重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试题_2024届重庆一诊康德卷普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测

2024 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合A{1， 2， 3， 4， 5}，B{x|2x2 11x120}，则A B  A．{1， 2} B．{2， 3} C．{3， 4} D．{4， 5} 2． 已知复数z abi，若z iz，则 A．ab0 B．ab0 C．ab0 D．ab1 3． 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a， b可以分别大致反映 这组数据的 A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数 a b 4． 若4cos2sin(2)2，则tan2 1 A．2 B． C．1 D．2 2 5． 在经济学中，常用 Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下 Logistic 模型： e0.970.127x P(x) ，其中x是客户年收入（单位：万元），P(x)是按时还款概率的预测值．如果某人年 1e0.970.127x 收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3） A．0.35 B．0.46 C．0.57 D．0.68 6． 已知 f(x)ln(1x)ln(abx)是奇函数，则 f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 A．y2x B．y  x C．y 0 D．y2x 7． 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），BC 1，将其沿BD折起，使得面ABD面BCD，若 D 三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 7 A．2 B． C 3 45 8 C． D．3 60 3 A B 8． 已知函数 f(x)满足 f(x y) f(x) f(y)2， f(1)4且当x 0时， f(x)2，若存在x[1， 2]， 使得 f(ax2 4x) f(2x)1，则a的取值范围是 第一次联合诊断检测（数学）第1页 共9页1 1 5 5 2 1 2 A．(0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ] 2 2 8 8 3 2 3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。  9．下列函数中，其图象关于点( ， 0)对称的是 6   A．y sin(2x ) B．y sin(2x ) 3 3   C．y cos(2x ) D．y tan(2x ) 6 6 10．已知椭圆E：x2 4y2 a2 (a 0)和E：y2 4x2 4a2 (a 0)，则 1 2 A．E 与E 的长轴长相等 B．E 的长轴长与E 的短轴长相等 1 2 1 2 C．E 与E 的离心率相等 D．E 与E 有4个公共点 1 2 1 2 11．已知三棱柱ABCABC ，D，E，F 分别是棱AB，BC，CA的中点，记三棱柱ABCABC 的体积为 1 1 1 1 1 1 V ，则 1 A．棱锥A DEF 的体积为 V 1 24 1 B．棱锥A  ADEF 的体积为 V 1 6 5 C．多面体AB ABEF的体积为 V 1 1 12 2 D．多面体ABC DEF的体积为 V 1 1 1 3 12．若不相等的两个正数a，b满足a2 b2 abab，则 4 A．ab1 B．ab 3 1 1 C．ab D．ab 3 2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1， 2的黑球和编号为1， 2， 3的白球，从中随机取出两个球， 在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 ． 14．若向量a，b满足|a|1，|b|2，若b与a的夹角为锐角，则a(ab)的取值范围是 ． 15．记数列a 的前n项和为S ，若S 2a ，且S 252，则 ． n n n n 6 第一次联合诊断检测（数学）第2页 共9页16．已知F， F 分别是双曲线C：x2  y2 a2 (a0)的左、右焦点，过F 作一直线交C于M，N 两点，若 1 2 2 MF F 120，且△MNF 的周长为1，则C的焦距为 ． 2 1 1 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 已知数列{a }是等差数列，且a 1，a a 2． n 5 8 10 （1）求{a }的通项公式； n （2）[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7][1]1，[1.5][2]2．若b 2[a n ]，T 是数列{b }的 n n n 前n项和，求[T ]． 11 18．（12分） 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八 节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节” 民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群． （1）在100名受调人群中，得到如下数据： 了解程度 年龄 不了解 了解 30岁以下 16 24 50岁以上 16 44 根据小概率值0.1的2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异； （2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回 答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但 不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望． n(adbc)2 参考公式：①2= ． (ab)(cd)(ac)(bd) 独立性检验常用小概率值和相应临界值：  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828  第一次联合诊断检测（数学）第3页 共9页②随机变量X，Y 的期望满足：E(X Y) E(X)E(Y) 19．（12分） a2sinBsinC 在△ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a， b， c，已知△ABC的面积S  ． cosA （1）求tanA； 5 （2）若cosBcosC  ，a 1，求b2 c2． 5 20．（12分） 如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB  2 ，BC 2，BAD 45，PA PD． P （1）证明：PB  BC； （2）若PA3，PC  13，求二面角APBC 的余弦值． D C A B 21．（12分） 已知A(2， 2)，B，C是抛物线E：x2 2py上的三点，且直线AB与直线AC 的斜率之和为0． （1）求直线BC的斜率； （2）若直线AB，AC 均与圆M ：x2 (y2)2 r2(0r  3)相切，且直线BC被圆M 截得的线段 2 30 长为 ，求r的值． 5 22．（12分） 已知函数 f(x)ex (1a)xlnax．（e为自然对数的底数） （1）当a 1时，证明 f(x)存在唯一的极小值点x ，且 f(x )2； 0 0 （2）若函数 f(x)存在两个零点，记较小的零点为x ，s是关于x的方程ln(1x)cosxax 2的根， 1 1 证明：s x ． 1 第一次联合诊断检测（数学）第4页 共9页