文档内容
2024 年四川省达州市中考数学试题
本考试为闭卷考试．考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ
卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-8页，共8页．
温馨提示：
1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题
卡对应位置，待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信
息是否一致．
2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再
选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内．
超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．
3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡．不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁．
4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、单项选择题（每小题4分．共40分）
的
1. 有理数2024 相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求
解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是 ，
故选：B．
的
2. 大米是我国居民最重要 主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定
在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
1【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：2亿 ，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算
法则是解题的关键．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（
）
A. 热 B. 爱 C. 中 D. 国
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔
一个正方形，据此作答即可．
2【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字
是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，
故选：B．
5. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在
30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得．
【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为 ，
∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．
故选：C．
6. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中
， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得 ，代入数据，即可求解．
【详解】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵ ， ，
∴
故选：B．
7. 甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．
甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的 倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设
乙每小时加工 个零件．可列方程为（ ）
3A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工 个零件，则甲每小时加工 个零件，
再根据时间 工作总量 工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时加工 个零件，则甲每小时加工 个零件，
由题意得 ，
故选：D．
8. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2， ，其中点 ， ，
都在格点上，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别在格点
上，根据菱形的性质，进而得出 ，解直角三角形求得 的长，根据对顶角相等，进而
根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别在格点上，
4依题意， ，
∴
∴
又 ，
∴
∴
故选：B．
9. 抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，
则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
，依题意， ，根据题意抛物线开口向下，当 时， ，即可判断A选项，
根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，
据此，即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵ ，抛物线开口向下，
5∴当 时， ，即
∴ ，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为 ，即 ，
为
而 ，不能得出对称轴 直线 ，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程 有两个不等实数解，即 ，又
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
无法判断 的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
10. 如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 边上运动，
连结 ， 交于点 ，且始终满足 ，则下列结论：① ；② ；
③ 面积的最大值是 ；④ 的最小值是 ．其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，根据相似三角形的性质即可判断①；得出
，根据三角形内角和定理即可判断②；在 的左侧，以 为斜边作等腰直角三角形
6，以 为半径作 ，根据定弦定角得出 在 的 上运动，进而根据当 时，
面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当 在 上时， 最小，过点 作
交 的延长线于点 ，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ 是等腰直角三角形， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
又∵
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴
即
7在 中，
即
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 平分
∴
∴
∴ ，
∴ ，故②正确，
如图所示，
在 的左侧，以 为斜边作等腰直角三角形 ，以 为半径作 ，且
∴ ，
∵
∴
的
∴ 在 上运动，
∴ ，
连接 交 于点 ，则 ，
8∴当 时，结合垂径定理， 最小，
∵ 是半径不变
∴此时 最大
则 面积的最大，
∴
，故③正确；
如图所示，当 在 上时， 最小，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问
题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
第II卷（非选择题 共110分）
9二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
故答案为：3（x-3）2．
12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校
七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共
读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本
恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，
画出如下的树状图：
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，
所以P（两本是《三国演义》和《西游记》） ．
故答案为： ．
13. 若关于 的方程 无解，则 的值为______．
10【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到 ，再根据分式方程无
解得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
解得 ，
∵关于 的方程 无解，
∴原方程有增根，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的三等分线，且
， ，在 中， ， 分别是内角 ，外角
的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若
．则 ______度．
11【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对 运用三角形的外角定理，设 ，则 ， ，则
，得到 ， ，同理可求： ，所以可得
．
【详解】解：如图：
∵ ， ，
∴设 ， ，则 ， ，
由三角形的外角的性质得： ， ，
∴ ，
如图：
12同理可求： ，
∴ ，
……，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
15. 如图，在 中， ．点 在线段 上， ．若 ， ，则
的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过 作 于 ，设 ，则 ，利用
13列出等式即可．
【详解】解：过 作 于 ，
， ， ，
是等腰直角三角形
设 ，则
解得 （舍去）或
经检验 是原分式方程的解，
．
故答案为： ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
1416. （1）计算： ；
（2）解不等式组
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；
（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
17. 先化简： ，再从 ， ，0，1，2之中选择一个合适的数作为 的值代入求
值．
15【答案】 ，当 时，原式 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接
着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 且 ，
∴当 时，原式 ．
18. 2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事以“相约巴人故里，
乐跑红色达州”为主题．旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，
半程马拉松和欢乐跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后
得到下列不完整的图表：
16等
级
分
数
段
频
m
数
请根据表中提供的信息．解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了______名选手， ______， ______；
