（2）令第一行第二列为a，第三行第三列为b，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相
等列二元一次方程组，整理后求解即可
【解答】解：（1）由题意可知，b+7+2＝2+a+8，
即a和b之间的数量关系为b＝a+1；
（2）如图，令第一行第二列为a，第三行第三列为b，
{x+a+2=a+ y+13 {x- y=11
则根据题意列二元一次方程组得， ，即 ，
x+ y+b=2+19+b x+ y=21
{x=16
解得 ，
y=5
所以x的值为16，y的值为5．
第21页（共26页）【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键．
25．（2025•包河区三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量
的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
文具 A B
进价（元/件） 30 40
售价（元/件） 38 50
（1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？
（2）该文具店将购进的A、B两种文具全部实完后一共可获得多少利润？
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）该文具店购进A种文具96件，B种文具78件；
（2）该文具店将购进的A、B两种文具全部实完后一共可获得1548元利润．
【分析】（1）设该文具店购进A种文具x件，B种文具y件，根据“该文具店用6000元购进A、B两
种文具，且B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每件A种文具的销售利润×购进A种文具的数量+每件B种文具的销售利润×购进B
种文具的数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该文具店购进A种文具x件，B种文具y件，
{30x+40 y=6000
根据题意得： 1 ，
y- x=30
2
{x=96
解得： ．
y=78
答：该文具店购进A种文具96件，B种文具78件；
（2）根据题意得：（38﹣30）×96+（50﹣40）×78
＝8×96+10×78
＝768+780
＝1548（元）．
答：该文具店将购进的A、B两种文具全部实完后一共可获得1548元利润．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
第22页（共26页）考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一
项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×
进价
人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
第23页（共26页）（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要
求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、
求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以
二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知
数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
7．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起
来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等
中的有关公式．
8．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
9．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
第24页（共26页）（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次
方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求
方程中的字母系数．
10．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组
中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个
未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的
值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组
的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相
等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两
个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把
{x=a
所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
y=b
11．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系
起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，
有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去
分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
第25页（共26页）（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设
几个未知数，就要列几个方程．
13．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几
个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
声明：试题解析著
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