（2）扇形统计图中， 等级所对应的扇形圆心角度数是______度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松
和欢乐跑冠军的概率．
【答案】（1） ， ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，频数分布表以及扇形统计图；
（1）根据 等级的人数除以占比得出总人数，进而求得 的值；
（2）根据 等级的占比乘以 ，即可求解；
（3）设三个项目的冠军分别为 ，根据列表法求概率，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意， 名选手， ，
∴
17故答案为： ， ， ．
【小问2详解】
扇形统计图中， 等级所对应的扇形圆心角度数是 ，
故答案为： ．
【小问3详解】
解：设三个项目的冠军分别为 ，列表如下，
共有6种等可能结果，其中恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的有2种情形，
∴恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率为
19. 如图，线段 、 相交于点 ．且 ， 于点 ．
（1）尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为点 、连接 、 ；（不写作法，保留作图痕迹，并
标明相应的字母）
（2）若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是平行四边形，理由见解析
【解析】
18【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接 、 即可；
（2）先证明 ，得到 ，再证明 ，进
而证明 ，得到 ，即可证明四边形 是平行四边形．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
20. “三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，
绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，
19是彩婷的中轴、甲同学站在 处．借助测角仪观察，发现中轴 上的点 的仰角是 ，他与彩婷
中轴的距离 米．乙同学在观测点 处借助无人机技术进行测量，测得 平行于水平线 ，中
轴 上的点 的仰角 ，点 、 之间的距离是 米，已知彩婷的中轴 米，甲同
学的眼睛到地面的距离 米，请根据以上数据，求中轴上 的长度．（结果精确到 米，参考
数据 ， ）
【答案】中轴上 的长度为 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点 作 于点 ，分别求得 的长，根据
，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
20依题意，四边形 是矩形，
∴ ，
∴
米
答：中轴上 的长度为 米．
21. 如图，一次函数 （ 、 为常数， ） 的图象与反比例函数 （ 为常数，
）的图象交于点 ， ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点 是 轴正半轴上的一点．且 ．求点 的坐标．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，设 ，先求得 得到
21，即 ，得出等量关系解出 即可．
【小问1详解】
解：将 代入 得
将 代入 得
将 和 代入 得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为 和 ；
【小问2详解】
如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
22即
设 ，则 ，
解得 （舍去）或
经检验， 是原分式方程的解，
．
22. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．
已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．且出售 件 品种柑橘礼盒和 件 品种
柑橘礼盒的总价共 元．
（1）求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为 元、 元、该乡镇计划在某农产品展销活动中
23售出 、 两种柑橘礼盒共 盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的 倍．
总成本不超过 元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出
农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】（1） 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为 元
（2）要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒 盒，售出 种柑橘礼盒 盒，最大收益为
元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设售出 种柑橘礼盒 盒，则售出 种柑橘礼盒 盒，根据题意列出不等式组，得出
，设收益为 元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为 元，b元，根据题意得，
解得：
答： 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为 元；
【小问2详解】
解：设售出 种柑橘礼盒 盒，则售出 种柑橘礼盒 盒，根据题意得，
解得：
设收益为 元，根据题意得，
24∵
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 （元）
∴售出 种柑橘礼盒 （盒）
答：要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒 盒，售出 种柑橘礼盒 盒，最大收益为
元．
23. 如图， 是 的直径．四边形 内接于 ．连接 ，且 ，以 为边作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 交 于点 ．若 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，导角可证明
，进而得到 ，据此即可证明 是 的切线；
（2）延长 交 于H，延长 交 于G，连接 ，由直径所对的圆周角是直角得到
，证明 ，得到 ，接着证明 ，得到
25，进一步证明 ，得到 ，设 ，
则 ， ，进而得到 ，则 ，由勾股定理得到
， ，则 ，进一步可得
．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
26∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，延长 交 于H，延长 交 于G，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
27∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，
勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
24. 如图1，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．点 是抛物
线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接 ， ，直线 交抛物线的对称轴于点 ，若点 是直线 上方抛物线上一
28点，且 ，求点 的坐标；
（3）若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等
腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或 ；
（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得 的坐标，根据勾股定理的逆定理得出 是等腰三角形，进而根据
得出 ，连接 ，设 交 轴于点 ，则 得出 是等
腰直角三角形，进而得出 ，则点 与点 重合时符合题意， ，过点 作 交抛
物线于点 ，得出直线 的解析式为 ，联立抛物线解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 和点 ，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
29由 ，当 时， ，则
∵ ，则 ，对称轴为直线
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则
∴
∴
∴ 是等腰三角形，
∴
连接 ，设 交 轴于点 ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又
∴
∴
∴点 与点 重合时符合题意，
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，
30设直线 的解析式为 ，将 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： ，
∴
综上所述， 或 ；
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴
∵点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，设 其中
∴ ，
①当 时， ，解得： 或
31②当 时， ，解得：
③当 时， ，解得： 或 （舍去）
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
25. 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的 倍，某数学兴趣小组以此为方
向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1） 四边形 是菱形，
， ， ．
．
又 ， ，
______+______．
化简整理得 ______．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形 是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
【拓展应用】
（3）如图3，四边形 为平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，点 为
32的中点，连接 ，若 ， ， ，直接写出 的长度．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质
得 ， ， ，证明 ，
得 ， ，，根据勾股定理得 ，
，继而得出 的值即可；
（3）由（2）可得 得出 ，过点 分别作 的垂线，垂足分别
为 ，连接 ，根据勾股定理以及已知条件，分别求得 ，根据 得出
， 根据 得出 ，进而勾股定理，
即可求解．
【详解】解：（1） 四边形 是菱形，
， ， ．
．
又 ， ，
33．
化简整理得
故答案为： ， ， ．
（ ） ，理由如下，
过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
34∴
，
∴
（ ）∵四边形 是平行四边形， ， ， ，
∴由（ ）可得
∴
解得： （负值舍去）
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
∵ 分别为 的中点，
∴
∵ ，
35∴ ，
∵ 是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
36∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形
的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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